ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ
ಪೀಠಿಕೆ
ಪಾಠ 7.1 ರಲ್ಲಿ ಸರಳರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ y=mx+c ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ರೇಖಾಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಆ ಬಿಂದುವು ಆ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು x ಅಕ್ಷದ ಜೊತೆಗೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು ‘ರೇಖೆಯ ಓರೆ’ ( ‘inclination’ ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
|
|
||
|
ಚಿತ್ರ 1 |
ಚಿತ್ರ 2 |
ಚಿತ್ರ 3 |
|
ರೇಖೆಯ ಓರೆ ಯನ್ನುಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಧನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1), +ve |
ರೇಖೆಯ ಓರೆ ಯನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಋಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2), -ve |
‘ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’(slope)ವು ಲಂಬ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕ್ಷಿತಿಜದೂರ ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3) |
|
ಯಾವುದೇ ಇಳಿಜಾರು, ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖೆಗೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು = ಲಂಬ ಎತ್ತರ / ಕ್ಷಿತಿಜ ದೂರ = BC/AB=tan (8.1 ಪಾಠ ನೋಡಿ) ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು m ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. |
||
ಗಮನಿಸಿ:
1. X ಅಕ್ಷ ದ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು” = 0 (tan =0 as =00)
2. Y ಅಕ್ಷ ದ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ(tan = =900)
3. ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು, ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ X ಅಕ್ಷ ದೊಡನೆ ಲಘುಕೋನ ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಆಗ ಆ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಧನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1)
4. ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು, ಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ X ಅಕ್ಷ ದೊಡನೆ ಲಘುಕೋನ ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ X ಅಕ್ಷ ದೊಡನೆ ವಿಶಾಲಕೋನ ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಆಗ ಆ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರ” ಋಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ
(- tan = tan(- )) (ಚಿತ್ರ 2)
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು
|
P (x1,y1) ಮತ್ತು Q (x2,y2) ಎರಡು ದತ್ತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. PQ ರೇಖೆಯ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. QP ಯನ್ನು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವಂತೆ ಅದನ್ನು ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅದು x-ಅಕ್ಷ ದೊಡನೆ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲಿ CR || x-ಅಕ್ಷವಾಗಿರುವುದರಿಂದ = QPR m = tan = QR/PR= ಲಂಬ ಎತ್ತರ/ಕ್ಷಿತಿಜ ಎತ್ತರ = (y2- y1)/ (x2- x1) = (y1- y2)/ (x1- x2) =ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು |
|
|
ಗಮನಿಸಿ: 1. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು” ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ( ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು x-ಅಕ್ಷದೊಡನೆ ಒಂದೇ ’ರೇಖೆಯ ಓರೆ’ ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ) ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು” ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. 2. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. |
|
|
ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಗಳ ಸಂಬಂಧ: BA AC ಆಗಿರಲಿ. ವು AB ಯು x ಅಕ್ಷದೊಡನೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ’ ರೇಖೆಯ ಓರೆ’ ಆಗಿರಲಿ. - ವು AC ಯು x ಅಕ್ಷದೊಡನೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ’ ರೇಖೆಯ ಓರೆ’ ಆಗಿರಲಿ. (ಪ್ರದಕ್ಷಿಣವಾಗಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಲಘುಕೋನ) AB ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = tan = AC/AB CA ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = - tan = - (AB/AC) AB ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ * CA ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = (AC/AB)*-(AB/AC) = -1. 3. ಆದುದರಿಂದ ಎರಡು ಲಂಬರೇಖೆಗಳ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ -1; ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ -1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 1: A(5,4),B(-3,-2) ಮತ್ತು C(1,-8) ಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಶಿರೋಬಿಂದುಗಳು.
(I) AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಎಷ್ಟು?.
(II) ಮಧ್ಯ ರೇಖೆ AD ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಎಷ್ಟು?.
(III) AC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಎಷ್ಟು?.
ಪರಿಹಾರ:
|
(I) AB ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = (4-(-2))/(5-(-3)) = (6/8) = 3/4 ಎರಡು ಲಂಬರೇಖೆಗಳ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಗಳ ಮೊತ್ತ -1 ಮತ್ತು AB CP ಆಗಿರುವುದರಿಂದ CP ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = -4/3 (II) AD ಯ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು D(x,y) ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. D ಯು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ x= (-3+1)/2 = -1 ; y = (-2+(-8))/2 = -5 D(-1,-5). AD ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = ( 4-(-5))/(5-(-1)) = 9/6 = 3/2 (III) AC ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = (4-(-8))/(5-1) = 12/4 = 3 AC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ = 3 |
|
ಅಂತ: ಛೇದಗಳು:
|
ಪಾಠ 7.1 ರಲ್ಲಿ ಅಂತ: ಛೇದ ದ ಕುರಿತು ಕಲಿತಿರುವೆವು: ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆಯು x ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕಡಿಯುವುದೋ ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ O(0,0) ಗೆ ಇರುವ ದೂರವೇ x- ಅಂತ: ಛೇದ (x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ). ಯಾವುದೇ ಸರಳರೇಖೆಯು x ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕಡಿಯುವುದೋ ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ O(0,0) ಗೆ ಇರುವ ದೂರ(ಎತ್ತರ)ವೇ y- ಅಂತ: ಛೇದ (y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ). |
|
ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ
ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y=mx+c ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮತ್ತು ’ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು’ ಎಂದರೆ ಎನು ಎಂದೂ ನಾವು ಕಲಿತಿರುವೆವು.
1. ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು- ಅಂತ: ಛೇದ ರೂಪದಲ್ಲಿ
|
P ಎನ್ನುವುದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (x,y) ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. AB ಎನ್ನುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ’ ರೇಖೆಯ ಓರೆ’ ಆಗಿರಲಿ. ಅದರ y- ಅಂತ: ಛೇದ c ಆಗಿರಲಿ, OB=c=RQ PQ = PR-QR = y-c ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ PBQ = m = tan = PQ/BQ = (y-c)/x mx = y-c ಅಂದರೆ y = mx+c ಎನ್ನುವುದು AB ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 2: ರೇಖೆ 2x-5y+4=0 ನ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು y ಅಂತ: ಛೇದ ಕಂಡುಹಿಡಿ
ಪರಿಹಾರ:
ದತ್ತ ರೇಖೆ 2x-5y+4=0 ನ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು 2/5 ( y = (2/5)x+(4/5)) ಮತ್ತು ಅದರ y ಅಂತ: ಛೇದ 4/5
ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
|
ಕ್ರ.ಸಂ. |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
|
1 |
P (x1,y1) ಮತ್ತು Q (x2,y2) ಆಗಿರುವಾಗ m = (y1- y2)/(x1- x2) |
|
2 |
ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು m ಮತ್ತು y- ಅಂತ: ಛೇದ c ಆದರೆ, ಆಗ ಆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ y = mx+c |
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 10/15/2019
ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಿಡ...
