ಕರಣಿಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲ	ಚಿಹ್ನೆ
1	1	1	= 1
2	4	1.414 (ಅಂದಾಜು)
3	9	1.732 ( ಅಂದಾಜು)
4	16	2	= 2
5	25	2.236 (ಅಂದಾಜು)
6	36	2.449 ( ಅಂದಾಜು)
7	49	2.646  ( ಅಂದಾಜು)
8	64	2.828 ( ಅಂದಾಜು)
9	81	3	= 3

ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ, 2,3,5,6,8  ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೂ (ಪಾಠ 1.5 ನೋಡಿ) ಅವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ  =1.41421356237310. . . . ಮತ್ತು = 2.23606797749979. . . .  ಎಂದು ತಿಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, 1,4,9  ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲಗಳಾದ 1,2,3  ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು  ಮತ್ತು ಇತರ ಭಾಗಲಬ್ಧ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ  _{, ,} ನಂತಹ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಮತ್ತು ರಂತೆಯೇ  , ಕೂಡ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

, ,  , ಇವುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ, ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

ಇವುಗಳನ್ನು ಕರಣಿಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಕರಣಿಯು(surd) ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:  ಇಲ್ಲಿ   a >0 ಮತ್ತು n>1. ಇಲ್ಲಿ  ‘n’  ನ್ನು ಕರಣಿಕ್ರಮ(order) ಮತ್ತು ‘a’ ಯನ್ನು ಕರಣೀಯ (radicand) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ( ಇದು ಮೂಲ ಎನ್ನುವ  ಚಿಹ್ನೆ.)

ಪ್ರತಿ ಕರಣಿಯೂ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತೀ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕರಣಿ ಅಲ್ಲ.

(ಉದಾ:  ,   : ಇವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲ.)

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

= 2^1/2,  = 5^1/3, 8 = 8*7^1/5

ಗಮನಿಸಿ:

1.  (2^1/2) *(2^1/2) =  * = 2. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ (2^1/2) *(2^1/2) =2^1/2+1/2 = 2¹= 2

2. ( )* ( )*( ) =  = 4.  ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ 4^1/3*4^1/34^1/3 = 4^1/3+1/3+1/3= 4^3/3= 4¹=4

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು:-

=(405)^1/4 = (81*5)^1/4 = (3⁴*5)^1/4 = 3^4*1/4* 5^1/4 = 3¹*5^1/4= 3 (ಘಾತಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು  ‘1’  ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಶುದ್ಧಕರಣಿಗಳು (pure surds).  ಉದಾ:  ,  ,  .

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ  ಸಹಗುಣಕವು  ‘1’  ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಮಿಶ್ರಕರಣಿಗಳು(mixed surds).  ಉದಾ: 5 ,8 ,4 ( ಸಹಗುಣಕಗಳು: 5, 8, 4).

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (like surds). ಉದಾ:  5 ,7 .8 ( ಇಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ  ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ 3, ಕರಣಿಕ್ರಮ 2).

ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಕರಣಿಗಳು ಅಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (unlike surds).

ಉದಾ:

(i)  ,  ,  (ಕರಣಿಕ್ರಮ: 2, ಕರಣೀಯ: 3, 2, 5)

(ii),  ,  ,  (ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು: 3, 5 ಕರಣೀಯ: 4)

ಗಮನಿಸಿ: ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ (ಪಾಠ 2.2 ನೋಡಿ).

1. ( )ⁿ =a

2.  * =

3.   / =

4.  = ಆದರೆ, a=b ಆಗುತ್ತದೆ.

5.  > ಆದರೆ, a>b ಆಗುತ್ತದೆ.

6.   < ಆದರೆ, a<b ಆಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ  + -

ಪರಿಹಾರ:

50 =25*2 = 5²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 5

32 =16*2 = 4²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 4

72 =36*2 = 6²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 6

+ - = 5 +4 -6 =(5+4-6) = 3

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಮತ್ತು  ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4)  ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ  ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ:  >   )  ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವೆರಡರ  ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಅಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.  ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ  3 ಮತ್ತು 4  ರ  ಲ.ಸಾ.ಅ.  12 ಆಗಿದೆ

= 4^1/3= 4^4/12 = (4⁴)^1/12=256^1/12=

=6^1/4 = 6^3/12= (6³)^1/12=216^1/12=

256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ   >

I.e.   >

ಗಮನಿಸಿ: ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ವರ್ಗಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು

 

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ..

(5 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ  =1.73205)

ಆದರೆ  ರ ಬೆಲೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ‘x+1’ ನ್ನ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

( )² = x +1 = ( )²+1² ====è(1)

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

(ವಿಕರ್ಣ)² =(1 ನೇ ಬಾಹು)² +(2 ನೇ ಬಾಹು)²

 

1 ನೇ ಬಾಹು	2 ನೇ ಬಾಹು	ಸಮೀಕರಣ	ವಿಕರ್ಣ
4	3	52 =   25  =  16 +   9   = 42+32	5
12	5	132 = 169 = 144+ 25  = 122+52	13
20	15	252 = 625 = 400+225 =202+152	25

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನ ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು  ಮತ್ತು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ:  ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು	ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ	ವಿಕರ್ಣ
1, 1	12+ 12=( )2
, 1	( )2+ 12=32
,1	( )2+ 12=42
………	…….	……
,1	( )2+ 12=(99)2
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ  ,1	( )2+ 12=(x+1)2

 

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ,  ಮತ್ತು 1 1 ನ್ನ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಿದರೆ ಆಗ ಅದರ ವಿಕರ್ಣವು ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತು  ರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದು ‘O’ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. O ನಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ  A ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈಗ, OA=1 ಸೆ.ಮಿ. Aಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 1 ಸೆ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಮೇಲೆ ಎಳೆದ ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಆಗ, AB = 1 ಸೆ.ಮಿ. OB ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ OA = AB =1 ಸೆ.ಮಿ. ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ OAB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ OB2 = OA2+AB2 =  12+12= 1+1 =2 OB =  OB ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.   OP =

ಸಮಸ್ಯೆ 2: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಮಾಡಿ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.   P ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 1 ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಲಂಬವನ್ನು C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. PC = 1 ಸೆ.ಮಿ. OC ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ  OC2 =OP2+PC2 = ( )2+12 =2+1 OC =  O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು,OC ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನುQ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.  OQ=

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:   ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, (OB,OC,OD,OE….) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿಂದ ಎಳೆದ ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತ ಭಾಗಗಳಿವೆ. OB = , OC = , OD = , OE = ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿದ್ದ ಥಿಯೋಡೊರಸ್. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಥಿಯೋಡೊರಸ್ ಚಕ್ರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಣೆ

ಕೆಳಗಿನ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ.

 

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ ರೂ 10,000 ಸಾಲ ಪಡೆದಿದ್ದೀರೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ ಮತ್ತು  ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಲ್ಪವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತೀ ದಿನ ವಾಪಾಸು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಒಪ್ಪಿದ್ದೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

1.   ನೀವು ದಿನಕ್ಕೊಂದು ರೂಪಾಯಿಯಂತೆ ವಾಪಾಸು ಕೊಡಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಒಪ್ಪುತ್ತಾನೆಯ ? ಖಂಡಿತಾ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಸುಮಾರು 28 ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕು.(10,000/365).

2.   ನೀವು ಪ್ರತೀದಿನ ದಿನದ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ರೂಪಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ.(1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2 ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3 ನೇ ದಿನ 3 ರೂ. . . . . . ಹೀಗೆ) ಆಗ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಬೇಕು ?

3.   ನೀವು ಮೊದಲ ದಿನ 1 ರೂ. ಕೊಟ್ಟು ಮುಂದಿನ ಪ್ರತೀದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟ ಹಣದ ಎರಡರಷ್ಟು ಕೊಡುವಿರಾದರೆ,( 1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3ನೇ ದಿನ 4 ರೂ 4ನೇ ದಿನ 8 ರೂ  . . . . ಹೀಗೆ) ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಬೇಕು?

ಕೊನೆಯ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಬೇಕಾದ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ?

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ನೀವು ಒಂದು 70 ಕಿ.ಮೀ. ದೂರದ ಸೈಕಲ್ ರೇಸ್‍ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ. ಮೊದಲ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 16 ಕಿ.ಮೀ ದೂರ ಚಲಿಸುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರತೀ ಗಂಟೆಯಲ್ಲೂ ನಿಮ್ಮ ವೇಗ ಒಂದೊಂದು ಕಿ.ಮೀ.ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಾದರೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಅಂತಿಮ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಲು ನಿಮಗೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು ?

ಈ ರೀತಿಯ, ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಶ್ರೇಢಿಗಳು

1.8.1 ಉದಾ 1 : ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೇಳಿದರೆ ಹೇಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ ?

3, 10, 4, 1, 12, 8, 7, 5, 6, 2, 9, 11 - ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಾ?

ಇಲ್ಲ ಬದಲಾಗಿ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 - ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ.

1.8.1 ಉದಾ 2 : 2006 ನೇ ಇಸವಿ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿರುವ ಆದಿತ್ಯವಾರಗಳ ತಾರೀಕುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದರೆ, ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ : 1, 8, 15, 22, 29  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ

ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಿದಿರಿ ? ನಿಮಗರಿವಿಲ್ಲದೆಯೇ ನೀವೊಂದು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧರಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೀರಿ.

ಮೊದಲನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, ಒಂದೊಂದೇ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ, ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆದಿರಿ. 12 ಆದೊಡನೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿದಿರಿ. ಏಕೆ? ಅದು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೊನೆಯ ತರಗತಿ.

ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2006 ನೇ ಇಸವಿ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳ ಮೊದಲ ರವಿವಾರ 1 ನೇ ತಾರೀಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲು ‘1’ ನ್ನು ಬರೆದು “ಮುಂಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 7 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ” ಎನ್ನುವ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಿರಿ. ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 31 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಂಡಿರಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ 31 ದಿನ ಮಾತ್ರವಿರುತ್ತದೆ.

