ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು
ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು
|
ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಚೌಕಾಭಾರ ಎನ್ನುವ ಪಗಡೆಯಾಟವಲ್ಲವೇ? ಇದು ಇಬ್ಬರು/ ನಾಲ್ಕು ಜನರು ಆಡುವ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನ ಹತ್ತಿರ 4 ಕಾಯಿಗಳುಇರುತ್ತವೆ. 4 ಕವಡೆಗಳನ್ನು ಚೆಲ್ಲಿ/ಬೀಳಿಸಿ ಬಿದ್ದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅವರವರ ಕಾಯಿಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ 25 (5*5) ಮನೆಗಳಿದ್ದು ಕಾಯಿಗಳು 24 ಮನೆಗಳನ್ನು ದಾಟಿ ಹಣ್ಣಾಗುತ್ತವೆ. |
|
|
ಹಾಗೆಯೇ ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎನ್ನುವ 2 ಅಳತೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುವ ವರ್ಗ (ಚೌಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶೇಷ ಬಗೆಯ ಆಯತ. ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ * ಅಗಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (PQ*QR) = ಉದ್ದ * ಉದ್ದ = (ಉದ್ದ)2 |
|
ಈಗ 1, 4, 9, 16 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ:1,2,3,4,5…
ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಕಾರದ ತಃಖ್ತೆ ನೋಡಿ:
|
2 ರ ಮಗ್ಗಿ |
3 ರ ಮಗ್ಗಿ |
4 ರ ಮಗ್ಗಿ |
5 ರ ಮಗ್ಗಿ |
|
2*1 = 2 |
3*1 = 3 |
4*1 = 4 |
5*1 = 5 |
|
2*2 = 4 |
3*2 =6 |
4*2 =8 |
5*2 =10 |
|
2*3 = 6 |
3*3 = 9 |
4*3 =12 |
5*3 =15 |
|
|
3*4 = 12 |
4*4 =16 |
5*4 =20 |
|
|
|
4*5 = 20 |
5*5 =25 |
ಇಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಿರಿ? 4,9,16 ಮತ್ತು 25 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2, 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ವರ್ಗಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು(perfect square) ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.
12 = 1 = (-1)2
22 = 4 = (-2)2
32 = 9 = (-3)2
ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಅವು n2 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.
ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು
- ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 0,1,4,5,6,9( ಉದಾ: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121…)
- ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳು: (2, 3, 7, ಮತ್ತು 8)
- ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು (4, 16, 36, 64, 100 …)
- ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 9, 25, 49, 81, 121…)
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕೂಡಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
|
ಭಿನ್ನರಾಶಿ |
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ |
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗ |
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ |
|
2/3 |
|
4/9 |
|
|
1/10 |
.1 |
1/100 |
.01 |
|
6/10 |
.6 |
36/100 |
.36 |
|
12/10 |
1.2 |
144/100 |
1.44 |
|
2/100 |
.02 |
4/10000 |
.0004 |
ವರ್ಗಮೂಲಗಳು:
3 ರ ವರ್ಗ 9. ಆದ್ದರಿಂದ 9 ರ ವರ್ಗಮೂಲ 3
n2 ಎಂಬುದು n ನ ವರ್ಗವಾದರೆ , n ಎಂಬುದು ‘n2 ದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (square root). ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ‘ವರ್ಗಮೂಲ’ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.
|
ಸಂಖ್ಯೆ |
ವರ್ಗಮೂಲ |
|
=/ |
= |
|
=/ |
= |
|
|
=1.2 |
|
|
=.02 |
|
|
=5 |
ಸಮಸ್ಯೆ 1: 147 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಯಾವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ?
ಪರಿಹಾರ:
122=144, 132=169
ಅಲ್ಲದೆ 144<147<169
< <
12 < < 13
ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ
ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೆರಡರಂತೆ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 1: ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಿರಂತರ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ:
38025 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 5, 5,3,3,13,13
38025 = 5*5*3*3*13*13 = 52*32*132 = (5*3*13)2
= 5*3*13=195
ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,
10404 = 2, 2,3,3,17,17
10404 = 2*2*3*3*17*17 = 22*32*172 = (2*3*17)2
= 2*3*17=102
= = =
ಸಮಸ್ಯೆ 2: 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಅದನ್ನ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,
2617 = 3*3*313.
ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನ 313 ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಬಂದಿದೆ.
ಈಗ ನಾವು 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, (2617*313) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 3, 3, 313, 313
ಆಗ, 2617*313= =3*3*313*313 = 32*3132 = (3*13)2
ಇದೇ ರೀತಿ 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ
2617/313 =3*3 = 32
ಆದ್ದರಿಂದ 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ: ೩೧೩
ಸಮಸ್ಯೆ 3: 3600 ಚ.ಮಿ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ನೋಡಲು ನಮಗೆ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ ಬೇಕು. ಸುತ್ತಳತೆ ನೋಡಲು ಬದಿಯ ಉದ್ದಬೇಕು. ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (ಉದ್ದ)2=3600 ಚ.ಮಿ. 3600 = 2,2,2,2,3,3,5,5 = 2*2*2*2*3*3*5*5 = 22*22*32*52=(2*2*3*5)2 = 2*2*3*5=60 ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 60 ಮಿ. ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ = ಬದಿ*4 = (60*4) = 240 ಮಿ. ತೋಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = (60*4) =240 ಮಿ. ತೋಟಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = 4*240 = 960 ಮಿ. |
|
ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 7/21/2020
