ಗಣಗಳ ಪರಿಚಯ
ಒಂದು ತರಗತಿಯ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಬಡ್ಡಿ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಟೂ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು. 45 ಮಂದಿ ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 30 ಮಂದಿ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೆಷ್ಟು?
ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಲೇ ಉತ್ತರ ಹೇಳುವಿರಾ? ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಪಾಠ 3.3 ನಲ್ಲಿ ಇದೆ.
ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಗಣಗಳು ಎನ್ನುವ ಪಾಠ ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಗಣ ಎಂದರೆ ಗುಂಪು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಗುಂಪಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ‘ಗಣ’ (‘set’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಆ ಗಣದ ‘ಗಣಾಂಕಗಳು’ (‘elements’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುಷ್ಪಾವರಣದ ({ }) ಒಳಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
A = {1, 4, 9, 16…} ಇಲ್ಲಿ A ಯು ಗಣ ಮತ್ತು 1, 4, 9, 16 . . ಗಳು ಗಣಾಂಕಗಳು.
B= {1, 8, 27, 64…} ಇಲ್ಲಿ B ಯು ಗಣ ಮತ್ತು 1, 8, 27 . . ಗಳು ಗಣಾಂಕಗಳು.
ಒಂದು ಗಣವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆದು ಅಥವಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಗಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
C = { ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }
D = { ಪೂರ್ಣ ಘನಗಳು }
ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆದು ಸೂಚಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು “ಗಣಾಂಕ ಪದ್ಧತಿ” (roster method) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಗಣ A ಮತ್ತು B ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ಗಣದ ಗಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣ(ನಿಯಮ)ವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆಯುವ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು “ನಿಯಮ ಪದ್ಧತಿ” ಅಥವಾ “ರೂಲ್ ವಿಧಾನ” (rule method) ಎನ್ನುವರು. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ C ಮತ್ತು D ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
1. ಒಂದು ಗಣವನ್ನು ಹೇಳುವಾಗ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಕಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವಂತಿರಬೇಕು. ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಪರಿಮಾಣ ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಇದೆಯೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
“ಎತ್ತರದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಂಪು” - ಇದು ಒಂದು ಗಣವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ “ಎತ್ತರ” ಮಾನದಂಡದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ “175 ಸೆ.ಮೀ. ಗಿಂತ ಎತ್ತರದ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು” - ಒಂದು ಗಣ. ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣ “175ಸೆ.ಮೀ. ಗಿಂತ ಎತ್ತರ”.
2. ಗಣದ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.
E = {1, 4, 9, 16…} = {4, 9, 16, 1, ..}.
3. ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಕ ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಸಾರಿ ಮಾತ್ರ ಬರೆದರೆ ಸಾಕು.
F ={1,2,3,4 } ಮತ್ತು {1,2,3,3,4,4} ಎರಡೂ ಒಂದೇ.
ಈಗ X = {x: x ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು 2<x<10} ಆಗಿರಲಿ.
ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು = 1,3,5,7,11,13….
ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ X ನಲ್ಲಿರುವ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು 10 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬೇಕು X = {3, 5, 7}.
ಇಲ್ಲಿ 3 ಎಂಬುದು X ನ ಒಂದು ಗಣಾಂಕ. ಮತ್ತು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ 3 X ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
11 ಒಂದು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಕೂಡಾ X ಗಣದ ಗಣಾಂಶವಲ್ಲ.11 X.
1900 ಮತ್ತು 2000 ಈ ವರ್ಷಗಳು ಅಧಿಕ ವರ್ಷಗಳೆ?
1900 ನ್ನು 4 ಮತ್ತು 100 ಎರಡರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
1900 – ಅಧಿಕ ವರ್ಷವಲ್ಲ .
2000 ನ್ನು 4 ಮತ್ತು ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
2000 – ಅಧಿಕ ವರ್ಷ.
1900 { ಅಧಿಕ ವರ್ಷವಲ್ಲ } ಮತ್ತು 2000 { ಅಧಿಕ ವರ್ಷಗಳು }
ಮೊದಲು ಕೊಟ್ಟ E ಗಣವನ್ನು ನೋಡಿ, ಇಲ್ಲಿ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ X ಗಣದಲ್ಲಿ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು. (= 3)
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : ಗಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಿದ್ದಾಗ (ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ) ಅದು ಸೀಮಿತ ಗಣ ಅಥವಾ ಪರಿಮಿತ ಗಣ (finite set).
ಗಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಣಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಅದು ಅಪರಿಮಿತ ಗಣ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಗಣ (infinite set).
ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಕವಿಲ್ಲದಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೆ?
Y = { ಚಂದ್ರನಲ್ಲಿರುವ ಮನುಷ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೊನ್ನೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮನುಷ್ಯರೇ ಇಲ್ಲ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ }
Z = {z : z ಎಂಬುದು 8 ಮತ್ತು 10 ರ ನಡುವಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ }
ಈ ಎರಡೂ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ.
ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲದ ಗಣವನ್ನು ‘ಖಾಲಿ ಗಣ’ (empty set) ಅಥವಾ ‘ಶೂನ್ಯ ಗಣ’ (null set) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಶೂನ್ಯಗಣವನ್ನ { } ಅಥವಾ (ಪೈ) ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಗಮನಿಸಿ:- {0} ಇದು ಶೂನ್ಯ ಗಣವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ‘0’ ಇದು ಒಂದು ಗಣಾಂಶ.
ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ :
|
P = { ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು } Q = { ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು } R = { ನಿಮ್ಮ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ (section) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು } ಈ ಮೂರು ಗಣಗಳೊಳಗೆ ಏನಾದರೂ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೆ? 1) ’ನಿಮ್ಮ ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು’ ‘ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ’ ಆಗಿದ್ದಾರೆ. ‘ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು’ ‘ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ’ ಆಗಿದ್ದಾರೆ. 2) P ಗಣದಲ್ಲಿ Q ಗಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಣಾಂಶಗಳಿವೆ. Q ಗಣದಲ್ಲಿ R ಗಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಣಾಂಶಗಳಿವೆ. Pಯು Q ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು, Q ವು R ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು. { P > Q > R ಅಥವಾ R < Q < P } Q ಗಣವು P ಗಣದ ಉಪಗಣ, R ಗಣವು Q ಗಣದ ಉಪಗಣ. ನ್ನು `ಉಪಗಣ’ (‘sub set’) ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ. ಮಾತೃಗಣ P ಯನ್ನು Q ಮತ್ತು R ಗಣಗಳ ವಿಶ್ವಗಣ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. |
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : A ಮತ್ತು B ಗಳು ಎರಡು ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದು, B ಯ ಪ್ರತೀ ಗಣಾಂಶವೂ A ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದ್ದರೆ,B ಯನ್ನು A ಗಣದ ‘ಉಪಗಣ’ (‘sub set’ ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ B A ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ಮೂಲಗಣದಿಂದ ಇತರ ಗಣಗಳ ಗಣಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೆ, ಆ ಮೂಲಗಣವನ್ನು ವಿಶ್ವಗಣ (U) ‘universal set’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ವಿಶ್ವಗಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉಪಗಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಶಗಳೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗಣಗಳ ಗಣಾಂಶಗಳು ವಿಶ್ವಗಣದಿಂದ ಪಡೆದವುಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
X= {1,3,5,7}
ಹಾಗಾದರೆ {3,5,7,1} ಈ ಗಣವು X ಗಣದ ಉಪಗಣವೇ? ಹೌದು.
ಹಾಗಾದರೆ ಶೂನ್ಯಗಣ? ಶೂನ್ಯಗಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಶಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಗಳ ಉಪಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿ ಗಣವೂ ಅದೇ ಗಣದ ಉಪಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. A A
ಶೂನ್ಯಗಣವು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಗಳ ಉಪ ಗಣ: ಎಲ್ಲಾ ಗಣಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣವನ್ನು ‘ವಿಶಾಂಕಗಣ’ (‘singleton set’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
P = { ಸಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯಗಳ ಗಣ }={2}, X = { ಸಂಕಲನದ ಅನನ್ಯತಾಂಶ = 0}, Y= {1} ಇವುಗಳೆಲ್ಲಾ ವಿಶಾಂಕಗಣಗಳು.
Q = ಆಗಿರಲಿ.
ಆಗ ಯು Q ದ ಒಂದು ಉಪಗಣ. (ಗಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉಪಗಣವಿರುತ್ತದೆ.)