1.8.1 ಉದಾ 3 : ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 2, 4, 6, 8, 10, 12 . . . . . .

ಇದು ಯಾವ ಪಟ್ಟಿ? ಇದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಇದು ಮುಗಿಯುವುದೇ ಇಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯು (sequence) ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದ (Term) ವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, T₁ T₂T₃T₄T₅ ….

ಪದಗಳ ಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆ ==à	1	2	3	4	----	n	---
ಅನುಕ್ರಮ ಸೂಚಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ==à	T1	T2	T3	T4	----	Tn	---

 

ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ {T_n } ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯು ‘ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ’ (Finite sequence).

ಎಣಿಸಲಾಗದ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿ ‘ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ’ (Infinite sequence).

ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 12 ಪದಗಳಿವೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 5 ಪದಗಳಿವೆ. ಇವೆರಡೂ ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

3 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಾದ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ.

ಉದಾ 4 : ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದಲೂ ಕೂಡಿರಬಹುದು.

2/1, 3/2, 4/3, 5/4 . . . .

ಇಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯಪದ T_n ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

T₁ = (1+1)/1

T₂ =(2+1)/2

T₃ =(3+1)/3

T₄ =(4+1)/4

T_n=(n+1)/n, ಈ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದಾಗಿ, ದತ್ತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಶ್ರೇಢಿಯ 6 ನೇ ಪದ T₆ =(6+1)/6 =7/6

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : T_n =2n²+1, T_n=73 ಆದರೆ n ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ?

T_n =2n²+1 =73

2n² =73-1=72

2n² =72

n² =36

n =  =

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ n, ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು  n=6.

ತಾಳೆ:

T₆ = 2*6²+1 = 2*36+1=73

ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ(series) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು S ಅಥವಾ S_n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

S_n = T₁ + T₂+T₃.........T_n

S_n- S_n-1=( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1+ T_n) -( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1)= T_n

S_n- S_n-1  = T_n

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : T_n ={(-1)ⁿ} ಆದರೆ S₁ = S₃ : S₂ = S₄ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

T_n =(-1)ⁿ

T₁= (-1)¹ = -1, T₂ = (-1)² =1, T₃ = (-1)³ = -1, T₄= (-1)⁴ = 1

S₁ = T₁ = -1

S₃ = T₁ + T₂+T₃= -1+1-1 = -1

S₁ = S₃

S₂ = T₁ + T₂ =-1+1 =0

S₄ =T₁ + T₂+T₃ +T₄= -1+1-1+1 =0

S₂ = S₄

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 1.8.1.1 ರಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾ.1.8.1.2 ರಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 7 ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯು “ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ” (Arithmetic Progression)(AP). ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ‘d’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ, T_n+1 – T_n =d : T_n-1+d =  T_n

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ‘a’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

T₁ = a

T₂= a+d

T₃=  T₂+d  =(a+d)+d = a+2d = a + (3-1)d

T₄=  T₃+d  =(a+2d)+d =a+3d= a+(4-1)d

T_n =  T_n-1+d = a+(n-1)d.    d= (T_n -a)/(n-1)

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: T_n = a+(n-1)d

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:{a, a+d, a+2d,a+3d …, a+(n-1)d}

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : S_n = 5n²+3n ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

S_n-1 = 5(n-1)²+3(n-1) = 5(n² -2n+1) +3n-3

= 5n²-10n+5+3n-3

= 5n²-7n+2

T_n= S_n- S_n-1

= (5n²+3n) –(5n²-7n+2)

= 10n-2

T₁ = 8

T₂ =18

T₃ =28

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ{8,18,28…..}

ತಾಳೆ:

S₃ = T₁ + T₂ + T₃ =8+18+28 = 54

S_n = 5n²+3n

= 5*3²+3*3

= 54

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ  T₁₀ =20 T₂₀ =10 ಆದರೆ  T₃₀ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು a ಮತ್ತು  d ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

T_n = a+(n-1)d

T₁₀ = a+(10-1)d = a+9d

ಆದರೆ_, T₁₀= 20 à ದತ್ತ

a+9d=20: a=20-9d                ====à(1)

T₂₀ = a+(20-1)d = a+19d  ====à(2)

ಆದರೆ,  T₂₀= 10

(1) ಮತ್ತು (2)ರಿಂದ, T₂₀ = a+19d

=20-9d+19d =10

=20+10d =10

10d =(10-20)= -10

d = -1

(1) ರಿಂದ,      a =20-9d

= 20+9 =29

T₃₀ = a+(30-1)d

= 29+29*(-1) = 29-29 =0

ತಾಳೆ:

T₁₀ =29+9*(-1)=20

T₂₀ =29+19*(-1)=10

ಸಮಸ್ಯೆ 3: 5 ನೇ ಮತ್ತು 10 ನೇ  ಪದಗಳ ಅನುಪಾತ 1:2  ಆಗಿದ್ದು, T₁₂ =36 ಆಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

T₅ : T₁₀ = 1:2 (i.e T₅ /T₁₀ =1/2) à ದತ್ತ

2T₅ = T₁₀

2(a+4d) = (a+9d)

2a+8d = a+9d

a=d.

T₁₂ =36à ದತ್ತ

a+ 11d = 36

a=d ಆದ್ದರಿಂದ,  12d =36

d=3

a=d ಆದ್ದರಿಂದ,  a=3

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: = 3,6,9,12…

ತಾಳೆ:

T₅ = 15, T₁₀ =30, 1:2 ದತ್ತ ಅನುಪಾತ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಮೊತ್ತ 15 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 105 ಆಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮಧ್ಯದ ಪದ a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೊದಲ ಪದ: a-d.

3  ನೇ ಪದ: a+d.

ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = (a-d)+a+(a+d ) = 3a = 15

a = 5.

ಮೂರು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = (a-d)*a*(a+d) = a*(a²-d²) =105

a*(a²-d²) =105

5(5²-d²) = 105

(25-d²) = 21

-d² = 21-25

-d²= -4

d²= 4

d =

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು: 3,5,7 ಅಥವಾ 7,5,3

ತಾಳೆ: 3,5,7 ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ 15, ಗುಣಲಬ್ಧ: 105.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಈಗ ನಾವು ಈ ಅಧ್ಯಯನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುವಾ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ ರೂ 10,000  ಸಾಲ ಪಡೆದಿದ್ದೀರೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ ಮತ್ತು  ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಲ್ಪವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತೀ ದಿನ ವಾಪಾಸು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಒಪ್ಪಿದ್ದೀರಿ.. ಆಗ ನಿಮಗೆ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ.

1.   ನೀವು ದಿನಕ್ಕೊಂದು ರೂಪಾಯಿಯಂತೆ ವಾಪಾಸು ಕೊಡಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಒಪ್ಪುತ್ತಾನೆಯ ? ಖಂಡಿತಾ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಸುಮಾರು 28 ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕು.(10,000/365).

2.   ನೀವು ಪ್ರತೀದಿನ ದಿನದ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ರೂಪಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ.(1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2 ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3 ನೇ ದಿನ 3 ರೂ. . . . . . ಹೀಗೆ ಕೊಡುತ್ತಾ ಹೋಗಲು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ ? ಖಂಡಿತಾ ಬೇಡ – ಏಕೆ ನೋಡುವಾ:)

2 ನೇ ಆಯ್ಕೆ ಯಂತೆ  ನೀವು 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ? = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 ರೂ.

ಹಾಗಾದರೆ 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು? ಇದನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಮೊದಲ ‘n’ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ಏನು ಎಂದು ತಿಳಿಯುವಾ.

{T} = {1,2,3……n}

S_n = 1     +    2  +   3  ………….+(n-2)+ (n-1) +n(n ಪದಗಳಿವೆ. ತಿರುಗಿಸಿ ಬರೆದಿದೆ.)

+ S_n =  n    +(n-1)+(n-2) …              +  3  +   2     +1(ತಿರುಗಿಸಿ ಬರೆದಿದೆ.)

==================================

2S_n= (n+1)+(n+1)+(n+1)    …..    .+(n+1)+(n+1)+(n+1) (n ಪದಗಳಿವೆ.)

= n(n+1)

S_n= 

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ, 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ:

S₁₀ =10*11/2= 55 ರೂ.

ಈಗ 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಡುವ ಒಟ್ಟು ಹಣ: S₁₀₀ = 100*101/2  =  5050 ರೂ.

200 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಡುವ ಒಟ್ಟು ಹಣ S₂₀₀ = 200*201/2 =20,100 ರೂ.

10,000 ರೂ. ಗಳನ್ನು ತೀರಿಸಲು ಬೇಕಾದ ದಿನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ ನಂತರ ನೋಡುವಾ.

ಈಗ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ:  S₁₄₁ =  =10,011

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು 141 ದಿನಗಳು ಸಾಕು.

ಮೊದಲ  n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ S_n ನ್ನು  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

= 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು “ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ” (arithmetic series) ಎನ್ನುವರು.

ಉದಾ: {2,5,8},  {1,4,7,},  {3,7,11}

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ‘n’ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

{AP}= {a, a+d, a+2d, a+3d ….,a+(n-1)d}

S_n= [a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d) …..a+(n-1)d]

= [a+a+a ….(n ಸಲ) +d(1+2+3+ ……. (n-1)]

= na+d[ ]

na+  ( =  ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ n ಬದಲು (n-1) ಉಪಯೋಗಿಸಿ)

S_n = na+  =  = n*( )

= n*( )=n*( )

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 25 ಪದಗಳಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪದ 20 ಆದರೆ ಆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ: n=25, T₁₃ =20,  S₂₅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

T₁₃ = a+12d

S₂₅ = n*(a+ T₂₅)/2= 25*(a+a+24d)/2

= 25*2*(a+12d)/2

= 25*(a+12d) = 25*20(T₁₃ = a+12d)

= 500

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : 4 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ 101 ರಿಂದ 201 ರ ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

{AP} = (104,108,112 …200}

S_n = 104+108+112+……

= 104+(104+4) + (104+8)… (104+96) (104, 25 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆಗುತ್ತದೆ.) (ಗಮನಿಸಿ: 1 ನೇ ಪದ =104, ಕೊನೆಯ ಪದ 200 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ = 4)

= 104*25 +4(1+2+3…..24)

= (104*25) +4*( )

=2600+1200=3800

ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಬಾಹುಬಲಿಯ ಏಕಶಿಲಾ ವಿಗ್ರಹವಿರುವ ಶ್ರವಣ ಬೆಳಗೊಳಕ್ಕೆ ನೀವು ಪ್ರವಾಸ ಹೋಗಿದ್ದೀರೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಮೊದಲ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ 23 ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು ಹತ್ತುತ್ತೀರಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ 2 ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಹತ್ತುತ್ತೀರಿ ಎಂದಾದರೆ, 7 ನಿಮಿಷ ಗಳಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ ಒಟ್ಟು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನೀವು ಪ್ರತೀ ನಿಮಿಷದಲ್ಲೂ ಹಿಂದಿನ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ 2 ಮೆಟ್ಟಿಲು ಕಡಿಮೆ ಹತ್ತುವುದರಿಂದ ಅದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ. ನೀವು 7 ನಿಮಿಷ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ S₇ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.

