ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಘನಮೂಲಗಳು
ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಘನಮೂಲಗಳು
|
ಘನ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಉದ್ದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಎನ್ನುವ 3 ಅಳತೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸಮವಾಗಿರುವ (ಉದ್ದ = ಅಗಲ = ಎತ್ತರ) ಬದಿಯಲ್ಲಿನ ಆಕೃತಿಯಂತಹ ವಸ್ತು. ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ(ಘನ ಫಲ) = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.( ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.) ಒಂದು ಘನವು ಸಮಾನ ಉದ್ದ, ಅಗಲ, ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಘನದ ಗಾತ್ರ(ಘನ ಫಲ) = ಉದ್ದ * ಉದ್ದ * ಉದ್ದ = (ಉದ್ದ)3 ಇಲ್ಲಿ a ಯು 1,2,3 ಆದಾಗ ಅದರ ಘನ ಫಲ ಕ್ರಮವಾಗಿ 1*1*1 = 1, 2*2*2=8, 3*3*3=27 ಆಗುತ್ತದೆ. |
|
1, 2, 3, 4… ಗಳ ಗುಂಪಿಗೂ ಮತ್ತು 1, 8, 27, 64 . . . ಗುಂಪಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ ಏನು?
ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊರಕಿದವು. ಇವುಗಳನ್ನು ಘನಗಳೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇವು n3 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.
n3 ಎಂಬುದು n ನ ಘನವಾದರೆ (cube), n ಎಂಬುದು n3 ದ ಘನಮೂಲ cube root). ಘನಮೂಲವನ್ನು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, 1,2,3,4 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 8, 27, 64 ರ ಘನಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಸರ್ವಸಮವಾದ ಮೂರು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಅಪವರ್ತನದ ಘನ(cube) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ..
ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಒಂದು ಘನದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ 7 ಸೆಂ.ಮಿ. ಆದರೆ ಅದರ ಗಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿ..
ಪರಿಹಾರ:
ಘನದ ಗಾತ್ರ = (ಉದ್ದ)3
7 ಸೆಂ.ಮಿ. ಅಂಚುಳ್ಳ ಘನದ ಗಾತ್ರ = (7)3
=7*7*7 = 343 ಘನ ಸೆಂ.ಮಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ನೀರು 1 ಗ್ರಾಂ ತೂಗಿದರೆ, ಒಂದು ಘನ ಮೀಟರ್ ನೀರಿನ ತೂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 42875 ರ ಘನಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
42875 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 5,5,5,7,7,7
42875 = 5*5*5*7*7*7 = 53*73= (5*7)3
= 5*7 = 35
ಸಮಸ್ಯೆ 2: 432 ನ್ನ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
432 = 3,3,3,4.4 = (3)3*(4)2
ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನ ‘4’ ಎರಡೇ ಬಾರಿ ಬಂದಿದೆ.
1. ಈಗ ನಾವು 432 ನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, 432*4 = (3)3*(4)3= (3*4)3 ಬರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ 432 ನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಘನ (1728) ಆಗುತ್ತದೆ.
2. ಈಗ ನಾವು 432 ನ್ನು 16 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, 432/16= 33 ಬರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ 432 ನ್ನು 16 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ , ಅದು ಪೂರ್ಣಘನ (27) = 33 ಆಗುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ನೀರು 1 ಗ್ರಾಂ ತೂಗಿದರೆ, ಒಂದು ಘನ ಮೀಟರ್ ನೀರಿನ ತೂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
1 ಮೀಟರ್ = 100 ಸೆಂ.ಮೀ. 1 ಘನ ಮೀಟರ್ = 1 ಮೀ.*1 ಮೀ.*1 ಮೀ. = 100 ಸೆಂ.ಮೀ.*100 ಸೆಂ.ಮೀ.* 100 ಸೆಂ.ಮೀ. = 1000000 ಘನ ಸೆಂ.ಮೀ. 1 ಘನ ಸೆಂ.ಮೀ ನೀರಿನ ತೂಕ= 1 ಗ್ರಾಂ 1 ಘನ ಮೀ. ನೀರಿನ ತೂಕ = 1000000 ಘನ ಸೆಂ.ಮೀ. ನೀರಿನ ತೂಕ= 1000000 ಗ್ರಾಂ = 1000 ಕಿ. ಗ್ರಾಂ |
|
ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 2/11/2020
