ಘನಾಕೃತಿಗಳು

• ಇವುಗಳಿಗೆ ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ(ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ) ಸಮತಲಗಳಿವೆ.
• ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರ ಮತ್ತು ಸರ್ವಸಮ.
• ಎರಡು ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನ ಸೇರಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯು
• ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾಶ್ರ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನ
• ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಅಕ್ಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ವೃತ್ತಪಾದ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾಶ್ರ್ವಮೇಲ್ಮೈಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು
• ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ.
• ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಆ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಹೊರ ಪದರವನ್ನ ಕತ್ತರಿಸಿ,

ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ABCD ಆಯತ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

ಈ ಆಯತದ ಅಗಲ = ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಉದ್ದ (ಎತ್ತರ) (AB=h).

ಆಯತದ ಉದ್ದ = ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಳದ ಸುತ್ತಳತೆ: P =2r

ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ಉದ್ದ*ಅಗಲ P*h = 2 r *h  =2rh

ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =

ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಒಂದು ಸಮತಲದ (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದ(ಕೆಳಭಾಗ)ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= r²+2 rh+ r²

= 2 r²+2 rh

=2 r(r+h) ಚದರ ಮಾನಗಳು

ನಾವೀಗ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳನ್ನ ಮೀಟರ್ ನಲ್ಲಿಯೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಸ್ತಂಭದ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = Ph = 0.5*3.5 =  7/4 ಚ.ಮಿ.

12  ಸ್ತಂಭಗಳ ಒಟ್ಟು ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =  12*7/4 = 21 ಚ.ಮಿ..

ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ತಗಲುವ ಖರ್ಚು = (ವಿಸ್ತೀರ್ಣ *ದರ) =21*25 = 525 ರೂ.ಗಳು.

ರೋಲರ್‍ ನ ತ್ರಿಜ್ಯ = 35 ಸೆ.ಮಿ= 0.35 ಮಿ.(  d=2r =70)

ರೋಲರ್‍ ನ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಯೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2 rh  = 2*(22/7)*.35*1

=  44*.05

= 2.2 ಚ.ಮಿ

ರೋಲರ್ 200 ಸುತ್ತು ಹಾಕುವುದರಿಂದ, ಮೈದಾನದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= 200*2.2 = 440 ಚ.ಮಿ.

ಟ್ಯಾಂಕರ್ ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮುಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅದರ

ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕುಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2 r(r+h) = 2*(22/7)*1.4*(1.4+2.6) = 2*22*.2*4  =  35.2  ಚ.ಮಿ.

ನಮಗೀಗಾಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ,

ಒಂದು ಘನದ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ  =(ತಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)*ಎತ್ತರ

ಇದೇ ರೀತಿ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಘನಫಲ  = (ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)*ಎತ್ತರ = ( r²)*h

=  r²h  ಘನಮಾನಗಳು

ಮೊದಲು ನಾವೀಗ ಡಬ್ಬದ ಎತ್ತರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

ಡಬ್ಬದ ವ್ಯಾಸ = 14 ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯ = 7 ಸೆ.ಮಿ.

ಡಬ್ಬದ ಗಾತ್ರ =  r²h  = (22/7)7*7*h = 154h

ಡಬ್ಬದ ಗಾತ್ರ 1 ಲೀಟರ್ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

1 ಲೀಟರ್ = 1000 ಘ.ಸೆ.ಮಿ.

154h =1000 h =6.49 ಸೆ.ಮಿ.

ದಾಸ್ತಾನು ಕೋಣೆಯ ಎತ್ತರ = 3.245 ಮಿ.

ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಇಡ ಬಹುದಾದ ಡಬ್ಬಗಳು =3.245*100/6.49 = 50

ಬಾವಿಯ ವ್ಯಾಸ 10 ಮಿ. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ = r = 5 ಮಿ.

ನೀರಿನ ಗಾತ್ರ =  r²h   = (22/7)*5²*7

= 22*25 = 550 ಘ.ಮಿ.

= 5, 50,000 ಲೀಟರ್

( 1 ಘ.ಮಿ.= = 100*100*100 ಘ.ಸೆ.ಮಿ., 1000 ಘ.ಸೆ.ಮಿ., = 1 ಲೀಟರ್)

1.      ಶಂಕುವು ಒಂದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು,

ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ = OC =r

2.      ಶಂಕುವಿನ ಅಕ್ಷ (A) ಮತ್ತು ಓರೆ ಎತ್ತರ (AC) ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವೇ ಶೃಂಗ ಬಿಂದು A (CA=l)

3.      ಪಾದದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ (OA=h)

4.      ಪಾದದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಂಚನ್ನ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯು

ಶಂಕುವಿನಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಡಗಡೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ APQ

ಶಂಕುವಿನ ಓರೆ ಎತ್ತರ (l) ದಷ್ಟು ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ

ಎಳೆದ ವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳನ್ನು

ಬಲಗಡೆಚಿತ್ರದಲ್ಲಿಕೊಡಲಾಗಿದೆ.