{AP} = {23,21,19….)         a=23, d = -2

S_n = n*( )

S₇ = 7* ( )

= 7*[46-12]/2

= 7*17 = 119

ನೀವೇ ಮಾಡಿ: ನೀವು ಪ್ರತಿಮೆಯನ್ನ ತಲುಪಲು 1000 ಮೆಟ್ಟಿಲು ಹತ್ತಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗುವ ಕಾಲವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ5: ನೀವು ಒಂದು 70 ಕಿ.ಮಿ. ದೂರದ ಸೈಕಲ್ ರೇಸ್ ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಗಂಟೆಗೆ 16 ಕಿ.ಮಿ. ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದೆ ಪ್ರತೀ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೊಂದು ಕಿ.ಮಿ. ನಷ್ಟು ವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಮುಗಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಕಾಲ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಿಮ್ಮ ಸೈಕಲಿನ ವೇಗ: (16,15,14, …) ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =70 ಆಗುವಂತೆ n ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =16, d = -1

S_n = n*( )

= n*( )

= n*( )

= n*( )

n*( )  = 70(ಒಟ್ಟು ದೂರ: 70 ಕಿ.ಮಿ.)

(33n-n² ) = 2*70=140

-n² +33n -140 =0

n² -33n +140 =0

(n-5)*(n-28) = 0

n=5 ಅಥವಾ n=28

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವಿಲ್ಲಿ 2 ಉತ್ತರಗಳನ್ನು (5 ಮತ್ತು 28) ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಆರಂಭದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 16ಕಿ.ಮಿ. ಆಗಿದ್ದು, ಗಂಟೆಗೆ ಒಂದು ಕಿ.ಮಿ. ವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವಾಗ ಬೇಕಾದ ಕಾಲ 5 ಗಂಟೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (n=28ಆದರೆ ವೇಗ ಋಣ (T₂₈=  -11) ಆಗುತ್ತದೆ).

ಬೇಕಾದ ಕಾಲ= 5 ಗಂಟೆಗಳು.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಒಬ್ಬ ರಾಜನು ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 2 ಯೋಜನ ದೂರ ಹೋಗಿ, ಶತ್ರುವಿನ ಆನೆಗಳನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು 7 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  80 ಯೋಜನಗಳು ಹೋದರೆ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಹೆಚ್ಚಿಸಿರಬೇಕು, ಬುದ್ಧಿವಂತನೇ ಹೇಳು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 126)

ಪರಿಹಾರ:

ರಾಜನು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =70 ಆಗುವಂತೆ d ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =2, n = 7

S_n = n*( )

= 7*( )

= 7*( )

= 7*(2+3d) = 80

2+3d = 80/7

3d = (80/7)-2 = (66/7)

ರಾಜನು ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ 22/7 ಯೋಜನ ದೂರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಒಬ್ಬನು  ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 3 ಪಲ್ಲ ಧಾನ್ಯವನ್ನು ದಾನ ಮಾಡಿ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ  2 ಪಲ್ಲಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾ ಹೋದರೆ 360 ಪಲ್ಲಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ದಾನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಲೀಲಾವತಿಯೇ ಬೇಗ ಹೇಳು. (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 124)

ಪರಿಹಾರ:

ದಾನ ಮಾಡಿದ ಧಾನ್ಯ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =360  ಆಗುವಂತೆ n ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =3, d = 2

S_n = n*( )

= n*( )

= n*(3n+2n-2) = n(n+2)

n²+2n =360

n²+2n -360 =0

(n+20)*(n-18) =0

n  =-20 ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ  360 ಪಲ್ಲ ದಾನ ಮಾಡಲು 18 ದಿನಗಳು ಬೇಕು.

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

1.   {T}= {2,4,8,16 …….}.  ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವೂ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ.

2.   ಯಾವುದೇ ಪದ = 2* ಹಿಂದಿನ ಪದ ಅಥವಾ = 1/2* ಮುಂದಿನ ಪದ

ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ = 1:2.

2.   {T}= {27,9,3,1 …….}.  ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವೂ ಹಿಂದಿನ ಪದದ 1/3 ರಷ್ಟಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪದ = 1/3* ಹಿಂದಿನ ಪದ ಅಥವಾ  ಮುಂದಿನ ಪದ = 3*ಹಿಂದಿನ ಪದ.  ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ =3:1

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಶ್ರೇಢಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು “ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ” (Geometric Progression)(GP) Jಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ‘ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ’ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಅದನ್ನ ‘r’ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು GP ಯಲ್ಲಿ  T_n /T_n-1 = ಸ್ಥಿರಾಂಕ

1 ನೇ ಉದಾ ದಲ್ಲಿ  T₃ /T₂= =2        2 ನೇ ಉದಾ ದಲ್ಲಿ T₃ /T₂= = 1/3

ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದ T₁ = a ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ‘r’ ಆದರೆ,

T₂= T₁*r= ar^(2-1)

T₃= T₂*r= ar*r =ar²= ar^(3-1)

T₄= T₃*r= ar²*r = ar³= ar^(4-1)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, T_n= ar^(n-1) ;   T_n= ar^(n-1 = ar^(n-2)*r=T_n-1*r

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:- {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)}

ಸಮಸ್ಯೆ 1 :  ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ 7 ನೇ ಪದವು 4 ನೇ ಪದದ ಎಂಟರಷ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು  5 ನೇ ಪದ 12 ಆದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

T_n = ar^n-1

T₇=a r⁶ ,  T₄=a r³ ಆದರೆ T₇= 8T₄ à ದತ್ತ

a r⁶= 8 ar³

r³= 8

r=2

T₅=a r⁴

= a 2⁴=16a =12 (ದತ್ತ Û)

a =  =

ದತ್ತ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ = { ,  *2,  *2² ,  *2³….} = {3/4, 3/2,3,6…}

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು:

= {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)}(n ಪದಗಳು)

(1)        S_n= a +ar+ar²+ ar³ ……….. +ar^(n-1)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ‘r ’ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

(2)        rS_n=       ar+ar²+ ar³ ……       +ar^(n-1)+ arⁿ

ಸ.(2) ರಿಂದ (1) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ

S_n- rS_n=a- arⁿ

S_n(1-r) =a(1- rⁿ)

S_n= a (1- rⁿ)  / (1-r)   -----à r <1 ಆದಾಗ,

= -a (1- rⁿ) /-(1-r) (ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೆರಡನ್ನೂ -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ)

=  a ( rⁿ-1) /  (r-1)      -----à r >1 ಆದಾಗ,

r ಗೆ ಯಾವುದೆಲ್ಲಾ ಬೆಲೆ ಇರಬಹುದು? ( r=1, r>1,r<1)

1) r=1 ಆದಾಗ, GP = {a ,a,a.a,a….}

2) r<1 ಆದಾಗ,

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, r =  = 0.9 ಆದಾಗ, n ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದಾಗ, G ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

r2=	0.81
r4=	0.66
r8=	0.43
r16=	0.19
r64=	0.0012

 

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, n ನ ಬೆಲೆ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, rⁿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. (we say rⁿ approaches 0).

ಅದೇ ರೀತಿ  r ನ ಬೆಲೆ 1 ರ ಸಮೀಪ (999/1000) ಆದಾಗ ಕೂಡಾ ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

r<1 ಆದಾಗ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ  S_n= a (1- rⁿ) / (1-r)  ====è

S_infinity =  =

ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ S_2n/ S_n = rⁿ+1 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

S_2n/ S_n = [a(1- r²ⁿ)/(1-r)]/ [a(1- rⁿ)/(1-r)]

= [a(1- r²ⁿ)*(1-r)]/[a (1- rⁿ)*(1-r)]

= (1- r²ⁿ)/ (1- rⁿ)

= (1- rⁿ) (1+ rⁿ)/ (1- rⁿ)    ===à (a²- b²) = (a-b)*(a+b) , r²ⁿ= (rⁿ)²

=  (1+ rⁿ)

ಸಮಸ್ಯೆ 2 :  ಈ ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿ: { 1, 0.1, 0.01, 0.001,…. (0.1)⁹} (ಗಮನಿಸಿ: ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ  9 ಪದಗಳಲ್ಲ. 10ಪದಗಳಿವೆ.)