P = {p, q) ಆಗಿರಲಿ.
P0 = , P1 = {p}, P2 = {q}, P = {p, q), ಇವುಗಳೆಲ್ಲಾ P ಯ ಉಪಗಣಗಳು, (ಗಣದಲ್ಲಿ 2 ಗಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ, ಆ ಗಣಕ್ಕೆ 4 ಉಪಗಣಗಳಿರುತ್ತವೆ.)
A = {a, b, c} – ಆಗಿರಲಿ.
A0 = , A1 = {a}, A2 = {b} A3 ={C}, A4 = {a, b}, A5 = {b, c}, A6 ={c, a} A = {a, b, c} – ಇವುಗಳೆಲ್ಲಾ A ಯ ಉಪಗಣಗಳು.
(ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ 3 ಗಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ 8 ಉಪಗಣಗಳಿರುತ್ತವೆ.)
|
ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಪಾಠ 1.1 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಅದನ್ನು ಗಣಗಳ ಸಂಕೇತದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತ ಪಡಿಸುವ.
N = { ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Natural numbers) },
W ={ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Whole Numbers) }.
Z = { ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (Integers) }, ಮತ್ತು
Q = { ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Rational numbers) } ಆದಾಗ, N W Z Q
ಹಾಗೂ ಇವುಗಳೆಲ್ಲಾ ಅಪರಿಮಿತಗಣಗಳು. |
|
.2 ಉದಾ : 1
|
ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಅದನ್ನು ಗಣಗಳ ಸಂಕೇತದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತ ಪಡಿಸುವ.
N = { ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Natural numbers) },
W ={ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Whole Numbers) }.
Z = { ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (Integers) }, ಮತ್ತು
Q = { ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Rational numbers) } ಆದಾಗ, N W Z Q |
|
ಉದಾ.2 : ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಗಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:
|
A = { ಆಮ್ಲಜನಕ (Oxygen), ಸಾರಜನಕ (Nitrogen), ಜಲಜನಕ (Hydrogen)} B = { ಸೋಡಿಯಂ (Sodium), ಇಂಗಾಲ (Carbon), ಕ್ಯಾಲ್ಸಿಯಂ (Calcium) } U = { ಆಮ್ಲಜನಕ (Oxygen), ಸಾರಜನಕ (Nitrogen), ಜಲಜನಕ (Hydrogen)), ಇಂಗಾಲದ ಡೈಆಕ್ಸೈಡ್ (Carbon dioxide), ಸೋಡಿಯಂ (Sodium), ಇಂಗಾಲ (Carbon), ಕ್ಯಾಲ್ಸಿಯಂ (Calcium) } ಗಮನಿಸಿ :- A ಮತ್ತು B ಗಳೆರಡೂ U ಗಣದ ಉಪಗಣಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : 1. A ಗಣದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ B ಗಣದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಾಂಕಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿಇರುವ ಗಣಾಂಕಗಳ ಗಣವೇ A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ (‘union’). (A B) - A ಸಂಯೋಗ B. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, A B = { ಆಮ್ಲಜನಕ, ಸಾರಜನಕ, ಜಲಜನಕ, ಸೋಡಿಯಂ, ಇಂಗಾಲ, ಕ್ಯಾಲ್ಷಿಯಂ }. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಹಾಕಿದ ಭಾಗವು A B. |
|
2. ಎರಡು ಗಣಗಳ ಛೇದನ ಗಣವು (‘intersection’) ಆ ಎರಡೂ ಗಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಾಂಕಗಳಿಂದಾದ ಗಣವಾಗಿದೆ. ಛೇದನವನ್ನ ( ) ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
A B = A ಛೇದನ B.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ , A ಮತ್ತು Bಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ‘ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇಲ್ಲದ ಗಣಗಳು’ (‘disjoint’ ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದA ಮತ್ತು Bಗಣಗಳು ‘ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇಲ್ಲದ ಗಣಗಳು’.
A B ={ }= ( ಶೂನ್ಯಗಣ)
U, A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೇಲ್ಕಂಡ ಚಿತ್ರವನ್ನು ‘ವೆನ್‍ಚಿತ್ರ’ (ven diagram ) ಎನ್ನುವರು. ವಿಶ್ವಗಣವನ್ನು ಆಯತಾಕೃತಿಯಿಂದಲೂ (rectangle), ಉಪಗಣಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಾಕಾರ (circles) ಅಥವಾ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರ(ovals)ದಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ
3.2 ಉದಾ - 3
ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 22 ಮಂದಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆಂದು ಎಣಿಸಿ. 
