অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

ಆಯತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಚತುರ್ಥಕಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು

ಆಯತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಚತುರ್ಥಕಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು

  • ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.
  • ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟ(ಆಯಾಮ,ಅಳತೆ) ಇಲ್ಲ. ಅದರೆ ಅದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ  ಒಂದು ಮಟ್ಟ(ಉದ್ದ) ಇದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಫಲ ಇರುವ ತ್ರಿಭುಜ,
  • ಚತುರ್ಭುಜ ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಮಟ್ಟಗಳು ಇವೆ.  ಗಾತ್ರ ಅಥವಾ ಘನ ಫಲ ಇರುವಗೋಳ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಇವುಗಳಿಗೆ ಮೂರು ಮಟ್ಟಗಳು ಇವೆ.
  • ನಮ್ಮ ಮನೆಗಳನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಗರವನ್ನು ಒಂದು ಭೂಪಟದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?
  • ನಮ್ಮ ನಗರಗಳನ್ನು ಭೂಪಟದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲು ಅಕ್ಷಾಂಶ ಮತ್ತು ರೇಖಾಂಶಗಳು ಬೇಕು. ಅದೇ ರೀತಿ ಮನೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಎರಡು ಮಟ್ಟಗಳು ಬೇಕು.
  • ಗಣಿತದ ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಲಿಕೆಯೇ ನಕ್ಷೆ. ನಕ್ಷೆ ಎಂದರೆ ‘ಬರೆಯುವುದು’ ಅಥವಾ ‘ಗುರುತಿಸುವುದು’ ಅಥವಾ ‘ಎಳೆಯುವುದು’ (‘to paint or ‘to draw’).
  • ನಾವು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಕ್ಷಾಹಾಳೆ (ಗ್ರಾಫ್)ಯಲ್ಲಿ  ಏಳೆದ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ‘x – ಅಕ್ಷ’(‘x axis’. ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ OX   ರೇಖೆಯು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು,  OX1 ರೇಖೆಯು (ಇದನ್ನು -x ಎಂತಲೂ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.) ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ‘O’ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ  x – ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಬಿಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆದು ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೂ ಮೇಲಕ್ಕೂ ವೃದ್ಧಿಸಿ. ಈ ಲಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು ‘y- ಅಕ್ಷ’(‘y axis’)

ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.. x – ಅಕ್ಷ ದ ಮೇಲಿರುವ OY ರೇಖೆಯು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು, ಕೆಳಗೆ ಇರುವ OY1 ರೇಖೆಯು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ x – ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು  y – ಅಕ್ಷ ಇವೆರಡನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ‘ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು’( ‘coordinate axes’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಸಮತಲವನ್ನು 4 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಚತುರ್ಥಕಗಳು ಅಥವಾ

ಪಾದಗಳು(‘quadrants’)  ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳಿನ ಚಲನೆಯ ವಿರುದ್ಧ (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣ)ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ

ಈ ಚತುರ್ಥಕಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಥಕ I,ಚತುರ್ಥಕ II, ಚತುರ್ಥಕ III, ಚತುರ್ಥಕ IV ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿ(1 ಸೆಂ.ಮೀ.ಆಗಿರಲಿ) O ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳಿವೆ.

1. OX ನಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳು O ಯಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ 1ಸೆಂ.ಮೀ., 2ಸೆಂ.ಮೀ., 3ಸೆಂ.ಮೀ.,.

2. OX1 ನಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳು O ಯಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ -1ಸೆಂ.ಮೀ., -2ಸೆಂ.ಮೀ.,-3 ಸೆಂ.ಮೀ. . ..