ಪರಿಹಾರ:

a=1, r=1/10

S_n = a (1- rⁿ) / (1-r)

S₁₀ = 1(1- (1/10)¹⁰ ) / (1-1/10)

=  [(10¹⁰ -1)/10¹⁰]/(9/10)

=  (10¹⁰ -1)/(9*10⁹)

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : S₁₀:  S₅=  33:1, T₆= 32 ಆದರೆ ಆ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

GP ಯಲ್ಲಿ S₁₀/  S₅ = [a(r¹⁰-1)/(r-1)]/ [a(r⁵-1)/(r-1)]

= (r¹⁰-1)/ (r⁵-1)

=  (r⁵+1)  =====à ಗಮನಿಸಿ {(a²- b²) = (a-b)*(a+b) ಮತ್ತು  r¹⁰= (r⁵)²}

ಆದರೆ S₁₀/  S₅ =  33 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

(r⁵+1) =33

r⁵ =33-1=32    r =2

T_n = ar^n-1

T₆ = a2⁵

= 32(ದತ್ತ)

a=1

{GP} = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…}

ಸಮಸ್ಯೆ 4 :  ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬವನ್ನು ಕೆಲವು ಶಾಲೆಗಳ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಹಂಚುವ ಮೂಲಕ ಆಚರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ.ಹೀಗೆ ಹಂಚುವಾಗ, 1 ಪ್ಯಾಕೇಟ್ ನಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಶಾಲೆಗೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಶಾಲೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳ, 4 ರಷ್ಟು ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರಿ. ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ 341 ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಕೊಡಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:

ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಹಂಚಿದ ಸಿಹಿ ತಿಂಡಿ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.

= {1,4,16,….} ಆಗ a=1, r=4. S_n = 341 n=?

r >1 S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

S_n = a(4ⁿ-1)/(4-1)

= 1(4ⁿ-1)/3

= 341 à ದತ್ತ

(4ⁿ-1) = 3S_n = 3*341=1023

4ⁿ= 1024

n =5

ನೀವು 5 ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಸಿಹಿ ತಿಂಡಿ ಹಂಚಬಹುದು

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಒಬ್ಬನು  ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 2 ವರಾಟಕ ದಾನ ಮಾಡಿ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟದ್ದರ ಎರಡರಷ್ಟು ಕೊಡುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಒಂದು ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು  ದಾನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಲೀಲಾವತಿಯೇ ಬೇಗ ಹೇಳು. (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 130)

ಪರಿಹಾರ:

ದಾನ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.

= {2,4,8,16,,….} ಆಗ, a=2, r=2, n=30

S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

S_n = 2(2³⁰-1)/(2-1)

= 2(1024³-1)    (  2³⁰ ={2¹⁰}³=1024³

= 2147483646

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression):

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶ್ರೇಢಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:-

{ ,  ,  , …}

{ , , …}

ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಗಳ ಪದಗಳ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬರೆದಾಗ,

{ 3, 6, 9 12…} ಇದು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ (ಸಮಸ್ಯೆ 1.8.3.3)

{8,18,28….} ಇದು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ (ಸಮಸ್ಯೆ 1.8.3.1)

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ‘ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ’ (Harmonic progression) ಎನ್ನುವರು. ಅದನ್ನ ‘{HP}’ ಯೆಂತಲೂ ಸೂಚಿಸುವರು.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ{AP} ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ = T_n =a+(n-1)d

{HP} ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ = 

{HP}= { ,  ,  ,  …….  }

ಗಮನಿಸಿ: ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ S_n ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರ ಇಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ  T₄=  , T₁₀=  ಆದರೆ T₁₉ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ T_n= 

T₄=  =  (ದತ್ತ)

T₄=  = 

a+3d =12  ==========à(1)

T₁₀=  =  (ದತ್ತ)

a+9d =42  ==========à (2)

(1) ನ್ನು (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ

a+9d-(a+3d) =42-12

6d = 30

d =5

1 ರಲ್ಲಿ  d ಯ ಬೆಲೆ  5  ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ,

a+3*5 =12

a = (12-15) = -3

T₁₉= 

= 

=

ಸಮಾಂತರ, ಗುಣೋತ್ತರ ಮತ್ತು ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯಗಳು (Arithmetic, Geometric and Harmonic means) (AM,GM and HM):

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, A ಮತ್ತು b ಗಳು ‘ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ’  ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ,a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ {Arithmetic Mean (AM)} ‘A’ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

a, A ಮತ್ತು b ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು.

A-a =b-A(ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

2A = a+b

A =

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, G ಮತ್ತು b ಗಳು ‘ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ’  ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ, a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಗುಣೋತ್ತರ ಮಾಧ್ಯ{Geometric Mean (GM)}‘G’ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

a, G ಮತ್ತು b ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು.

= ( ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ)

G²= ab

G = 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, H ಮತ್ತು  b ಗಳು ‘ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ’ ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ, ‘H’ - a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯ{Harmonic Mean (HM)} ಆಗಿರುತ್ತದೆ

a, H, b à ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳಾದರೆ,

( , , )ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ  - =  - (ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

=  +

= 

2ab =H(a+b)

H = 

ಪ್ರಮೇಯ: A, G ಮತ್ತು H ಗಳು ಎರಡು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ  ನಡುವಿನ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ (AM) ಗುಣೋತ್ತರ ಮಾಧ್ಯ (GM) ಮತ್ತು ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯ (HM) ಗಳಾದರೆ, A,G ಮತ್ತು H ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ್ದು: G/A =H/G ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ)

ಈಗ, (AM) A =  (GM) G = 

(HM) H =

A*H =  * = ab= ( )²= G²

ಅಥವಾ   H/G = G/A  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  A,G, H ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, A G H ಆಗಿರುತ್ತದೆ.( (a+b)² ನ ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಾಧಿಸಿ)

ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ’ಅಸಾಧ್ಯತೆ’ ಯಿಂದ  ’ಸಾಧ್ಯತೆ’ ಯ ನಡುವೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ  ಅಕಸ್ಮಾತ್ ಆಗಿ ಘಟಿಸುವ  ಘಟನೆಗಳ ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ  ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವುದರ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಕುರಿತಾಗಿದೆ.

1.      ಯಾವುದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

2.      ಭಾರತವು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ನಲ್ಲಿ ಟೆಸ್ಟ್ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

3.      ಒಬ್ಬನು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ಶತಕ ಬಾರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

4.      ಭಾರತವು ಒಲಂಪಿಕ್ಸ್ ನ   400 ಮೀ ರಿಲೇ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ಪದಕಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

5.      1 ರೂ ನಾಣ್ಯವನ್ನು100  ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

6.      ದಾಳವನ್ನು 500 ಬಾರಿ ಎಸೆದಾಗ 2 ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮೇಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆಯೆಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ 4 ಘಟನೆಗಳ ಹಾಗೂ ಕೊನೆಯ 2 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ  ಘಟನೆಗಳು ನಡೆದರೂ ನಡೆಯಬಹುದು. ನಡೆಯೆದೆಯೇ ಇರಬಹುದು. ಮೊದಲ 4 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಬಾಹ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಾದ ಸ್ಥಳ,ಕಾಲ,ಎದುರಾಳಿಗಳ ಬಲ..ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ 2 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ  ಯಾವಾಗಲೂ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಬಾರಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ  ಎರಡೇ ಘಟನೆಗಳು ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯ, ಒಂದೋ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹಲವು ಬಾರಿ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ) ಸಾಧ್ಯತೆ  0%  ದಿಂದ  100% ವರೆಗೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. ಅದೇ ರೀತಿ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ) ಸಾಧ್ಯತೆ  100% ರಿಂದ 0% ವರೆಗೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮತ್ತು ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ)  ಸಾಧ್ಯತೆ  50% ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1/2. ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವಾಗ ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವಾಗ ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಘಟನೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಂದರೆ ಒಂದೋ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಅವರೆಡರ ಸಂಭವನೀತೆಯ ಮೊತ್ತ  1/2+1/2= 1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ≤ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದಾಳದ ಮೇಲೆ ಏಕೆ  ಕೇವಲ 1 ರಿಂದ 6 ರ ವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ?

ದಾಳವು ಘನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದಕ್ಕೆ 6 ಮುಖಗಳಿವೆ. ಮುಖಗಳನ್ನು  1 ರಿಂದ 6 ಅಂಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 1 ರಿಂದ 6  ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ  ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಎಷ್ಟು? ಅದು 6 ರಲ್ಲಿ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6.

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

= ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೀಳದೇ ಇರುವುದರಿಂದ  1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳದೇ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= ಸಂಖ್ಯೆ 2  ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 5/6

ಅಥವಾ  ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳದೇ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1 - ಸಂಖ್ಯೆ1 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 1-1/6= 5/6

ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಶಬ್ದಗಳು:

ಸಂ	ಪದ	ಅರ್ಥ	ಉದಾಹರಣೆ
1	ಪ್ರಯೋಗ (Experiment)	ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆ/ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
2	ಯತ್ನ(Trial)	ಪ್ರಯೋಗದ ನಿರ್ವಹಣೆ	ನಾಣ್ಯದ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆ/ದಾಳದ ಎಸೆಯುವಿಕೆ
3	ಫಲಿತ(outcome)	ಯತ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶ	ಶಿರ ಅಥವಾ ಬಾಲ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು/ ಸಂಖ್ಯೆ  1  ರಿಂದ  6 ರ ಒಳಗೆ ದಾಳ ಬೀಳುವುದು
4	ಫಲಿತ ಗಣ (Sample space)	ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಗಣ	S = {H,T}. S = {1,2,3,4,5,6}
	ಘಟನೆ(event)	ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಉಪಗಣ	ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು =A= {H}, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು =B={4} ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ = C = {2,4,6}
5	ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ(Elementary event)	ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆ (ಒಂದೇ ಒಂದು  ಗಣಾಂಶ ಇರುವ ಫಲಿತ ಗಣದ ಉಪಗಣ)	ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು =A= {H}, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು B={4}
6	ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆ (Compound event)	ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಗ ಗಣ (ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಾಂಶವುಳ್ಳ ಫಲಿತ ಗಣಗಳ ಉಪಗಣಗಳು)	3 ಶಿರಗಳು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು A= {HHH} ಒಂದು ಬಾಲವಾದರೂ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು B = {HTT, TTH, THT, TTT}
7	ಅನುಕೂಲಿತ ಘಟನೆ(Favourable event)	ಬಯಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ
8	ಖಚಿತ ಘಟನೆ(Certain(sure) event)	ಆಗಿಯೇ ತೀರುವಂತಹ ಘಟನೆ. (ಇಂತಹದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ)	ದಾಳ ಬೀಳಿಸಿದಾಗ 0  ಮತ್ತು 7  ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ= 1. ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು   1).
9	ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ(Impossible event)	ಆಗದೇ ಇರುವಂತಹ ಘಟನೆ. (ಇಂತಹದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ)	ದಾಳ ಬೀಳಿಸಿದಾಗ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅಥವಾ 6 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ= 0. ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು   1).
10	ಪೂರಕ ಘಟನೆ(Complementary event)	ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯಲ್ಲದ್ದು . ಅಂತಹ ಘಟನೆಯನ್ನು  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ:A  = S ಮತ್ತು A  =  { }	ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು A = {H}, ಇದರ ಪೂರಕ ಘಟನೆಯೆಂದರೆ ಶಿರ  ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳದೇ ಇರುವುದು ಅಂದರೆ, ಬಾಲ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು.  = {T} ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು B={4}, ಇದರ ಪೂರಕ ಘಟನೆಯೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳದೇ ಇರುವುದುಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1,2,3,5 ಮತ್ತು 6 ಬೀಳುವುದು.  = {1,2,3,5,6}
11	ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆ (Mutually exclusive event)	2 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಆಗದಿರುವಂತಹವು.	S = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3},  B = {4,5} ಆಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು  B ಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಘಟಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳು, ಹಾಗೂ ಗಮನಿಸಿ :A  B  =