. APQ ಶಂಕುವು, ಅತೀ ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (AX₁X₂, AX₂X₃,,AX₃X₄, …..) ಒಟ್ಟುಸೇರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದುದುಎಂದೂ

ಭಾವಿಸಬಹುದು.

X₁X₂, X₂X₃, X₃X₄ ಗಳು ಸರಳರೇಖೆಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೂ APQ ವನ್ನ ಅತೀ

ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ

ಮಾಡಿದಾಗಅವುಗಳನ್ನ

ಸರಳರೇಖೆಗಳೆಂದೇ ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು.

ಆಗ ಅವುಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪಾದಗಳಾಗುತ್ತವೆ AX₁X₂ ದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =  (1/2) *ಪಾದ*ಎತ್ತರ =(1/2*ಪಾದ *l

ಶಂಕುವಿನ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತ

= (1/2)*B₁l +(1/2)*B₂l+(1/2)*B₃l+ …….+(1/2)*B₁l= (1/2)l [B₁+ B₂+ B₃+ ………+ B_n]

ಆದರೆ [B₁+ B₂+ B₃+ ………+ B_n]

= ಶಂಕುವಿನ ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ = 2 r

ಶಂಕುವಿನ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =(1/2) l *2 r=  rl

ಶಂಕುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿ

ಸ್ತೀರ್ಣ = ವೃತ್ತ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =  r² + rl= r(r+l)

ಬಲಬದಿಯ ಚಿತ್ರವನ್ನ ಗಮನಿಸಿ.

ಶಂಕುವಿನ ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯ = r ಆಗಿರಲಿ.

ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ = h ಆಗಿರಲಿ.

ಓರೆ ಎತ್ತರ = l ಆಗಿರಲಿ

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

l²= h²+r²

ಇಲ್ಲಿ r=21 ಮಿ.(  d=2r =42): h=28

ನಾವೀಗ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ನಮಗೆ ಡೇರೆಯ ಓರೆ ಎತ್ತರ ಬೇಕು.

ಓರೆ ಎತ್ತರವು ಪಾದದತ್ರಿಜ್ಯವು ಪಾದವಾಗಿದ್ದು ಎತ್ತರವು ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹುವಾಗಿರುವ

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಕರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,( ವಿಕರ್ಣ)²= (ಪಾದ)²+( ಪಾದ)²= (21)²+(28)²= 441+784 =1225 =(35)²

ಓರೆಎತ್ತರ = l = 35 ಮೀಟರ್

ಡೇರೆಯ ಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಯೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = rl  =(22/7)*21*35 = 22*3*35  =2310 ಚ.ಮಿ.

ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ ಬಟ್ಟೆಯ ಬೆಲೆ = ವಿಸ್ತೀರ್ಣ*ದರ = 2310*20 = 46,200 ರೂ.ಗಳು

ಇಲ್ಲಿ r=6(  d=2r =12), l=8

ಶಂಕುವಿನ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = r(r+l)

= (22/7)*6*(6+8)  = (22/7)*6*14

= 22*6*2

=264 ಚ.ಮಿಟರ್

ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬರುವ ವಿಷಯವೇನೆಂದರೆ,

ಒಂದುಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಶಂಕು ಇವುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮನಾದ

ವೃತ್ತ ಪಾದವನ್ನಹೊಂದಿದ್ದು ಒಂದೇ ಎತ್ತರದವುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,

ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಘನಫಲ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲಮೂರರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = (1/3)* ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಘನಫಲ

= (1/3)* ( r² )h ಘನ ಮಾನಗಳು (  ಸಿಲಿಂಡರ್ ನ ಗಾತ್ರ = r²h)

= (1/3)* ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)*h

ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಕಡ್ಡಿಯ ತ್ರಿಜ್ಯ = r=3.5 ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರ (ಉದ್ದ)      h=100 ಸೆ.ಮಿ.

ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಘನಫಲ =  r²h = (22/7)*3.5*3.5*100  = 22*3.5*.5*100 =3850 ಘ.ಸೆ.ಮಿ.

ಸಿಲಿಂಡರ್ ನ ಕರಗಿಸಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಶಂಕುವಿನ ಅಳತೆ (ಇಲ್ಲಿ r=1, h=2.1) ಆಗಿದೆ.