ಇವರಲ್ಲಿ 11 ಜನ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಟೀಮಿನ ಸದಸ್ಯರು. ಅಲ್ಲದೇ ನಿಮ್ಮ
ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ 11 ಜನರ ಹಾಕಿ ತಂಡ ಕೂಡಾ ಇದೆ
ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ.ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವುವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡೂ
ಟೀಮಿನಲ್ಲಿಯೂ ಇರದೇ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ವೆನ್‍ಚಿತ್ರದಿಂದ
ಎರಡೂ ತಂಡದಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿ ಇರದ
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
|
ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣ U ಆಗಿರಲಿ. U = { X1,X2,X3………… X22 } A = ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಡುವವರ ಗಣ ಆಗಿರಲಿ. A = { X1,X3, X4,X6, X8,X11,X12, X14,X17,X19,X21 } B = ಹಾಕಿ ಆಡುವವರ ಗಣ ಆಗಿರಲಿ. B ={ X2,X3,X6.X9,X10,X13,X14,X15,X18,X19,X20} ಎರಡೂ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿರುವರನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?ಯಾವುದೇ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿರುವವರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: { X3,X6,X14,X19} ಈ ನಾಲ್ಕು ಆಟಗಾರರು ಎರಡೂ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. A B ={ X1,X2, X3,X4, X6,X8, X10,X11,X12,X13,X14,X15,X17,X18, X19,X20, X21 } =(ಬೂದಿ+ಹಳದಿ+ಬೂದಿ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಭಾಗ). ಇವರು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. (A B)=ಹಳದಿ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದ ಭಾಗವು ಎರಡೂ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.. A ಮತ್ತು B ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲದ {X5,X7,X9,X16,X22} ಗುಂಪು ಯಾವುದೇ ಟೀಮಿನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣ. |
|
|
ಉದಾ:4 A = { 2,4,6,8}, B = { 2,4,6} = { } ಆಗಿರಲಿ ಯಾವುದೇ ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂದು ಸಾರಿ ಮಾತ್ರ ಬರೆಯಬೇಕು ಗಮನಿಸಿ: A A = {2,4,6,8} = A (ಶೂನ್ಯಗಣ) ಇದು ಯಾವುದೇ ಗಣದ ಉಪಗಣ, A ={ 2,4,6,8} = A B A = B A = {2,4,6,8}= A. B A = A B = {2,4,6} = B.
|
|
ಸಮಸ್ಯೆ 1: A = {1,5,7,9}, B={1,3,7,10}, C= {5,6,7,8,9,10} ಆದಾಗ, A B C ಮತ್ತು A B C ಯ ವೆನ್ ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
A ಗಣವನ್ನು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. B ಗಣವನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. C ಗಣವನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. (A B) C = ({1,3,5,7,9,10}) {5,6,7,8,9,10} = {1,3,5,6,7,8,910} (A B) C = ( { 1,7} {5,6,7,8,9,10} = {7} |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 2 : A = {x: x2-8x+12 =0}, B = {x: x2-6x+8 =0} A B ಮತ್ತು A B ಗಳನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡುಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
x2-8x+12 = (x-6)(x-2). x2-8x+12 = 0 ಆದಾಗ x=6 or x=2 x2-6x+8 = (x-4)(x-2) ಎಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ x2-6x+8 = 0 ಎನ್ನುವುದು x=4 or x=2 ಆದಾಗಮಾತ್ರ ಸತ್ಯ. A = {6,2) ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ) B= {4,2} (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ). A B = {6, 4, 2}, A B ={2} |
|
|
U = { ಕಪ್ಪು, ಗುಲಾಬಿ, ಕಂದು, ಕಡುನೇರಳೆ, ನೇರಳೆ, ಊದಾ, ನೀಲಿ, ಹಸಿರು, ಹಳದಿ, ಕೇಸರಿ, ಕೆಂಪು } A = { ನೇರಳೆ, ಊದಾ, ನೀಲಿ, ಹಸಿರು, ಹಳದಿ, ಕೇಸರಿ, ಕೆಂಪು } ಈ ಮೇಲಿನ ಗಣಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವೆನ್ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಗಣ:{ ಕಪ್ಪು, ಗುಲಾಬಿ, ಕಂದು, ಕಡುನೇರಳೆ } ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಗಣದ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು? ಈ ಗಣದ ಗಣಾಂಕಗಳು U ಗಣದಲ್ಲಿವೆ,ಆದರೆ A ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಈ ಗಣವನ್ನು A ಗಣದ ‘ಪೂರಕಗಣ’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು A1 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. A1 = { ಕಪ್ಪು, ಗುಲಾಬಿ, ಕಂದು, ಕಡುನೇರಳೆ } ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಗಣದ ‘ಪೂರಕಗಣ’ (‘complement’) ಆ ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲದ, ಆದರೆ ವಿಶ್ವಗಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಗಣಾಂಕಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ. A ಗಣದ ಪೂರಕಗಣ = A1. A1 U ಮತ್ತು A A1=U. ಮತ್ತು A A1= ( A ಮತ್ತು A1 ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ.). (A1)1 = {A1 ನಲ್ಲಿ ಇರದೇ U ನಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಕಗಳು.} = { ನೇರಳೆ, ಊದಾ, ನೀಲಿ, ಹಸಿರು, ಹಳದಿ, ಕೇಸರಿ, ಕೆಂಪು }= A |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 3 : U = {9 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }A = {9 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು } B = {9 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು } ಆದರೆ, A1 B1ಮತ್ತು A1 B1 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {2,4,6,8} (ಹಸರು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ) B = {2,3,5,7} (ಕಂದು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ) A1= {1,3,5,7} (ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಚತುರ್ಭುಜ) B1= { 1,4,6,8} (ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚತುರ್ಭುಜ) A1 B1 = {1,3,4,5,6,7,8} ಮತ್ತು A1 B1= {1} ಈಗ, (A B)1. ಮತ್ತು (A B)1 ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ. A B= {2,3,4,5,6,7,8} (A B)1= {1} A B = {2} (ನಸುಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚೌಕ ) (A B)1= { 1,3,4,5,6,7,8} ಈಗ ನಮಗೆ ಏನು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ? (A B)1= A1 B1 ಮತ್ತು (A B)1= A1 B1 |
|
ಎರಡು ಗಣಗಳು A, B ಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ, B ಗಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲದ, A ಗಣದಲ್ಲಿನ ಗಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು(‘difference’ ) ಉಂಟಾಗುವ ಗಣವೇ A-B. (ಎರಡು ಗಣಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)
ಸಮಸ್ಯೆ 4 : H = {36 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು } J = {1 ಮತ್ತು 36 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ 2 ರ ವರ್ಗಗಳು ಗುಣಕಗಳು }
ಪರಿಹಾರ:
|
H = { 1,4,9,16,25} (ಹಸರು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ) J = {1,2,4,8,16,32} (ಕಂದು ಬಣ್ಣದ ವೃತ್ತ) H J = {1,4,16} (ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಆಯತ ) H- J = { H ನಲ್ಲಿರುವ ಆದರೆ J ಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಗಣಾಂಕಗಳು } = {9,25} (ನಸುಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಆಯತ) J - H = { J ಯಲ್ಲಿರುವ, ಆದರೆ H ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಗಣಾಂಕಗಳು } = {2,8,32} (ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಆಯತ) ಗಮನಿಸಿ: H-J J-H ಯಾವುದೇ ಗಣಗಳು U ಮತ್ತು A ಗಳಲ್ಲಿ, ( )1=U ಮತ್ತು (U)1= A-A= |
|
ಪೀಠಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:
“ಒಂದು ತರಗತಿಯ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಬಡ್ಡಿ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಟೂ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು. 45 ಮಂದಿ ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 30 ಮಂದಿ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೆಷ್ಟು”
ಗಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಹಾಯಕಾರಿ
ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು
2+3 =3+2 , 2*3 =3*2.
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಪರಿವರ್ತನೀಯ.
(2+3)+4= 2+(3+4) ; (2*3)*4= 2*(3*4).
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿವೆ.
ಈಗ ನಾವು ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.
ಉದಾ 1 : ಗಣಗಳು: A = {p,q,r,} ,B = {q,r,s,} ಮತ್ತು C={r,s,t} ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ:
1. B C =C B
2. B C = C B
3. A (B C) = (A B) ಕ
4. A (B C) = (A B) C
5. A (B C) = (A B) (A C)
6. A (B C) = (A B) (A C)
ಪರಿಹಾರ:
|
B C = {q,r,s} {r,s,t} = {q,r,s,t} ------à(1) C B = {r,s,t} {q,r,s} ={q,r,s,t} -------à(2) (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, B C =C B 1. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.(Union of sets is commutative): B C = {q,r,s} {r,s,t} = {r,s} -----à(3) C B = {r,s,t} {q,r,s} = {r,s} -----à(4) (3) ಮತ್ತು (4 ರಿಂದ, B C = C B 2. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.(Intersection of sets is commutative): A B = {p,q,r,} {q,r,s} = {p,q,r,s} A (B C) = {p,q,r} {q,r,s,t} ={p,q,r,s,t,} ---à(5) (A B) C= {p,q,r.s} {r,s,t} = {p,q,r,s,t} ---------à(6) (5) ಮತ್ತು (6) ರಿಂದ, A (B C) = (A B) C 3. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. (Union of sets is associative): A B = {p,q,r} {q,r,s} = {q,r} A (B C) ={p,q,r} {r,s} ={r} ------à(7) (A B) C = {q,r} {r,s,t} = {r} ------à(8) (7) ಮತ್ತು (8) ರಿಂದ, A (B C) = (A B) C 4. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. (Intersection of sets is associative): A (B C) = {p,q,r} {r,s} = {p,q,r,s} -----------------à(9) A C = {p,q,r} {r,s,t} = {p,q,r,s,t} (A B) (A C) = {p,q,r,s} {p,q,r,s,t} ={p,q,r,s} ----à(10) (9) ಮತ್ತು (10) ರಿಂದ, A (B C) = (A B) (A C) 5. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಜಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (Union of sets is distributive over intersection of sets): A (B C) = {p,q,r,} {q,r,s,t} ={q,r} ----à(11) (A B) = {p,q,r} {q,r,s} = {q,r} (A C) = {p,q,r} {r,s,t} = {r} (A B) (A C)= {q,r} {r} = {q,r} --------à(12) (11 ಮತ್ತು (12) ರಿಂದ, A (B C) = (A B) (A C) 6. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಸಂಯೋಗದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಜಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (Intersection of sets is distributive over union of sets): |
|
'ಡಿ’ ಮಾರ್ಗನ್ನನ ನಿಯಮಗಳು (De Morgan’s laws):-
ಸಾಧಿಸಿ:
1. (A B)1= A1 B1 (ಎರಡು ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ ಗಣದ ಪೂರಕಗಣವು ಆ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಪೂರಕ ಗಣಗಳ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಮ)
(The complement of union of sets is the intersection of their complements)
2. (A B)1= A1 B1(ಎರಡು ಗಣಗಳ ಛೇದನ ಗಣದ ಪೂರಕ ಗಣವು ಆ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಪೂರಕ ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮ)
ಉದಾ 2 : U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} -- (10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)A = {x:10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ } B = {x:10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ 3 ರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು }
|
ಈಗ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾ. A = {1,4,9} (ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳು ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ) B = {3,6,9} (3 = 3*1, 6=3*2,9=3*3) A1 = U-A (A ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ U ದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವೇ A1) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {1,4,9} ={0,2,3,5,6,7,8} =========à(1) B1= U-B (B ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ U ದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವೇ B1) ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {3,6,9} ={0,1,2,4,5,7,8} =========à(2) (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, A1 B1= {0,2,3,5,6.7,8} {0,1,2,4,5,7,8} ={0,2,5,7,8} ==================à(3) (A B) = {1,4,9} {3,6,9} = {1,3,4,6,9} (A B)1 = U -(A B) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}- {1,3,4,6,9} = {0,2,5,7,8} ==à(4) (3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ, 1. (A B)1 = A1 B1 (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, A1 B1= {0,2,3,5,6,7,8} {0,1,2,4,5,7,8} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}==============à(5) A B = {1,4,9} {3,6,9}= {9} (A B)1= U – (A B) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}- {9} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8} =======à(6) (5) ಮತ್ತು (6) ರಿಂದ, 2. (A B)1 = A1 B1 |
|
ಎರಡು ಗಣಗಳಲ್ಲಿನ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ
A ಗಣದಲ್ಲಿನ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n(A) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (‘cardinal number’)
ಉದಾ 1 : A= {p,q,r,s,t} ಮತ್ತು B= {r,s,u,v,w} ಆಗಿರಲಿ.