 

ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಪ್ರಯೋಗ	ಫಲಿತ ಗಣ ಮತ್ತು ಘಟನೆ	ಘಟನೆಗಳು n(S)	ಘಟನೆ A	ಘಟನೆ A ಗೆ ಅನುಕೂಲಿತ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು n(A)	ಸಂಭವನೀಯತೆP(A) = n(A)/n(S)	ಪೂರಕ ಘಟನೆ ( A=  )	ಪೂರಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ P( ) = n( )/n(S)
1 ನಾಣ್ಯ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ	S={ H,T }	2	ಬಾಲ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು	A=(T) n(A)=1	1/2	ಶಿರ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು= (H) n( )=1	1//2
2 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ	S={ HH,HT,TH,TT }	2*2=4	ಬಾಲ ಬೀಳದಿರುವುದು	A = {(HH)} n(A)=1	1/4	ಬಾಲ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n( )=3	3/4
3 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ	S={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT, THT,TTH,TTT }	2*2*2=8	ಎಲ್ಲವೂ ಶಿರ/ಬಾಲ ಗಳಾಗಿ  ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು	A= {(HHH),(TTT)} n(A)= 2	2/8	ಶಿರ/ಬಾಲಗಳು ಬೆರೆಕೆಯಾಗಿ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n( )=6	6/8
1 ದಾಳ ಎಸೆದಾಗ	S={1,2,3,4,5,6 }	6	ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಬೀಳುವಂತಾದ್ದು	A={2,4,6} n(A)= 3	3/6	ಬೆಸ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n( )=3	3/6
2 ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆದಾಗ	S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }	6*6=36	ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು	A= {(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(5,5),(6,6) n(A)= 6	6/36	ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n( )= 30	30/6

 

P(E) = ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ  P_E = E ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ =

ಗಮನಿಸಿ :P(A)+ P( ) =1  (  n(A)/n(S) + n( )/n(S) = {n(A) + n( )}/n(S) = n(S)/ n(S) )

P(A) =1- P( ), P( ) =1- P(A)

ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ  ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ

ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 or 1 ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

1.      ದಾಳ ಬೀಸಿದಾಗ  0 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಥವಾ 6 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಇಲ್ಲಿ  A = {} ಯು ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಮತ್ತು  n(S) = 6  ಆದುದರಿಂದ  P(A)= n(A)/n(S)= 0 ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು   1).ಇದು ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ (impossible event) ಏಕೆಂದರೆ ಇಂತಹ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ.

2.      ದಾಳ ಬೀಸಿದಾಗ  0 ಮತ್ತು  6 ರ ನಡುವಿನ  ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಇಲ್ಲಿ  A = S   ಆದುದರಿಂದ  n(A) = n(S) = 6, ಮತ್ತು  P(A)= n(A)/n(S)= 1 ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು   1).ಇದು ಖಚಿತ ಘಟನೆ (sure event) ಏಕೆಂದರೆ ಇಂತಹ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿಯೇ ತೀರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ  0  ≤  P(A)  1 ಈ ವಿಷಯವನ್ನೇ ಈ ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿಸಿದ್ದು:

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 850 ಉದ್ಯೋಗಸ್ಥ ಮಹಿಳೆಯರಲ್ಲಿ 158 ಮಹಿಳೆಯರು ಸ್ವಂತದ ನಾಲ್ಕು ಚಕ್ರದ ವಾಹನವನ್ನು, 416 ಮಹಿಳೆಯರು ಸ್ವಂತದ ದ್ವಿಚಕ್ರವಾಹನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉಳಿದವರು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಮಹಿಳೆಯನ್ನು ಈ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆರಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಅವಳು (i) ಸ್ವಂತದ ನಾಲ್ಕು ಚಕ್ರದ ವಾಹನದಲ್ಲಿ (ii) ಸ್ವಂತದ ದ್ವಿಚಕ್ರವಾಹನದಲ್ಲಿ (iii) ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯಲ್ಲಿ (iv) ಸ್ವಂತದ ವಾಹನದಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಸ್ವಂತ ವಾಹನದಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವವರು= 158+416= 574

ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವವರು = 850-574= 276

ನಾಲ್ಕು ಚಕ್ರದ ವಾಹನದಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವವರ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 158/850

ದ್ವಿಚಕ್ರವಾಹನದಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವವರ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 416/850

ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಸಾರಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವವರ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 276/850

ಸ್ವಂತದ ವಾಹನದಲ್ಲಿ   ಸಂಚರಿಸುವವರ ಸಂಭವನೀಯತೆ =574/850= (158/850+416/850)

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ 12 ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ, 'x' ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ.

(i) ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದಾಗ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

(ii) ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗೆ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ 6 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ  ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮೊದಲಿಗಿಂತ ಈಗ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ 'x' ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

12 ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ 'x' ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳು  ಕೆಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ=x/12

6 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ =18 (=12+6)

ಆಗ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ = (x+6)/18

ಈ ಹೊಸ ಸಂಭವನೀಯತೆ  ಮೊದಲ  ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಎರಡರಷ್ಟು ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

ಹೊಸ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 2x/12= x/6

(x+6)/18 = x/6

6x+36=18x

36= 12x

x=3

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ಆಟವು ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದಾಗಿದೆ. ಆ ಆಟದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು 2,3,4,5,10,11  ಅಥವಾ 12 ಆದರೆ  A ಯು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಮೊತ್ತವು ಬೇರೇಯೇ  ಆದರೆ  B ಯು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಯಸುವಿರಾದರೆ ನೀವು ಯಾರಾಗ ಬಯಸುವಿರಿ?

ಪರಿಹಾರ:

A = { ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  2,3,4,5,10,11 ಅಥವಾ 12 ಆಗಿರುವಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆ  }= { (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) }

ಆಗ  B=  ={ ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  2,3,4,5,10,11 ಅಥವಾ 12 ಆಗದೇ ಇರುವಂತಹ  ಸಂಯೋಜನೆ  }= { ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  6,7,8 ಅಥವಾ 9 ಆಗಿರುವಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆ }

= {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(1,6)(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)}

ಗಮನಿಸಿ n(A)= 16 ಮತ್ತು n( ) = 20. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= 36( ಗಮನಿಸಿ 6*6=36: ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವ)

P(A) = 16/36 = 0.4444 and P( )= 20/36= 0.55555

ಸಹಜವಾಗಿಯೇ B ಅಗಿರಲು ಇಷ್ಟ.

ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆ(Mutually exclusive event)

S = {A₁, A₂, A₃ …. A_n} ಆಗಿರಲಿ. ಸಹಜವಾಗಿಯೇ  n(S)= n, P({A₁})= 1/n , P({A₂})=1/n, P({A₃})=1/n … P({A_n})= 1/n

ಅಂತೆಯೇ, P({A₁})+ P({A₂})+ P({A₃})+ . . . P({A_n})= 1/n+1/n+1/n + . . . 1/n= n/n= 1

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತ  1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

E₁ ಮತ್ತು E₂ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರಲಿ.(ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆ ಎರಡರಲ್ಲಿಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ).  ಆಗ E₁ E₂ = { }

ಅವುಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇಲ್ಲದ ಗಣಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗಣಗಳ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಕಲಿತಂತೆ   n(E₁ E₂)  =  n(E₁)+n(E₂)

n(E₁ E₂)/n(S)= n(E₁)/ n(S)+n(E₂)/ n(S)

P(E₁ E₂) = P(E₁)+P(E₂)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,  E₁, E₂, E₃ . . . E_n ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾದಾಗ  P(E₁ E₂ E₃ . . .  E_n ) = P(E₁) +P(E₂)+ P(E₃)+ . . . P(E_n)

ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

S= {1,2,3,4,5,6} S= {1,2,3,4,5,6}; n(S)=6

A= { ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಗಳು } = {1,3, 4,5}; n(A)=4

P(A) = 3/6

ಸಮಸ್ಯೆ 5 : ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೆಲುವು ಅಥವಾ ಸೋಲು ಆಗಿದೆ. ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ  ಸೋಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂರರಷ್ಟಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ   ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

P(A) = ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ,   P( ) = ಸೋಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

P(A) = 3P( ), ನಮಗೆ ತಿಳಿದಂತೆ  P(A)+P( ) = 1;

P(A)+ 1/3P(A)=1

4P(A)= 3

P(A)= 3/4

ಸಮಸ್ಯೆ 6 : ಚದುರಂಗದ ಮೂರು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ. ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಚೌಕವು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ( ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಚೌಕಗಳು ಅತೀ ಸಣ್ಣವು)

ಪರಿಹಾರ:

ಚದುರಂಗವು   ಅತೀಚಿಕ್ಕ 64  ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

3 ಚೌಕಗಳನ್ನು  ₆₄C₃ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದುದರಿಂದ  n(S)= ₆₄C₃ =64*63*62*61!/61!*3= 64*63*62/2*3= 64*21*31

ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= ಬಿಳೀ ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ=32.

2 ಚೌಕಗಳನ್ನು ₃₂C₂ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. 1 ಚೌಕವನ್ನು ₃₂C₁ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಚೌಕವು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತಹ ಗಣವು A ಆಗಿರಲಿ.

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ:

n(A)= [{₃₂C₂}*{₃₂C₁}]=[{32*31/2!)}]*{32}=32*31*16

P(A) = ₃₂C₂*₃₂C₁/₆₄C₃= 32*31*16/64*21*31=8/21

ಸಮಸ್ಯೆ 7 : 4 ಪುರುಷರು  ಮತ್ತು 3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ, 5 ಜನರ  ಒಂದು ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ  (i)  ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ (ii) ಇಬ್ಬರು  ಪುರುಷರು (iii) ಇಬ್ಬರು  ಮಹಿಳೆಯರು (iv) ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮಿತಿ ರಚಿಸಲು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸದಸ್ಯರು=7.

7 ಸದಸ್ಯರಿಂದ 5 ಸದಸ್ಯರಿರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= ₇C₅= 7*6*/2!= 21= n(S)

(i) ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

3 ಮಹಿಳೆಯರು ಮಾತ್ರ ಇರುವುದರಿಂದ, ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ  2 ಪುರುಷರನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೇ ಬೇಕಗುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ  ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ  ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0

(ii) 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

4 ಪುರುಷರಿಂದ 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=₄C₂= 4*3/2!= 6

ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದವರು 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=₃C₃= 1

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 2 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 6*1=6  -----(1)

ಸಂಭವನೀಯತೆ = 6/21= 2/7

(iii) 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= ₃C₂= 3/1!= 3

ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದವರು 3 ಪುರುಷರು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

4 ಪುರುಷರಿಂದ 3 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=₄C₃=4/1!=  4

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 3 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 3*4=12 -----(2)

ಸಂಭವನೀಯತೆ = 12/21= 4/7

(iv) ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ + 3 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ+ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಮೊದಲಿಗೆ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

4 ಪುರುಷರಿಂದ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= ₄C₄= 1

ಈ ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಒಬ್ಬರು ಹೆಂಗಸು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 1 ಮಹಿಳೆ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=₃C₁=3*2!/2!*1!=  3

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 4 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 1 ಮಹಿಳೆ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು = 1*3=3  ----(3)

ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ=6+12+3 =21

ಸಂಭವನೀಯತೆ = 21/21= 1

ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕಲ್ಪಗಳು

ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು

ಸಮಸ್ಯೆ :- ಒಂದು ತಂಡದಲ್ಲಿ 10 ಆಟಗಾರರಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಛಾಯಾ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 6 ಜನರ ಫೋಟೋ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯ ತಂಡದ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ಎಲ್ಲಾ ಫೋಟೋದಲ್ಲೂ ಇರಬೇಕು. ಒಬ್ಬ ಚಿತ್ರಕಾರನ ಹತ್ತಿರ ಎಲ್ಲಾ ಫೋಟೋಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹೇಳುವರು. ಫೋಟೋ ಪ್ರತಿಗೆ ರೂ. 22 ತಗಲುವುದಾದರೆ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಾರನು ಕೊಟ್ಟ ಅಂದಾಜು ವೆಚ್ಚ ಎಷ್ಟು?

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಲ್ಲವೆ?

ಪೀಠಿಕೆ:-

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲ ‘n’  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ.(ಪಾಠ 1.8)

=  1+2+3+4 …..+n =n(n+1)/2

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವ ಬದಲು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

1*2=2

1*2*3 =6

1*2*3*4 = 24…

ಮೊದಲ n  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ (Factorial) (n!) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ..

n!= 1*2*3*4….*n

1! =1

2!= 1*2=2=2*1!

3!=1*2*3=6 =3*2!

4! =1*2*3*4 = 24= 4*3!

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…………3*2*1=n*(n-1)!

n! = n*(n-1)! Or n =

ಉದಾಹರಣೆ 1: A , B ಮತ್ತು C ಗಳು ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ನೀವೀಗ ಅವರನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಲಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:-

1. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿರುವಂತೆ.

2. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿರುವಂತೆ.

ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅವರನ್ನ ಹೇಗೆ ನಿಲ್ಲಿಸಬಲ್ಲಿರಿ?

ಕ್ರಮ:

ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ 2 ಸಾಲು ಮಾಡುವುದು:

1. A ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಉಳಿದ B ಅಥವಾ C ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೊಬ್ಬರನ್ನು A ಯ ಹಿಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. (2 ವಿಧದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು.AB ಮತ್ತು AC)

2. ಈಗ B ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಉಳಿದ A ಅಥವಾ C ಯನ್ನು B ಯ ಹಿಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. (ಈಗ ಪುನಃ 2 ವಿಧ ಸಿಕ್ಕಿತು. BA ಮತ್ತು  BC)

3. ಈಗ C ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, A ಅಥವಾ B ಯನ್ನು C ಯ ಹಿಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. (ಈಗ ಪುನಃ 2 ವಿಧ ಸಿಕ್ಕಿತು. CA ಮತ್ತು CB)

1ನೇ ಸ್ಥಾನ	A		B		C
2ನೇ ಸ್ಥಾನ	B	C	A	C	A	B

 

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಒಟ್ಟು 6 ವಿಧ (=3*2) ಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು. (AB, AC), (BA, BC), (CA, CB)

3 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ 3 ಸಾಲು ಮಾಡುವುದು:

1. A ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. ಈಗ ಉಳಿದ B ಅಥವಾ C ಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು A ಯ ಹಿಂದೆ ನಿಲ್ಲಲಿ. (ಆಗ 2 ಕ್ರಮ ಸಿಕ್ಕಿತು. ABC ಮತ್ತು ACB)

2. B ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.  B ಯ ಹಿಂದೆ A ಅಥವಾ C ¤°è¹. (ಈಗ 2 ಕ್ರಮ ಸಿಕ್ಕಿತು. BAC ಮತ್ತು BCA)

3. ಈಗ C ಯನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. C ಯ ಹಿಂದೆ B ಅಥವಾ A ¤°è¹. (ಈಗ 2 ಕ್ರಮ ಸಿಕ್ಕಿತು. CAB ಮತ್ತು CBA)

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ	A		B		C
2 ನೇ ಸ್ಥಾನ	B	C	A	C	A	B
3 ನೇ ಸ್ಥಾನ	C	B	C	A	B	A

 

ಹೀಗೆ ಒಟ್ಟು 6 (=3*2) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು.

(ABC, ACB), (BAC, BCA), (CAB, CBA)

ಉದಾ. 2: ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ A, B, C ಮತ್ತು  D ಗಳೆಂಬ 4 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು?

1. ಯಾವುದೇ 2 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಲು

2. ಯಾವುದೇ 3 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಲು

ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮದಲ್ಲೂ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ?

ವಿಧಾನ:

2 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಲು:-

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ

A

B

C

D

2 ನೇ ಸ್ಥಾನ

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

 

ಈಗ ನಮಗೆ 12 ವಿಧಗಳು ಸಿಕ್ಕಿದವು (=4*3)

(AB, AC, AD),( BA, BC, BD),( CA, CB, CD),( DA, DB, DC)

3 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಾಲು:-

1ನೇ ಸ್ಥಾನ

A

B

C

D

2ನೇ ಸ್ಥಾನ

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

3ನೇ ಸ್ಥಾನ

C

D

B

D

B

C

C

D

A

D

A

C

B

D

A

D

A

B

B

C

A

C

A

B

 

ಈಗ ನಮಗೆ ದೊರೆತ ಸಾಲುಗಳು:

‘A’ ಮುಂದೆ ಇರುವ 6 ಸಾಲು (ABC, ABD, ACB ACD, ADB, ADC )

‘B’ ಮುಂದೆ ಇರುವ 6 ಸಾಲು (BAC, BAD, BCA, BCA, BDA, BDC)

‘C’ ಮುಂದೆ ಇರುವ 6 ಸಾಲು (CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB)

‘D’ ಮುಂದೆ ಇರುವ 6 ಸಾಲು (DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB)

ಹೀಗೆ ನಾವು 24 (=4*3*2) ವಿಧದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಬಹುದು.

‘n’  ವಸ್ತುಗಳಿಂದ  ‘r’ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಜೋಡಿಸುವ ವಿಧವನ್ನು  ಕ್ರಮಯೋಜನೆ (‘permutations’) ಎಂದು ಕರೆದು  _nP_r ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ

ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯ ವಿವರಣೆ:-

ಉದಾ.	ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ(n)	ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು(r)	ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಧಗಳು	ಸೂಚಿಸುವ ಕ್ರಮ	ಅರ್ಥ ವಿವರಣೆ
1.1	3	2	6	3P2	3 ವಸ್ತುಗಳಿಂದ 2 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ.
1.2	3	3	6	3P3	3 ವಸ್ತುಗಳಿಂದ 3 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ.
2.1	4	2	12	4P2	4 ವಸ್ತುಗಳಿಂದ 2 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ.
2.1	4	3	24	4P3	4 ವಸ್ತುಗಳಿಂದ 3 ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ.

ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ತ್ವ

 

ನೀವು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಇಬ್ಬರೂ ಒಟ್ಟಿಗೇ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತೀರೆಂದು ಎಣಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯಿಂದ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಗೆ ಹೋಗಲು 4 ದಾರಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಯಿಂದ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗಲು 3 ದಾರಿಗಳಿವೆ. ನೀವಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ಸಾರಿ ನಿಮ್ಮ ಸಾಕು ನಾಯಿ ‘ಜಾನಿ’ ಕೂಡಾ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹಿಂಬಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ನಿಮ್ಮ ನಾಯಿ ಜಾನಿ, ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಯ ಮುಖಾಂತರ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ ಎಷ್ಟು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಬರಬಹುದು?

ಗಮನಿಸಿ:-

ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಗೆ 4 ದಾರಿಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಗೆ ತಲುಪಲು 3 ದಾರಿಗಳಿವೆ.