3. OY ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ O ಯ ಮೇಲೆ 1ಸೆಂ.ಮೀ., 2ಸೆಂ.ಮೀ., 3ಸೆಂ.ಮೀ., ….

4. OY1 ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ O ಯ  ಕೆಳಗೆ-1ಸೆಂ.ಮೀ., -2ಸೆಂ.ಮೀ., -3ಸೆಂ.ಮೀ. …

ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು

ಚತುರ್ಥಕ I ರಲ್ಲಿ (x –ಅಕ್ಷದಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ, y ಅಕ್ಷದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ) ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದು Pಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ x ಮತ್ತು yಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ರೇಖೆಗಳು X ಮತ್ತು Y ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು

ಸಂಧಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಆಯತ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

 

P ಯಿಂದ x  ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು  ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ‘O’ ದಿಂದ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು

x - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (‘x - coordinate’)ಅಥವಾ ಪ್ರಥಮ ಭುಜ (‘abscissa’) ಎನ್ನುವರು.

 

P ಯಿಂದ x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯು y ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ‘O’ ದಿಂದ

ಇರುವ ದೂರವನ್ನು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (‘y- coordinate’) ಅಥವಾ ನೀಳಭುಜ (‘ordinate ’) ಎನ್ನುವರು.

 

ಪಕ್ಕದ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ P  ಬಿಂದುವಿನ x - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 2 ಮಾನಗಳು(ಸೆಂ.ಮೀ.) ಮತ್ತು y- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ

3 ಮಾನಗಳು (ಸೆಂ.ಮೀ.).ಆದ್ದರಿಂದ Pಬಿಂದುವನ್ನು P(2,3) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನುಆಯತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (‘rectangular coordinates’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

(ಏಕೆಂದರೆ ಆಕೃತಿ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ P(3, 2) ಬಿಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ x – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, O ಬಿಂದುವಿನ 3 ಸೆಂ.ಮೀ. ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು (x1) ಗುರುತಿಸಿ.

ಹಂತ 2: ಅದೇರೀತಿ y – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 2 ಸೆಂ.ಮೀ. ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು (y1) ಗುರುತಿಸಿ.

ಹಂತ 3: Ox1 ಮತ್ತು Oy1 ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ ಚತುರ್ಥಕ I ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

Ox1 ಮತ್ತು Oy1 ಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವೇ P (3, 2).

ಅಭ್ಯಾಸ: T(2, 3) ಬಿಂದುವನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ.

P (3, 2), T (2, 3) ಗಳು ಬೇರೆಬೇರೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ.ಆದ್ದರಿಂದ (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಣಿತಯುಗ್ಮ ಅಥವಾಕ್ರಮಯುಗ್ಮ ಎನ್ನುವರು. (‘ordered pair’)

 

ಅಭ್ಯಾಸ: Q(-2, 4),  R(-2, -4), S(2, -4) ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ:

1.  ಋಣ x - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು x – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ O ದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.( (i.e. OX1 ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ)

2.  ಋಣ y - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು x – ಅಕ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗೆ OY1 ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ:

1. ಬಿಂದು Q (-2, 4) 2 ನೇ ಚತುರ್ಥಕದಲ್ಲಿದೆ.

2. ಬಿಂದು R (-2, -4) 3 ನೇ ಚತುರ್ಥಕದಲ್ಲಿದೆ.

3. ಬಿಂದು S (2, -4) 4 ನೇ ಚತುರ್ಥಕದಲ್ಲಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ

1.  ಮೂಲಬಿಂದು ‘O’ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ: (0, 0).

2. x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ( x, 0).

3. y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (0,  y).

 

 

 

ಚತುರ್ಥಕ

x-ಅಕ್ಷ

y-ಅಕ್ಷ

ಬಿಂದು (x,y)

1

I

+

+

(++)

2

II

-

+

(- , +)

3

III

-

-

(- , - )

4

IV

+

-

(+- )

 

 

ಸರಳ ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವುದು

  • ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದನೇ ಘಾತದ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳು.
  • ಈಗ ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ x , ಇನ್ನೊಂದು y.

