ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು

ಡಿಗ್ರಿ >>

180⁰

90⁰

60⁰

45⁰

36⁰

30⁰

15⁰

ರೇಡಿಯನ್ >>

/2

/3

/4

/5

/6

/12

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು:

1. ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು(ಕೋನದ ಎದುರಿನ ಬಾಹು: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  Y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ  SA, TB, UC ಮತ್ತು XP)
2. ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು  (ಕೋನ ನಿಂತಿರುವ ಬಾಹು: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  Y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ  YA, YB, YC ಮತ್ತು YP)
3. ವಿಕರ್ಣ( ಲಂಬಕೋನದ ಎದುರಿಗಿನ ಬಾಹು:  ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  YS, YT, YU ಮತ್ತು YX)

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ  180⁰ ಆಗಿದ್ದು  ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನ 90⁰ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿರಲೇ(<90⁰) ಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್  ಅಕ್ಷರಗಳಾದ ಆಲ್ಫಾ ( ), ಬೀಟಾ ( ),ಗ್ಯಾಮಾ ( ), ತೀಠಾ ( ), ಫೈ  ( ) ಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ   XPY   ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು   XPY = 90⁰ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ  SAY |||  TBY |||  UCY ||| XPY.  SAY ಮತ್ತು  TBY ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು

YA/YB =YS/YT=AS/BT

YA/YS=YB/YT= ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ

YA/AS=YB/BT= ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು / ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು

AS/YS=BT/YT= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ

ಸಂ.

ಹೆಸರು

Short form

ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ

ಗಮನಿಸಿ

1

sine Y

sin Y

ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ

=PX/YX

(OH/ಅವಿ)

2

cosine Y

cos Y

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ

=YP/YX

(AH/ಪಾವಿ)

3

tangent Y

tan Y

ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು

=PX/YP

=sin Y /cos Y

(OA/ಅಪಾ)

4

cosecant Y

cosec Y

ವಿಕರ್ಣ/ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು

=YX/PX

=1/sin Y

5

secant Y

sec Y

ವಿಕರ್ಣ/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು

=YX/YP

=1/cos Y

6

cotangent Y

cot Y

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು

=YP/PX

=1/tanY=cosY/sinY

ಟಿಪ್ಪಣಿ:

1. ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಅನುಪಾತಗಳು (4, 5 ಮತ್ತು 6) ಮೊದಲ ಮೂರು ಅನುಪಾತಗಳ ವಿಲೋಮವಾಗಿವೆ. ಆದುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕೋನ  ಗೆ

1. sin *Cosec =1

2. cos *Sec =1

3. tan *Cot =1

2. ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಯೋ ಅದನ್ನು ಅಧರಿಸಿ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅದಲು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

( X  ಗೆ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು XP ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು PY.  Y  ಗೆ  ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು YP ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು PX).

3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ BA² = BD²+AD² AD² = BA²-BD²

= 13²-5² = 169 -25 = 144 = 12² AD = 12

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ  AC² = AD²+DC² = 12²+16² = 144 +256 = 400 = 20²

AC = 20.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

1. sin B = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = AD/AB= 12/13

2. tan C =ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = AD/DC = 12/16 = 3/4

3. sec²B - tan²B = (AB/BD)² – (AD/BD)² = (AB² - AD²)/ BD² = (13² - 12²)/ 5²

=(169-144)/25 =1

4. sin²C + cos²C = (AD/AC)²+ (DC/AC)² = (AD² +DC²)/ AC² = (12² +16²)/ 20²

= (144+256)/400 =1

tan  = 4/5 ( 5 tan  = 4)

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ tan  = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು=BC/AB =4/5.  ಪ್ರತಿ ಬಾಹುವೂ   x  ನ ಗುಣಕದಲ್ಲಿರಲಿ.

(ಉದಾಹರಣೆಗೆ ,  x = 3 ಸೆ.ಮೀ ಆದರೆ   BC = 12(4*3) ಸೆ.ಮೀ ಮತ್ತು AB =15(5*3) ಸೆ.ಮೀ. ಆಗ BC/AB = 12/15 =4/5)

BC = 4x ಮತ್ತು AB= 5x ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

5 sin -3 cos = 5BC/AC – 3AB/AC = (5BC-3AB)/AC

5 sin +2 cos = 5BC/AC + 2AB/AC = (5BC+2AB)/AC

(5 sin -3 cos )/(5 sin +2 cos ) = {(5BC-3AB)/AC}/{(5BC+2AB)/AC} = (5BC-3AB)/(5BC+2AB)

= (5*4x- 3*5x)/(5*4x+2*5x)  ( BC ಮತ್ತು AB ಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ)

= (20x-15x)/(20x+10x) = 5x/30x = 1/6

sin = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ= BC/AC= p/q

ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ  ವಿವರಿಸಿದಂತೆ , BC =px ಮತ್ತು AC=qx ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AC² = AB²+BC²

AB² = AC²-BC² = (qx)²-(px)² = x²(q²-p²)

AB = x 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

cos = AB/AC = (x  )/qx = ( )/q

sin + cos = p/q +( )/q

= (p+ )/q

ರಚನೆ: BC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ  D ಯಿಂದ  ಎಳೆದ ರೇಖೆಯು BA ಯನ್ನು E ನಲ್ಲಿ  ಸಂಧಿಸಲಿ.

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ  BD² = BC²+CD² CD² = BD²-BC² = 13²-12² = 169 -144 = 25 = 5² CD = 5

BA || CD ಮತ್ತು BC||DE ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  BE=CD(=5)  EA = BA-BE = 14-5 =9

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AD² = AE²+ED² = 9²+12² = 81+144= 225 = 15²

AD = 15

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

1. sin =  5/13

2. tan = 12/9 = 4/3

3. cos =  9/AD   AD = 9/cos = 9 sec

sin  /cos  =3/4 ( 4 sin = 3 cos  )

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

tan = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು= BC/AB  =3/4

ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ BC = 3x ಮತ್ತು AB = 4x ಎನ್ನಬಹುದು

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ  AC² = BC²+AB²= (3x)²+(4x)² = 9x²+16x² = 25x² =(5x)²

AC = 5x

sin = BC/AC = 3x/5x = 3/5

cos = AB/AC= 4x/5x = 4/5

cot² - cosec² = (AB/BC)²-(AC/BC)²= (4x/3x)²-(5x/3x)²= (4/3)²-(5/3)²

= 16/9 -25/9 = (16-9)/9 = -9/9 = -1

tan B = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು=AD/BD ಮತ್ತು  tan B = 3/4 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

AD/BD = 3/4 i.e. 4AD = 3BD i.e. 12AD = 9BD     ----à(1)

tan C = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = AD/DC ಮತ್ತು tan C = 5/12 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

AD/ DC = 5/12  i.e. 12AD = 5DC                         ----à(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ನ್ನು ಸಮನಾಗಿಸಿದಾಗ  9BD = 5DC            ----à(3)

DC = 56-BD ( BC= BD+DC = 56 –>ದತ್ತ)

9BD = 5(56-BD) = 280-5BD { (3) ರಿಂದ) }

9BD+5BD = 280 (ಪಕ್ಷಾಂತರ)

BD = 280/14 = 20

DC = 56-BD = 56-20 = 36

AD = (3/4)BD = (3/4)*20 = 15cm

ಸಂ

ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು

1

sine = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ(OH)

2

cosine = ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ(AH)

3

tangent = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು(OA)

4

cosecant ವು sin ದ ವಿಲೋಮ

5

secant ವು cos ದ ವಿಲೋಮ

6

cotangent ವು tan ದ ವಿಲೋಮ