‘ಜಾನಿ’ ಯು ಶಾಲೆಯಿಂದ ಮೂರು ದಾರಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು (A ಅಥವಾ B ಅಥವಾ C) ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಬಂದು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಗೆ ಬರಬಹುದು. ಅಲ್ಲಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ 4 ದಾರಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು (1,2,3 ಅಥವಾ 4)ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಬಂದು ನಿಮ್ಮ ಮನೆ ಸೇರಬಹುದು.. ಕೆಳಗಿನ ತಃಖ್ತೆಯು ಜಾನಿ ಯು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಯ ಮುಖಾಂತರ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ ಬರಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ದಾರಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂ.	ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಗೆ	ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಮನೆಯಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ	ದಾರಿ
1	A	1	A-1
2		2	A-2
3		3	A-3
4		4	A-4
5	B	1	B-1
6		2	B-2
7		3	B-3
8		4	B-4
9	C	1	C-1
10		2	C-2
11		3	C-3
12		4	C-4

ಜಾನಿಯು 12(=3*4) ವಿಧವಾಗಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ದಾರಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಮನೆ ತಲುಪಬಹುದು. ಅದೇರೀತಿ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯಿಂದ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗಲು 12 ದಾರಿಗಳು (=4*3) ಇವೆ.

ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ: ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ‘m’ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ‘n’ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದಾದರೆ, ಈ ಎರಡೂ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ (m*n) ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ತತ್ತ್ವ.

‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಒಂದು ಸಲಕ್ಕೆ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ:

ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ r ಖಾಲಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. n ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಈ ಖಾಲಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಬೇಕಾಗಿದೆ. n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು r ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೇ n ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ.

ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ	1	2	3	……	(r-1)	r
ತುಂಬುವ ವಿಧಗಳು	n	(n-1)	(n-2)		n-(r-2)	n-(r-1)

 

1. ಮೊದಲ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು n ವಿಧಗಳಿಂದ ತುಂಬಬಹುದು.

2. ಎರಡನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು (n-1)) ವಿಧಗಳಿಂದ ತುಂಬಬಹುದು.

3. ಮೂರನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು (n-2)ವಿಧಗಳಿಂದ ತುಂಬಬಹುದು.

ಇದೇರೀತಿ,

r ನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ತುಂಬಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು: {n-(r-1)} = (n-r+1)

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ತತ್ತ್ವ್ವದ ಪ್ರಕಾರ r ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತುಂಬಬಹುದಾದ ಒಟ್ಟು ವಿಧಗಳು:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1).

ಇದೇ ‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ. ಇದನ್ನು _nP_r ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವರು.

_nP_r = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1)    =======è(1)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ r ಬದಲು ಅಲ್ಲಿ n ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

_nP_n = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-n+1)

= n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..*1

_nP_n =n!

ಸಮೀಕರಣ (1) ರ ಬಲಭಾಗವನ್ನು (n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ.

_nP_r = {n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1)* (n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1}/{(n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1}

= { n!= 1*2*3……*n and (n-r)! = 1*2*3….*(n-r)}

_nP_r=

ಗಮನಿಸಿ:

_nP₁= 

= 

= n

_nP₁ =n

_nP_(n-1)

= (_nP_r ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ   r ನ ಬದಲು (n-1) ಆದೇಶಿಸಿದೆ)

= n! ( 1!= 1)

_nP_(n-1)= n!= _nP_n

(n-r)! = n!/ _nP_r{ _nP_r= n!/(n-r)! }

ಮೇಲಿನ  ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ r=n ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

0! = n!/ _nP_n= n!/n! ( _nP_n= n! )=1

0! =1

ಒಟ್ಟು ಸಾರಾಂಶ:-

n = n!/(n-1)!

nPn = n!

nP1 = n

nPn-1 = n! = nPn

0! =1

 

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : “COMPUTER” ಎಂಬ ಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳು M ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಶಬ್ದದಲ್ಲಿ 8 ಅಕ್ಷರಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು  8!=40320 ಪದಗಳನ್ನ ರಚಿಸಬಹುದು.

ಸ್ಥಾನ	1	2	3	4	5	6	7	8
ಅಕ್ಷರಗಳು	M	C,O,P,U,T,E,R ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ತುಂಬಬೇಕು.

 

‘M’ ನ್ನ ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಟ್ಟರೆ, ಉಳಿದ 7 ಪದಗಳಿಂದ 7 ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತುಂಬಬೇಕು. (n=7).

M ನಿಂದ ಆರಂಭವಾಗುವ ಪದ ಸಮೂಹಗಳು = 7! = 5040

ಸಮಸ್ಯೆ 2: 2,3,4,5 ಮತ್ತು 6 ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು  3 ಅಂಕಿಯ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು?

ಪರಿಹಾರ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ 5 ಅಂಕಿಗಳು:2,3,4,5 ಮತ್ತು 6

ನೂರರ	ಹತ್ತರ	ಬಿಡಿ
(2,3,4,5,6) ಗಳಿಂದ

 

ಆದುದರಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ 3 ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು = ₅P₃ =  =  =60

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

1.   ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 2 ಇದ್ದಾಗ ಹತ್ತರ ಮತ್ತು ನೂರರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ 3,4,5,6 ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. 2 ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ 3,4,5,6 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ (n=4) ಎಷ್ಟು 2 ಅಂಕೆಗಳಿರುವ (r =2) ಅಂಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ? : ₄P₂=  = 4*3 = 12

2.   ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿè 4 ಇದ್ದಾಗ ಹತ್ತರ ಮತ್ತು ನೂರರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ 2,3,5,6 ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. 4 ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ  2,3,5,6 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ  (n=4) ಎಷ್ಟು ಎಷ್ಟು 2 ಅಂಕೆಗಳಿರುವ (r =2) ಅಂಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ? : ₄P₂=  = 4*3 = 12

3.   ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 6 ಇದ್ದಾಗ ಹತ್ತರ ಮತ್ತು ನೂರರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ  2,3,4,5 ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. 6 ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ  2,3,4,5 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ (n=4) ಎಷ್ಟು 2 ಎಷ್ಟು 2 ಅಂಕೆಗಳಿರುವ (r =2) ಅಂಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ ? : ₄P₂=  = 4*3 = 12

ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ  36(=12+12+12)  ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: 0,1,2,3 ಈ ಅಂಕಿಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಎಷ್ಟು 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ  n=4, r=3.

ಮಾಡಬಹುದಾದ 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: ₄P₃ = = 4!=24

ಆದರೆ, ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಆರಂಭವಾಗುವ 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, 2 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (012 = 12,055=55 . .).

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಉತ್ತರದಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಆರಂಭವಾಗುವ 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು(ಸೊನ್ನೆ ಮಧ್ಯ ಇರಬಹುದು)

ಮೊದಲ ಅಂಕಿ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ, ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳು: n=3, ಇರುವ ಸ್ಥಾನಗಳು r=2

ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಆರಂಭವಾಗುವ 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು= ₃P₂ = 3! = 6.

0,1,2,3 ಈ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ,  24-6 = 18 --> 3 ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ಕಪಾಟಿನಲ್ಲಿ 7 ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನ ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ 3 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದೆಡೆ ಇರುವಂತೆ ಎಷ್ಟು ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯ?

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ n=7.

ಈ 7 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಬಲ್ಲ ವಿಧಗಳು= 7! = 5040.

ಈ ಪುಸ್ತಕಗಳು A,B,C,D,E,F,G ಆಗಿರಲಿ. 3 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಇಡಬೇಕು. ಅವು    B, C, D ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಮೂರು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ   H ಎಂದು ಕರೆಯುವಾ. ಆಗ ನಮಗೆ  A,H,E,F,G ಎಂಬ 5 ವಸ್ತುಗಳು ದೊರೆತವು. ಇವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಬಲ್ಲ ವಿಧಗಳು: 5!=120.

ಇಲ್ಲಿ H  ಒಂದು  (B,C,D) ಪುಸ್ತಕಗಳ ಕಟ್ಟು. ಈ ಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಯೇ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು 3!=6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ 3 ಪುಸ್ತಕಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಇರಬೇಕಾದರೆ ಜೋಡಿಸುವ ವಿಧಗಳು = 6*120=720

ವಿಕಲ್ಪಗಳು

ಉದಾ. 1 : A , B,C ಗಳು ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಬ್ಬ ಫೋಟೊಗ್ರಾಫರ್ ಅವರ ಫೋಟೊಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ತೆಗೆಯಬೇಕಿತ್ತು:

1. ಯಾವುದೇ 2 ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು ಒಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ.

2. ಯಾವುದೇ 3 ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು ಒಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗ್ರಾಹಕನು ಎಷ್ಟು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮ:

ಉದಾ. 1.1:

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ 1.9.1.1.1 ರಲ್ಲಿಯಂತಹ ಈ ಕೆಳಗಿನ 6 ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ:-

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ	A		B		C
2 ನೇ ಸ್ಥಾನ	B	C	A	C	A	B

 

ಆದರೆ ಛಾಯಾಚಿತ್ರ ತೆಗೆಯಲು, AB = BA, BC = CB, ಮಾತ್ರ CA=AC

ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರ ತೆಗೆಯಲು ಬರೇ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ  (AB, BC, CA).

ಉದಾ. 1.2: ಉದಾ. 1.9.1.1.2 ರಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ ಕೆಳಗಿನ 6  ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ	A		B		C
2 ನೇ ಸ್ಥಾನ	B	C	A	C	A	B
3 ನೇ ಸ್ಥಾನ	C	B	C	A	B	A

 

ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ  ಗುಂಪುಗಳ ಫೋಟೋ ಒಂದೇ. (ABC).

ಉದಾ. 2: A B C D ಗಳು 4 ಜನ ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಮಕ್ಕಳು. ಒಬ್ಬ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗ್ರಾಹಕ ಅವರ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೆಗೆಯಬೇಕಿತ್ತು:

1. ಯಾವುದೇ 2 ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು ಒಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ.

