ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು
ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು
ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(Fundamental identities):
ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತಂತೆ:
|
sin |
ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ |
PQ/OP; Cosec =1/sin ; OP/PQ |
|
|
cos |
ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ |
OQ/OP; sec = 1/cos ; OP/OQ |
|
|
tan |
ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = sin / cos |
PQ/OQ; cot = 1/tan ; OQ/PQ |
|
|
ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ PQ2 + OQ2 = OP2 -----à(1) PQ2/OP2 + OQ2/OP2 = 1(ಎರಡೂ ಕಡೆ OP2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ) (PQ/OP)2 + (OQ/OP)2 = 1 (sin )2 + (cos )2 = 1 sin2 + cos2 = 1 ----------(I) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ OQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ PQ2/OQ2 + 1 = OP2/OQ2 (PQ/OQ)2 + 1 = (OP/OQ)2 1 + (tan )2 = (sec )2 tan2 + 1 = sec2 ----------(II) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ PQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 +OQ2/PQ2 = OP2/PQ2 1 + (OQ/PQ)2 = (OP/PQ)2 1 + (cot )2 = (cosec )2 1 + cot2 = cosec2 ---------(III) ಸಮೀಕರಣ (I), (II) ಮತ್ತು (III) ನ್ನು ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(‘Fundamental identities’ )ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.. ಮೊದಲನೇ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಲಘುಕೋನವಾದಾಗ sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಧನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ sin = + (1-cos2 ) cos = + (1-sin2 ) ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. :
|
|||
ವಿವಿಧ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದಂತೆ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಬಹುದು:
ಗಮನಿಸಿ : sin2 +cos2 =1 ಎನ್ನುವ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು
ಸಮಸ್ಯೆ 1: (1+x2)*sin = x ಆದರೆ, sin2 / cos2 + cos2/ sin2 = x2 + 1/x2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
(1+x2)*sin = x (ದತ್ತ)
sin = x/ (1+x2)
sin2 = x2/(1+x2) (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)--------(1)
cos2 = 1 - sin2 (sin2+cos2=1, ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ)
= 1 - x2/(1+x2)
= (1+x2 - x2)/(1+x2)
= 1/(1+x2) ----------(2)
(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ
sin2/cos2 =
{x2/(1+x2)}/{1/(1+x2)} = x2 -----------(3)
cos2/sin2 = 1/x2 -----------(4)
(3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ
sin2/cos2 + cos2/sin2 = x2 + 1/x2
ಸಮಸ್ಯೆ 2: sin6+cos6=1-3*sin2.cos2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
x = sin2 ಮತ್ತು y = cos2 ಆಗಿರಲಿ.
x+y = 1 (sin2+cos2=1)
LHS ಭಾಗವು a3+b3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ
x3+y3 = (x+y)3-3xy(x+y) = 1-3xy(x+y =1)
= 1 – 3*sin2.cos2
ಸಮಸ್ಯೆ 3: tanA/(secA-1)+tanA/(secA+1) = 2cosecA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
LHS = tanA{(secA+1)+(secA-1)}/(sec2A-1) ( ಛೇದ (secA+1)*(secA-1) ಆಗಿರುವಂತೆ)
= 2tanA.secA/tan2A (sec2-1 = tan2)
= 2secA/tanA
= 2secA*cosA/sinA (tanA = sinA/cosA)
= 2/sinA (cosA = 1/secA)
= 2cosecA
>ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು
ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು(Trigonometric ratios of complimentary angles):
ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 900- ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು( ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800).
|
ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, QOP = QPO = 900- sin = PQ/OP ----à(1) cos = OQ/OP ----à(2) tan = PQ/OQ ----à(3) QPO ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ cos(900-) = PQ/OP --à (4) sin(900-) = OQ/OP ---à(5) cot(900-) = PQ/OQ ---à(6) (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಗಳನ್ನು (4), (5) ಮತ್ತು (6) ರ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ :
|
|
ಸಮಸ್ಯೆ 4: 3sin620/cos280 - sec420/cosec480= ?
ಪರಿಹಾರ:
28 = 90-62 ಮತ್ತು 48 = 90-42 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ
cos(28) = cos(90-62) = sin62
cosec(48) = cosec(90-42) = sec(42)
3sin620/cos280 - sec420/cosec480
= 3sin620/sin620 - sec420/sec420
= 3-1 = 2
ಸಮಸ್ಯೆ 5: sec4A=Cosec(A-200) ಆಗಿದ್ದು 4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ A ಎಷ್ಟು?
ಪರಿಹಾರ:
ನಮಗೆ sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ.
1/ sec4A = 1/ Cosec(A-200)
Ie, cos4A= sin(A-200)
sin(90-4A)= sin(A-200) ( 4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ cos = sin(900-))
90-4A= A-200
90+20= A+4A
110= 5A
A= 220
ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
|
ಕ್ರ.ಸಂ. |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
|
1 |
sin2+cos2=1, tan2 + 1 = sec2, 1 + cot2 = cosec2 |
|
2 |
ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು |
ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 11/9/2019
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕುರಿತಾದ ಮಾಹಿತಿ ಇಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿ...