|
n(A) =n(B)=5 A B ={p,q,r,s,t} {r,s,u,v,w}= {p,q,r,s,t,u,v,w} A B ={p,q,r,s,t} {r,s,u,v,w} =(r,s} n(A B) =8, n(A B) =2 n(A) +n(B) = 5+5 =8+2 = n(A B) +n(A B) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: 1. n(A B)= n(A) +n(B)-n(A B) 2. n(A B)= n(A) +n(B)-n(A B) 3. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಗಣಗಳಾದರೆ, n(A B)= n(A) +n(B) ( n(A B)=0 ಏಕೆಂದರೆ A B = { }= (A ಮತ್ತು B ಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಗಣಗಳು). |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಬ್ಬ ಹೂಮಾರುವವನ ಬಳಿ ಕೆಲವು ಹಾರಗಳಿವೆ. 110 ಹಾರಗಳು ಸಂಪಿಗೆ ಹೂವುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, 50 ಹಾರಗಳು ಮಲ್ಲಿಗೆ ಹೂವುಗಳಿದ ಕೂಡಿದೆ. ಮತ್ತು 30 ಹಾರಗಳು ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವನ ಬಳಿ ಇರುವ ಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?
ಪರಿಹಾರ:
|
A ಯು ಸಂಪಿಗೆ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(A) =110. B ಯು ಮಲ್ಲಿಗೆ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ n(B)= 50. A B ಯು ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣ. n(A B)=30. A B ಯು ಏಲ್ಲಾ ಹಾರಗಳ ಗಣ. n(A B)= n(A) +n(B)-n(A B) = 110+50-30 =130
ಹೂಮಾರುವವನ ಬಳಿ 130 ಹಾರಗಳಿವೆ. |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ತರಗತಿಯ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಬಡ್ಡಿ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಟೂ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು. 45 ಮಂದಿ ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 30 ಮಂದಿ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೆಷ್ಟು?( 3.1 ಪೀಠಿಕೆ ಯಲ್ಲಿ ನ ಸಮಸ್ಯೆ)
ಪರಿಹಾರ:
|
A ಯು ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(A) =45 B ಯು ಹಾಕಿ ಟೀಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(B) = 30 A B ಯು ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(A B)- ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು. A B ಯು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣ n(A B)=60 - ದತ್ತ n(A B)= n(A) +n(B)-n(A B) n(A B)= n(A) +n(B)- n(A B) = 45+30-60 =15 15 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾರೆ. |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ಸಾವಿರ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸಂದರ್ಶಿಸಲಾಗಿ, 750 ಕುಟುಂಬಗಳು ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್‍ನ್ನೂ 400 ಕುಟುಂಬಗಳು ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್‍ನ್ನೂ ಮತ್ತು 300 ಕುಟುಂಬಗಳು ಎರಡೂ ಚಾನೆಲ್‍ಗಳನ್ನೂ ವೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಕಂಡುಬಂತು.
ಹಾಗಾದರೆ.
1. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ಮಾತ್ರ ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ?
2. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ಮಾತ್ರ ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ?
3. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ಟಿಲಿವಿಷನ್ ವೀಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ?
ಪರಿಹಾರ:
|
ಸಂದರ್ಶಿಸಿದ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: U ಆಗಿರಲಿ. n (U) =1000 ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: A ಆಗಿರಲಿ. n (A) =750 ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ : B ಆಗಿರಲಿ. n(B)=400 ಎರಡೂ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: A B n(A B)=300 ಗಮನಿಸಿ: 1. A-A B ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n [A-A B]. 2. B- A B ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n [B-A B]. 3. A B ಯು ಟಿಲಿವಿಷನ್ ನೋಡುವವರ ಗಣ.. n(A B) = n(A)+n(B)-n(A B) = 750+400-300 = 850 4. (A B)1 ಟೆಲಿವಿಷನ್ನನ ನೋಡದೇ ಇರುವವರ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n(A B)1 ಈಗ, 1. n [A-A B] = n(A) – n(A B) = 750 -300 = 450 2. n [B-A B] = n(B) – n(A B) = 400 -300 = 100 3. n(A B)1= n[U – (A B)] = n(U) – n((A B)) = 1000-850 = 150 |
 |
ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 12/21/2019