2. ಯಾವುದೇ 3 ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು ಒಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗ್ರಾಹಕನು ಎಷ್ಟು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮ:

ಉದಾ.2.1: ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ 1.9.1.2.1 ರಲ್ಲಿಯಂತೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ 12 ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ:-

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ

A

B

C

D

2 ನೇ ಸ್ಥಾನ

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

 

ಆದರೆ ಫೋಟೋ ತೆಗೆದಾಗ  AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB ಮತ್ತು CD=DC.

ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರ ತೆಗೆಯಲು ಬರೇ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ (AB, AC, AD, BC, BD, CD).

ಉದಾ.2.2: ಈ ಹಿಂದೆ ಉದಾ. 1.9.1.2.2  ರಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ ಕೆಳಗಿನ 24 ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

1 ನೇ ಸ್ಥಾನ

A

B

C

D

2 ನೇ ಸ್ಥಾನ

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

3 ನೇ ಸ್ಥಾನ

C

D

B

D

B

C

C

D

A

D

A

C

B

D

A

D

A

B

B

C

A

C

A

B

 

ಆದರೆ ಫೋಟೋ ತೆಗೆದಾಗ

ABC=BAC=ACB=BCA=CAB=CBA

ABD=ADB=BAD=DAB=DBA=BDA

ACD=ADC=CAD=DAC=DCA=CDA

BCD=BDC=CBD=CDB=DBC=DCB

ಆದ್ದರಿಂದ 24 ಗುಂಪುಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಛಾಯಾಚಿತ್ರ ತೆಗೆಯಲು ಬರೇ 4  ಗುಂಪುಗಳಿವೆ. (ABC, ABD, ACD, BCD)

‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದೇ ವಿಕಲ್ಪ.(Combination)

ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವಿಕಲ್ಪವನ್ನು _nC_r ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾ.

 

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ	ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ(n)	ಪ್ರತೀ ಚಿತ್ರಕ್ಕಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು	ಒಟ್ಟು ಆಯ್ಕೆ	ಸೂಚಿಸುವ ಕ್ರಮ
ಉದಾ. 1.1	3	2	3	3C2
ಉದಾ. 1.2	3	3	1	3C3
ಉದಾ. 2.1	4	2	6	4C2
ಉದಾ. 2.2	4	3	4	4C3

 

ಈಗ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗೂ (1.9.1) ವಿಕಲ್ಪಕ್ಕೂ (1.9.3) ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡುವಾ:-

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ	ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n)	ಒಂದು ಬಾರಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು (r)	ಕ್ರಮಯೋಜನೆ (nPr) (1.9.1)	ವಿಕಲ್ಪಗಳು (nCr) (1.9.3)	nPr/nCr =
ಉದಾ. 1.1	3	2	6= 3P2	3=3C2	2=2!
ಉದಾ. 1.2	3	3	6= 3P3	1=3C3	6=3!
ಉದಾ. 2.1	4	2	12= 4P2	6=4C2	2=2!
ಉದಾ. 2.2	4	3	24= 4P3	4=4C3	6=3!

 

ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯಂತೆ:

_nP_r= _nC_r * r!        _nC_r = _nP_r÷r!

‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಒಂದು ಸಲಕ್ಕೆ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ವಿಕಲ್ಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ:

(‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ) = ( ‘n’ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ‘r’ ವಸ್ತುಗಳ ಆಯ್ಕೆ)*( ‘r’ ವಸ್ತುಗಳ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ)

_nP_r = _nC_r* _rP_r

ಸಮಸ್ಯೆ 1: _nP_r = 336 ಮತ್ತು _nC_r=56  ಆದರೆ n ಮತ್ತು r ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

_nP_r/_nC_r = r!

r!=  = 6=3*2*1=3!

r=3

_nC_r= _nP_r÷r! = {n! ÷ (n-r)} ÷r!

= {n*(n-1)*(n-2)*(n-3)! ÷ (n-3)! }÷3!

56 = n*(n-1)*(n-2) ÷6

I.e. 56*6 =336 = n*(n-1)*(n-2) = 8*7*6

n=8

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ರಾಜನ ಅರಮನೆಯಲ್ಲಿ  8 ವಿಧಗಳ ಆಂದವಾದ ಜಾಡಿಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? (ಲೀಲಾವತಿ. ಶ್ಲೋಕ 116)

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಜಾಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n) = 8

 

ಸಂ.	ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ
1	1 ಜಾಡಿಯನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು	8C1
2	2 ಜಾಡಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು	8C2
3	3 ಜಾಡಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು	8C3
4,5,6	-------------
7	7 ಜಾಡಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು	8C7
8	8 ಜಾಡಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು	8C8

 

ಒಟ್ಟು ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ರಮಗಳು =  ₈C₁+ ₈C₂ + . . . + ₈C₇ + ₈C₈ =255 = 2⁸-1

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ವೈವಾಹಿಕ ವೇದಿಕೆಯು ಗಂಡು ಹೆಣ್ಣುಗಳ ವಿವಾಹ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ 5 ಹೆಣ್ಣು ಮತ್ತು 4 ಹುಡುಗರು ವಿವಾಹ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ ನೊಂದಾಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಇಬ್ಬರು ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಇಬ್ಬರು ಹುಡುಗಿಯರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಅವರು ಎಷ್ಟು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯ?

ಪರಿಹಾರ:

1. ವೇದಿಕೆಯಲ್ಲಿ 4 ಹುಡುಗರಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು: ₄C₂=4*3*2!/2!*2! = 6

2. ವೇದಿಕೆಯಲ್ಲಿ 5 ಹುಡುಗಿಯರಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು: ₅C₂=5*4*3!/3!*2! = 10

ಮೇಲಿನ 6 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಇಬ್ಬಿಬ್ಬರು ಹುಡುಗರ ಗುಂಪನ್ನು 10 ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಇಬ್ಬಿಬ್ಬರು ಹುಡುಗಿಯರ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಜತೆಗೂಡಿಸಬಹುದು.

ಒಟ್ಟು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು = 6*10 = 60

ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಒಂದು ತಂಡದಲ್ಲಿ 10 ಆಟಗಾರರಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಛಾಯಾ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 6 ಜನರ ಫೋಟೋ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯ ತಂಡದ ವ್ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ಎಲ್ಲಾ ಫೋಟೋದಲ್ಲೂ ಇರಬೇಕು. ಒಬ್ಬ ಚಿತ್ರಕಾರನ ಹತ್ತಿರ ಎಲ್ಲಾ ಫೋಟೋಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಅವುಗಳ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಹೇಳುವರು. ಫೋಟೋ ಪ್ರತಿಗೆ ರೂ. 22 ತಗಲುವುದಾದರೆ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಾರನು ಕೊಟ್ಟ ಅಂದಾಜು ವೆಚ್ಚ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಯವಸ್ಥಾಪಕರು ಎಲ್ಲಾ  ಫೋಟೋದಲ್ಲೂ ಇರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು  5 ಜನರ ತಂಡ ಮಾಡಬೇಕು.

n =10, r=5

10 ಜನರಲ್ಲಿ 5 ಜನರ ತಂಡಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದಾದದ್ದು = ₁₀C₅

= 10!/5!*5!

= (10*9*8*7*6*5!)/(5!*5!)

= 10*9*8*7*6/120

= 9*4*7 =252 ಚಿತ್ರಗಳು

ಛಾಯಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟು ಖರ್ಚು = 252*22= ರೂ. 5, 544

ಸಮಸ್ಯೆ 5 : ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಮುಂದೆ ಹೇಳುವ ಪ್ರತಿ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಒಬ್ಬರು ಅದ್ಯಾಪಕರಿದ್ದಾರೆ: ಗಣಿತ, ಸಮಾಜ ವಿಜ್ಞಾನ, ಸಾಮಾನ್ಯವಿಜ್ಞಾನ, ನೀತಿಶಾಸ್ತ್ರ, ಇಂಗ್ಲಿಷ್, ಕಲೆ, ಕನ್ನಡ, ದೈಹಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ.  ಇವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು.

(a) 5 ಜನರ ಎಷ್ಟು ಸಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

(b) ಎಷ್ಟು ಸಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು ಇರುವುದಿಲ್ಲ?

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಅದ್ಯಾಪಕರ ಸಂಖ್ಯೆ (n) = 8

ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅದ್ಯಾಪಕರು (r) =5

ಮಾಡಬಹುದಾದ ಒಟ್ಟು ಸಮಿತಿಗಳು  = ₈C₅

= 8!/(8-5)!*5!

= 8*7*6*5!/3!*5!

= 8*7*6/6 = 56

ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿರಬೇಕಾದರೆ, ಉಳಿದ ಅಧ್ಯಾಪಕರು = 7

ಅಧ್ಯಾಪಕರ ಸಂಖ್ಯೆ (n) = 7.

ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಿತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಾವು 4  ಜನರ ಸಮಿತಿ ಮಾಡಬೇಕು. (r) =4.

ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳು = ₇C₄

= 7!/(7-4)!*4!

= 7*6*5*4!/3!*4!

= 7*6*5/6 = 35

ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರಿಲ್ಲದ ಸಮಿತಿಗಳು =ಒಟ್ಟು ಸಮಿತಿಗಳು - ಮುಖ್ಯೋಪಾಧ್ಯಾಯರಿರುವ ಸಮಿತಿಗಳು=  56-35 =21

ಸಮಸ್ಯೆ 6 : ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಳರೇಖಾಗತವಲ್ಲದ 20 ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ಎಷ್ಟು (a) ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹಾಗೂ (b) ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು, ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಎಳೆಯಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:

ಸರಳರೇಖಸ್ಥವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: (n=20)   (a) ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಬೇಕಾದ ಬಿಂದುಗಳು 2 (r=2), ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಸರಳರೇಖೆಗಳು = 20C2= 20!/(20-2)!*2! = 20*19*18!/18!*2! = 20*19/2 = 190   (b) ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಬಿಂದುಗಳು : 3(r=3), ರಚಿಸಬಹುದಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು = 20C3= 20!/(20-3)!*3! = 20*19*18*17!/17!*3!= 20*19*18/6 = 1140

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