ತಯಾರಿಸಬೇಕಾದ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = (1/3)*  r²h = (1/3)*(22/7)*1*1*2.1 = 22*.1

=2.2 ಘ.ಸೆ.ಮಿ.

ತಯಾರಿಸಬಲ್ಲ ಶಂಕುಗಳು = (ಕರಗಿಸಿದ ಲೋಹದ ಗಾತ್ರ)/ಶಂಕುವಿನ ಗಾತ್ರ = 3850/2.2

= 1750

ರಾಶಿಯ ಆಕಾರ ಶಂಕು ಆಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಈ ಶಂಕು ಆಕೃತಿಯ ರಾಶಿಯ ಗಾತ್ರ (ಘನಫಲ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ತಳದ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ರಾಶಿಯ ಓರೆ ಎತ್ತರ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.

ಘನಫಲವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಬೇಕು.

ಸುತ್ತಳತೆ (ಪರಿಧಿ) = 2 r

r = (ಸುತ್ತಳತೆ)/ 2 = 132*7/(2*22) =  3*7 = 21 ಅಡಿ

ಓರೆ ಎತ್ತರ: l²=h² - r² h²=l² - r²= (35)²-(21)²= 1225-784=441 =(28)²

ಎತ್ತರ = h = 28 ಅಡಿ

ಎತ್ತರ = (1/3)* ( r² )h  = (1/3)*(22/7)*21*21*28= 22*21*28 = 12,936 ಘನ ಅಡಿಗಳು

ಧಾನ್ಯದ ರಾಶಿಗಳ ಪಾದ ವೃತ್ತದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡು

ಹಿಡಿಯಬೇಕು.ಅವು ಎಲ್ಲವೂ 60 ಹಸ್ತ ಪರಿಧಿ ಇರುವ ವೃತ್ತದ ಅರ್ಧ,

ಕಾಲು ಮತ್ತು ಮುಕ್ಕಾಲು ಪಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

2 r = 60 ,   =3 ಆದರೆ, r = 60/6 = 10

ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = (1/3)* (ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)*h: ಎತ್ತರ =6

30 ಪರಿಧಿ ಇರುವ ರಾಶಿಯ ಗಾತ್ರ = {1/2}*(1/3)*( r² )*h= (1/6)*3*10²*6 = 300

15 ಪರಿಧಿ ಇರುವ ರಾಶಿಯ ಗಾತ್ರ = {1/4}*(1/3)*( r² )*h= (1/12)*3*10²*6 = 150

45 ಪರಿಧಿ ಇರುವ ರಾಶಿಯ ಗಾತ್ರ = {3/4}*(1/3)*( r² )*h= (3/12)*3*10²*6 = 450

1.      ಗೋಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರ(O)ವಿದೆ.

2.      ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳೂ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ.

3.      ಈ ಸಮಾನ ದೂರವೇ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

4.      ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಒಂದು ಸಮತಲವು ಗೋಳವನ್ನ

ಎರಡುಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವೂ ಅರ್ಧಗೋಳ.

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದೇನೆಂದರೆ,

ಒಂದುಗೋಳದಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಹಾದು

ಹೋಗುವ ವೃತ್ತಾಕಾರದ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿಹಳದಿ ಬಣ್ಣ) ಸಮತಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ

ನಾಲ್ಕರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ

ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 4  r² ಚ.ಮಾನಗಳು

( ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮತಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =  r²)

ಕುತೂಹಲದ ವಿಷಯವೇನೆಂದರೆ, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಆ

ಗೋಳವು ಹಿಡಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಿಲಿಂಡರಿನಪಾರ್ಶ್ವಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮ. (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ)

ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  =2 rh = 2 r*2r = 4  r² ( 6.15.1 ನೋಡಿ)

( ಸಿಲಿಂಡರ್ ನ ಎತ್ತರ = h = ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ =  2r)

ಸುತ್ತಳತೆ(ಪರಿಧಿ) = 2 r

r = ಸುತ್ತಳತೆ(ಪರಿಧಿ) /2 = (1/2)*44*(7/22) = 7 ಮಿ.

ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಭಾಗ)  = 4 r² = 4*(22/7)*7*7

= 4*22*1*7  = 616 ಚ.ಮಿ

ಅರ್ಧ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ * ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 308 ಚ.ಮಿ

ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ಬೇಕಾದ ಹಣ = ವಿಸ್ತೀರ್ಣ *ದರ = 308*200 = 61,600 ಚ.ಮಿ.