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಸಂಬಂಧ

ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣ

1

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ.

y = x

2

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ.

y = 2x

3

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೊಂದರ ಎರಡರಷ್ಟಕ್ಕಿಂತ 1 ಹೆಚ್ಚು.

y = 2x+1

4

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2 ನ್ನ ಕೂಡಿಸಿದುದರ 2 ರಷ್ಟಿದೆ.

y = 2(x+2)

5

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 3.

x-y  =3 or  –y = 3-x(ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದೆ.) ಅಥವಾ y  = x-3(-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದೆ)

6

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ =3

x+y= 3  ಅಥವಾ y  = 3-x(ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದೆ.)

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದದ ಮೊದಲನೇ ಘಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ y = mx + c . ಇಲ್ಲಿ c = ಒಂದು ಸ್ಧಿರಾಂಕ. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ax+by+c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಅದನ್ನು y =mx+cರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಹೇಗೆ?

 

1

ax+by+c = 0

ದತ್ತ

2

by= -ax-c

ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದಾಗ(ಎರಡೂ ಕಡೆ ax+c ಯಿಂದ ಕಳೆದಾಗ)

3

y= (-a/b)x-(c/b)

ಎರಡೂ ಕಡೆ b ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ

4

y =mx+z

m= -(a/b), z= -(c/b)

ಸಮಸ್ಯೆ 1: x+y =3  ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಹಂತ 1 : ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು  y =mx+c ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

(ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ  y ಮಾತ್ರ ಇರಬೇಕು.) y = 3-x(ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಿದೆ).

ಹಂತ 2 : x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (ಬರೇ 2 ಬೆಲೆ ಸಾಕಾದರೂ ಸಹ)

y ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ:

x à

0

-1

1

2

y à

3

4

2

1

(x,y)

(0,3)

(-1,4)

(1,2)

(2,1)

 

ಹಂತ 3 :  ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ  (x,y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಈಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯು x+y =3(ಅಥವಾ y= -x +3) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

ತಾಳೆ:ನಮಗೆ ದೊರೆತ ಸರಳರೇಖೆಯು x+y=3 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಖಾತ್ರಿ ಹೇಗೆ?

 

ನಮಗೆ ದೊರೆತ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ x=0.5 ಆದಾಗ y- ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅದು 2.5 ಆಗಿದೆ  ಆ ಬಿಂದು (0.5, 2.5) ಆಗಿದೆ

x,yಗಳ ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,x+y =0.5+2.5 = 3. ಇದೇ ರೀತಿ x  ನ

ಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಸರಿ ಇದೆಯೇ   { ಉದಾ: (3,0)} ಎಂದು ನೋಡುವುದರಿಂದ

ಈ ರೇಖೆಯ ನಾವು ಎಳೆದ ನಕ್ಷೆಯು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದುತಿಳಿಯಬಹುದು.

y=mx+c ಇದು ಮೊದಲ ಘಾತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು ಎಳೆದ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾದ್ದರಿಂದ,

ಇಂತಹ ಮೊದಲ ಘಾತದಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆನ್ನುವರು. (‘linear equations’)

ಗಮನಿಸಿ:

  • ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಲು ಎರಡೇ ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಕಾದರೂ ಕೂಡಾ x+y=3  ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಲು (x,y) ಗಳ ಹಲವು
ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.
  • 2. ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಹಲವು ( x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x+y =3 ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದು { ಉದಾ.(4,-1)} ಇವೆಲ್ಲವೂ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿವೆ.

ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಲು ನಮಗೆ ಬರೇ 2 ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಕು. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ನಾವು x, y ಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳ ಪಟ್ಟಿತಯಾರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವೇನು? ನಿಜವಾಗಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು.

x – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು, y – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು.ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು

ಸೇರಿಸಿ ನಾವು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಯನ್ನೆಳೆಯಬಹುದು. x – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ

ಬಿಂದುವಿನ y –  ಯನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಔ. ಅದೇರೀತಿ y –  ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ x ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ = O. ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕ

ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆಯು x –ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು x – ಅಂತಃಖಂಡ (‘x- intercept’) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಆ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: (x,0).

x ನ ಬೆಲೆ ಪಡೆಯಲು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y ಗೆ O ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ. ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆಯು y – ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು y – ಅಂತಃಖಂಡ (‘y- intercept’)  ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0,y).