ವಿಟಮಿನ್ A, C , ಕಬ್ಬಿಣ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಯಿಯಂಗಳಿಂದ ಸಮೃದ್ಧವಾದ

ಕಲ್ಲಂಗಡಿ ಹಣ್ಣನ್ನ ಯಾರು ತಾನೆ ನೋಡಿಲ್ಲ?ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ನಿಮಗೆ ಹಣ್ಣನ್ನ ಮಾರುವ

ಮೊದಲು ಅದರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ,

ಅದನ್ನ ಹೇಗೆ ಕತ್ತರಿಸಿ,

ಚೂರನ್ನಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆಂದು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ಅವನು ಮೊದಲು ಚೂರಿಯನ್ನ ಹಣ್ಣಿನೊಳಗೆ

ತೂರಿಸಿ, ತಿರುಗಿಸಿ,ಚೂರನ್ನ ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ.(ಚಿತ್ರ ನೊಡಿ)

ಇದೇ ತತ್ವವನ್ನ ಗೋಳಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಾ

ಗೋಳವನ್ನ ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯದಷ್ಟೇ ಎತ್ತರವುಳ್ಳ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಾದವುಳ್ಳ

ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಶಂಕುಗಳನ್ನ ಒಟ್ಟು ಸೇರಿಸಿ ಮಾಡಿದ್ದು

ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. (ಬದಿಯಲ್ಲಿನಚಿತ್ರ ನೋಡಿ)

ನಮಗೆ ಈಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ,

ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = 1/3 (ಶಂಕುವಿನ ವೃತ್ತ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)*ಎತ್ತರ

1 ನೇ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = 1/3 B₁r

2 ನೇ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ = 1/3 B₂r

…

n ನೇ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ 1/3 B_nr

ಗೋಳದ ಘನಫಲ = ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲದ ಮೊತ್ತ = (1/3) B₁r+(1/3) B₂r.......... (1/3) B_nr  = (1/3)*r(B₁+B₂.......... +B_n)

= (1/3)*r**(ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಯೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) ( ಚಿಕ್ಕ ಶಂಕುಗಳ ಪಾದಗಳನ್ನ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಗೋಳದ ಹೊರಮೈ ಸಿಗುವುದು)

= (1/3)*r*4 r² = 4/3  r³( ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 4 r²)

ಗಮನಿಸಿ:

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಶಂಕುವನ್ನ ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ತೂರಿಸಿದರೆ,

ಗೋಳದ ಘನಫಲವು ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲದ ನಾಲ್ಕರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ r = 21 ಸೆ.ಮಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಅರ್ಧಗೋಳ = ಗೋಳದ ಅರ್ಧ ಭಾಗ

ಅರ್ಧಗೋಳಾಕಾರದ ಬಟ್ಟಲಿನ ಘನಫಲ = 2/3  r³= 2/3 *22/7*14*14*14

= 5749.3 ಘ.ಸೆ.ಮಿ

= 5.75 ಲೀಟರ್ ( 1000 ಘ.ಸೆ.ಮಿ.= 1 ಲೀಟರ್)

1 ಗೋಲಿಯ ಘನಫಲ 4/3  r³= (4/3)*(22/7)*2*2*2  = 32*22/21

21 ಗೋಲಿಯ ಘನಫಲ 21*32*22/21 = 32*22 = 704 ಘ.ಸೆ.ಮಿ

ಈ ಗೋಲಿಗಳನ್ನ ಕರಗಿಸಿ ದೊಡ್ಡ ಗೋಳ ತಯಾರಿಸಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದ ಘನಫಲ 704ಘ.ಸೆ.ಮಿ.

ಗೋಳದ ಘನಫಲ = 4/3  r³=(4/3)*(22/7)r³ = 88/21r³= 704 r³ = 704*(21/88) =168

r =5.52 ಸೆ.ಮಿ. (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)

ತಾಳೆ: 5.52 ಸೆ.ಮಿ. ಗೋಳದ ಘನಫಲ 4/3  r³= (4/3)*(22/7)*5.52*5.52*5.52 = 704

ಶಾಟ್‍ಪುಟ್ ನ ಘನ ಫಲ = 1437cc 4/3  r³=1437cc

i,e (4/3)*(22/7)r³ =1437

r³ = 1437*21/(4*22)  =343 r=7 ಸೆ.ಮಿ.

ಶಾಟ್‍ಪುಟ್ ಬಾಲಿನ ವ್ಯಾಸ = 14 ಸೆ.ಮಿ.

ತಾಳೆ: ಶಾಟ್‍ಪುಟ್ ಬಾಲ್ ನ ಘನಫಲ = 4/3  r³ = (4/3)*(22/7)*7*7*7 = (4/3)*22*7*7 =1437