ಇಲ್ಲಿ yಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x=0 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ.

ಈಗ ಈ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಿಂದ x+y = 3(ಸಮಸ್ಯೆ 2.7.1.1) ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವಾ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y=0ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,x=3. P(3,0) ಯು x- ಅಂತಃಖಂಡ.

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x=0 ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, y=3. Q(0,3) ಯು

y- ಅಂತಃಖಂಡ.P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದರೆ, x+y =3. ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದುಸಮಸ್ಯೆ 7.1.1.1 ರಲ್ಲಿದ್ದಂತೆಯೇ ಆಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2: y = -2 ನಕ್ಷ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಹಂತ 1:  ಮೇಲ್ಕಂಡ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು;

“x ನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ    y =-2 ಆಗುತ್ತದೆ?”  ಸಮೀಕರಣ ಬರೆಯುವುದಾದರೆ

ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: y =0x-2

ಹಂತ 2: x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ

x à

-1

1

3

y à

-2

-2

-2

(x,y)

(-1,-2)

(1,-2)

(3,-2)

ಹಂತ 3 : ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು

ಗುರುತಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು

ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದಜೋಡಿಸಿ. ಈ ಸರಳರೇಖೆಯು y=-2 ನ್ನ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

 

ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ (2,-2) ಬಿಂದುವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ:ಎಳೆದ ರೇಖೆಯು x – ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: 2y = -x ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1:  ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ y ಮಾತ್ರವಿರುವಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: y = - x/2

ಹಂತ 2: x ನ 2 ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.

x à

-2

2

y à

1

-1

(x, y)

(-2,1)

(2,-1)

 

ಹಂತ 3:  (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಳ್ಳ ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ

ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. ದೊರೆತಸರಳ ರೇಖೆಯು y= -(1/2)x ಸಮೀಕರಣಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ

ಬಿಂದು (1,-1/2) ವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,ತಾಳೆನೋಡಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯು ಮೂಲಬಿಂದು (0, 0). ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4: x = -3 ರ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಅರ್ಥ = y ಯ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ x = -3. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.

 

x à

-3

-3

-3

y à

1

-1

-2

(x,y)

(-3,1)

(-3,-1)

(-3,-2)

 

ಹಂತ 2:  (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದಜೋಡಿಸಿ.

ಈ ಸರಳರೇಖೆಯು x=-3 ನ್ನ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ:ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯು y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

x ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು y  ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೆನ್ನುವರು.

2

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ಅಣಿತಯುಗ್ಮ (x,y) ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.

3

ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0,0)

4

x – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ: (x,0)

y – ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ: (0,y)

5

ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y = mx+c (ಮೊದಲನೇ ಘಾತದಲ್ಲಿರಬೇಕು) ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕನಕ್ಷೆ ಎನ್ನುವರು.

6

x = ಸ್ಧಿರಾಂಶವಾದಾಗ ನಕ್ಷಾರೇಖೆ y  ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದು.

y =  ಸ್ಧಿರಾಂಶವಾದಾಗ ನಕ್ಷಾರೇಖೆ x - ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದು.

7

y = mx  ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆ.

8

ನಕ್ಷಾರೇಖೆಯು x- ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು, ಸಮೀಕರಣದ x- ಅಂತಃಖಂಡವಾಗಿರುತ್ತದೆ.(x,0)

9

ನಕ್ಷಾರೇಖೆಯು y – ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು, ಸಮೀಕರಣದ y– ಅಂತಃಖಂಡವಾಗಿರುತ್ತದೆ.(0,y)

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ



© 2006–2019 C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate