ಬೀಜಗಣಿತ

ಬೀಜಗಣಿತವು ಚರಾಕ್ಷರ (ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ)ಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಪುಸ್ತಕ ಬರೆದಿದ್ದರೆಂದರೆ ಅದರ ಮಹತ್ವದ ಅರಿವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಸಕ್ತಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಹೇಳುವಿರಾ?

1. 10.5*9.5  ರ ಬೆಲೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿ.  2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8. ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)
2. 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8. ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)
3. ನನ್ನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ತಂದೆಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು. 16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನನ್ನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ನನ್ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಈಗ ನನ್ನ ವಯಸ್ಸೆಷ್ಟು?
4. ನೀವು, ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು 480ರೂ. ಖರ್ಚಾಗುತ್ತದೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಿರಿ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 8 ಮಂದಿ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ. ಇವರು ಬಾರದಿದ್ದುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ 10ರೂ. ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೊನೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು?
5. ಒಂದು ವಿಮಾನವು ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 30 ನಿಮಿಷ ತಡವಾಗಿ ಹೊರಟಿತು. ಅದು ಪಯಣಿಸಬೇಕಾದ ದೂರ 1500 ಕಿ.ಮಿ. ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕೇ ಅಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪಲು ಅದು ತನ್ನ ವೇಗವನ್ನು ಮಾಮೂಲು ವೇಗಕ್ಕಿಂತ 250ಕಿ.ಮಿ. ನಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಮಾಮೂಲು ವೇಗ ಮತ್ತು ಮಾಮೂಲು ಅವಧಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪಾಠ 2.4, 2.8, 2.14, 2.19 ಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲಿದ್ದೇವೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಗಳು:

ಬದಲಾಗದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕ(Constant) ಎನ್ನುವರು. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾ: - 4, 0, 1/3, 5/2, 1.19,

ಸ್ಥಿರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದೇ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಲ್ಲ ಸಂಕೇತವೇ ಚರಾಕ್ಷರ (Variable). ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ- x, y, a+b.

ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದ (Algebraic term) ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, ಬೀಜಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದ ಎನ್ನುವರು. ಉದಾ- 4ab, 2x, 3y, 10, z, m/n, -p/q…

ಈಗ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ:2x= 2*x ಇದು 2 ಮತ್ತು x ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ. ‘2’ ನ್ನು2x ನ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ (numerical co-efficient) ಎನ್ನುವರು. ‘x’ ನ್ನು ಬೀಜಸಂಖ್ಯೆ, ಬೀಜಸಹಗುಣಕ ಅಥವಾ ಚರಾಕ್ಷರ (literal factor or literal co-efficient ಎನ್ನುವರು.

ಒಂದೇ ಬೀಜಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಘಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸಜಾತಿ ಪದ (like terms) ಗಳೆನ್ನುವರು.

ಉದಾ:

(x, 2x, -7x)        ---> ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ x ಮಾತ್ರ

(2mn, 5mn, -1/3mn)     ---> ಇಲ್ಲಿ ಬೀಜ ಸಹಗುಣಕ: mn

(x³, 5 x³, -5/6 x³)        ---> ಇಲ್ಲಿ x³ ಎಂಬುದು ಬೀಜಸಹಗುಣಕ. ಈ ಮೂರೂ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರದ ಘಾತ 3.

ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೀಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಘಾತಗಳಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ವಿಜಾತಿ ಪದ (unlike terms) ಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾ:

(x, x³, x²)                ---> [ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ ಒಂದೇ ಆದರೂ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ (1, 3, 2)]

(2x, 2a,-2mn)          ---> (ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ x, a, mn)

ಬೀಜೋಕ್ತಿ(Algebraic expression) : ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳು + ಅಥವಾ – ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸಹಯೋಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವನ್ನು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳೆನ್ನುವರು

ಉದಾ: 4x+ax³+9x²+ (2a/3b), -2mn+45+ y^-2+  +

ಬಹುಪದಗಳು (polynomial)  : ಧನಾತ್ಮಕವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಬೀಜಾಕ್ಷರಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದಗಳೆನ್ನುವರು.

ಉದಾ: 4x+ax³+9x²+ (2a/3b), -2mn+45

ವಿ.ಸೂ:y^-2+ x^3/2 ಇದು ಬಹುಪದವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ yಯ ಘಾತ:– 2, x ನ ಘಾತಾಂಕ 3/2 – ಈ ಎರಡೂ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ..

	ಬೀಜೋಕ್ತ್ತಿಯ ವಿಧಗಳು	ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತ್ತಿಯು	ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಏಕಪದ	3a, 2x,-1/3y,
ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು	ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ದ್ವಿಪದ	3-4a, 5x2-z
ಒಂದು ಬೀಜೋಕ್ತ್ತಿಯು	ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ತ್ರಿಪದ	4x+ax3+9x2

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಘಾತಗಳು ಏರಿಕೆಯ ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಬಹು ಪದಗಳು ಆದರ್ಶ (standard form) ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುವು.

ಉದಾ:

y²-2y⁴+3y-y³+4 - ಇದು ಆದರ್ಶರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದವನ್ನು  ಆದರ್ಶರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

-2y⁴-y³+ y²+3y+4 ಅಥವಾ 4+3y+ y²-y³-2y⁴.

ಒಂದು ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ 'n’ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನ n- ಚರಾಕ್ಷರದ ಬಹುಪದ (polynomial in ‘n’ variables) ಎನ್ನುವರು.

ಉದಾ:

• 9x5+3x3+9x2+7x+5: ಒಂದೇ ಚರಾಕ್ಷರವಿರುವ ಬಹುಪದ (ಇಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ: x ಮಾತ್ರ)
• 9x5+ax3+9x2+7x+5: 2 ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಬಹುಪದ (x ಮತ್ತು a ಚರಾಕ್ಷರಗಳು)

ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚರಾಕ್ಷರ ಇರುವ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿಪದಕ್ಕೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಅತಿಹೆಚ್ಚು ಮೊತ್ತವು ಆ ಬಹುಪದದ ಘಾತವನ್ನು (degree of the polynomial) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾ:

• 4y2- x2y2+ x2+6y ಈ ಬಹುಪದದ ಘಾತ= 4 (x2y2 ದ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತ 4. ಇದು ಉಳಿದ ಪದಗಳ ಘಾತಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು)
• 10p3q2+4p2q-5+ p4– ಈ ಬಹುಪದದ ಘಾತ= 5 (p3q2 ದ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತ 5. ಇದು ಉಳಿದ ಪದಗಳ ಘಾತಂಕಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು)

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಬೀಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದು.

ಉದಾ:

5 – (-6) = 5+6 =11,  -2 – (+5) = -2-5 =-7. ಇತ್ಯಾದಿ

ಅದೇರೀತಿ : (a+b)+c =a+(b+c) …….

ಬೀಜಪದಗಳ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಸಜಾತಿ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು.

ಉದಾ:

• 8y4 -2y4 = (8-2)y4 = 6y4
• -11ab + -6ab = {-11+(-6)}ab = (-11-6)ab = -17ab

ವಿಜಾತಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಕಲನ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾ:8y⁴ -2y² ಇದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

• ಸಮಸ್ಯೆ1: ಕೂಡಿಸಿ::   (5a2-6a+3), (2a2+3a-1), (3a2-a-5)

ಪರಿಹಾರ:

(5a²-6a+3)+ (2a²+3a-1) + (3a²-a-5)

=5a²-6a+3+2a²+3a-1+3a²-a-5

= (5a²+2a² +3a²) + (-6a+3a-a) + (3-1-5) (ಸಜಾತಿ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.)

= (5+2+3) a² + (-6+3-1)a + (3-1-5) (ಸಜಾತಿ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದೆ.)=10 a² + (-4a)-3

=10a² -4a-3

• ಸಮಸ್ಯೆ 2 2x3-x2+4x-6 ದಿಂದ x3+5x2-4x+6ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(x³+5x²-4x+6) – (2x³-x²+4x-6)

= x³+5x²-4x+6 - 2x³ -(-x²) -(+4x) –(-6)

=x³+5x²-4x+6 - 2x³+x²-4x+6 ( -(- x²) = x² ಮತ್ತು–(-6) =+6 )

= (x³ - 2x³)+(5x²+x²)+(-4x -4x) +(6+6) (ಸಜಾತಿ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದೆ.)

= - x³+6x²-8x +12

• ಸಮಸ್ಯೆ 3 : x3+2x2-3x+7 ರಿಂದ ಎಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆದರೆ x3+x2+x -1 ಸಿಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು 9 ರಿಂದ 3 ನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂದಂತೆಯೇ. ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ  6. 9 ರಿಂದ 3 ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಅದೇರೀತಿ ನಾವೀಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು:

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು:

(x³+2x²-3x+7) – (x³+x²+x -1)

= x³+2x²-3x+7 – x³-x²-x –(-1)

= (x³– x³)+(2x²-x²)+(-3x –x) +(7+1) ( –(-1) =+1)

= 0+x²-4x+8

= x²-4x+8

ತಾಳೆ:

(x³+x²+x -1) + (x²-4x+8)

= x³+(x² + x²) +(x-4x) -1+8 (ಸಜಾತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= x³+2x²-3x -7 (ಇದೇ ದತ್ತಾಂಶ)

ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ಚರಾಕ್ಷರಗಳು, ಘಾತ, ಏಕಪದ, ದ್ವಿಪದ, ತ್ರಿಪದ, ಬಹುಪದ - ಇವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು.

ಘಾತಾಂಕಗಳು

ಒಂದು ಕೋಟಿಯಲ್ಲಿ 1 ರ ಮುಂದೆ ಎಷ್ಟು 0 ಗಳಿವೆ?

ರಾಮಾಯಣದ ಯುದ್ಧ ಕಾಂಡದಲ್ಲಿನ ಈ ಶ್ಲೋಕಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಶತಂ ಶತಸಹಸ್ರಾಣಾಂ ಕೋಟಿ ಮಾಹುರ್ಮನೀಷಣ |1|

ಅರ್ಥ: 100*100*1000  = ಕೋಟಿ

ಶತಂ ಕೋಟಿಸಹಸ್ರಾಣಾಂ ಶಂಖ ಇತ್ಯಭಿಧೀಯತೇ ||2||

ಅರ್ಥ: 100* ಕೋಟಿ *1000   = ಶಂಖ

ಶಂಖದಲ್ಲಿ 1 ರ ಮುಂದೆ ಎಷ್ಟು 0 ಗಳಿವೆ?

ಶತಂ ಶಂಖ ಸಹಸ್ರಾಣಾಂ ಮಹಾಶಂಖ ಇತಿಸ್ಮೃತ:|3|

ಅರ್ಥ: 100* ಶಂಖ * 1000 =   ಮಹಾಶಂಖ

ರಾಮಾಯಣದ ಕಾಲ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಎಂದರೆ ಕ್ರಿ. ಪೂ 4000 ಆಗಿದ್ದು, ಆಗಿನ ಕಾಲದಲ್ಲೆ ಸೊನ್ನೆ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿಯು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇತ್ತು  ಎಂದು ಇದರಿಂದ ತಿಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತಹ ಡೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು  ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

16 = 2*2*2*2 (ಸಂಖ್ಯೆ 2ನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದೆ.)

ಆದ್ದರಿಂದ 16 – ಇದನ್ನು 2ರ 4ನೇ ಘಾತ ಎನ್ನುವರು

16 = 2⁴.

2ನ್ನು 4ನೆ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದಾಗ 16 ದೊರೆಯುವುದು

16= 4*4 = 4² (4 ರ ಘಾತ 2 = 16)

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ ಹಾಗೆಯೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು.

ಉದಾ:

x³= x*x*x

x³ ನ್ನು xನ  3 ನೇ ಘಾತ ಎನ್ನುವರು.

ಈ ರೀತಿ  x*x*x ನ್ನು x³ ರಿಂದ ಸೂಚಿಸುವ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ‘ಘಾತಾಂಕದ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವಿಕೆ’ ( ‘exponential notation’ ) ಎನ್ನುವರು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ:

xⁿ = x *x*x* …. n ಬಾರಿ

ಇಲ್ಲಿ x ನ್ನು ‘ಆಧಾರ ಸಂಖ್ಯೆ’ (base) ಮತ್ತು n ನ್ನು ‘ಘಾತ ಸೂಚಿ’ (exponent  Or ‘index’) ಎಂತಲೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

(ಆಧಾರಸಂಖ್ಯೆ) ^{ಘಾತಾಂಕ} = ಸಂಖ್ಯೆ

(Base) ^Exponent = Number

ಗಮನಿಸಿ:a = a¹

ಸಮಸ್ಯೆ1: 1331 ನ್ನು11 ರ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1331 ರ ಅಪವರ್ತನೆಗಳು = 11, 11, 11

1331 = 11*11*11 = 11³

ಈಗ ನಾವು  2⁵ ಮತ್ತು  2³ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ

2⁵ *2³ = (2*2*2*2*2)*(2*2*2) = 2⁸

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ: 8 =5+3

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮ (Product Law) ವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು x 0 ಮತ್ತು m, n ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,,

x^m *xⁿ = x^(m+n)

• ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: a14 *b32 * a4 *b16

ಪರಿಹಾರ

a¹⁴ *b³² * a⁴ *b¹⁶

= (a¹⁴ * a⁴ )*(b³² * b¹⁶)  ( ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಿದೆ.)

= (a¹⁴⁺⁴⁾*(b³²⁺¹⁶) (ಮೊದಲ ನಿಯಮ.)

=a^{18 *}b⁴⁸

ಈಗ ನಾವು 2⁵ ನ್ನ 2³ ದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

2⁵ /2³ = (2*2*2*2*2)/(2*2*2) =  2*2=2²

ಅದೇ ರೀತಿ, 2³ /2⁵ = (2*2*2)/ (2*2*2*2*2) = 1/(2*2) = 1/(2²)

2³ /2³ = (2*2*2)/(2*2*2) = 1

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಘಾತಾಂಕದ 2 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು (Quotient Law) ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು x 0 , m ಮತ್ತು n ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು m>n

ಆದಾಗ, x^m /xⁿ = 1/x^(m-n)

x ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು x 0 ,m ಮತ್ತು n ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು m<n

ಆದಾಗ, x^m /xⁿ = 1/(x^(n-m) )

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ, x  0 ಆದಾಗ,

• xm = 1/( x-m)
• x-m = 1/ ( xm)
• n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, a  0 ಆದಾಗ, = a1/n
• a   0 ಆದಾಗ, n 0 ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, am/n=

ಗಮನಿಸಿ:

x⁰ =1 ( 1 = x^m /x^m = x^(m-m) )

ಸಮಸ್ಯೆ3:10^-5 ಮತ್ತು 2/m^-1 ಗಳನ್ನು ಧನ ಘಾತಾಂಕರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆ.

ಪರಿಹಾರ:

10^-5 = 1/10⁵

2/m^-1= 2/(1/m¹) = 2m¹ =2m

• ಸಮಸ್ಯೆ4: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: x^a+b /x^b-c

ಪರಿಹಾರ:

x^a+b /x^b-c

= x^a+b /1/(x^-(b-c))

= x^a+b *x^-(b-c)

= x^a+b+(-(b-c)) (2ನೇ ನಿಯಮ)

= x^a+b-b+c( -(b-c) = -b+c)

= x^a+c

ಈಗ  5² , 5² ಮತ್ತು 5² ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

5² *5²*5²= (5*5)*(5*5)*(5*5) = 5⁶

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

5² *5²*5² = (5²)³ = 5^2*3

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕಗಳ 3 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು (Power law) ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x ಎಂಬುದು ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು m ಮತ್ತು n ಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,

(x^m )ⁿ = x^mn

• ಸಮಸ್ಯೆ5 : ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ [{(x²)²}²]²

ಪರಿಹಾರ:

(x²)²= x⁴

{(x²)²}² = {x⁴}² = x⁸

[{(x²)²}²]² =  [x⁸]²= x¹⁶

ಅಭ್ಯಾಸ : ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ

ಈಗ, (2*5)³ ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾ:

(2*5)³ = (2*5)*(2*5)*(2*5) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ.

= (2*2*2)*(5*5*5)

= (2)³*(5)³

ಈ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕಗಳ 4 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x ಮತ್ತು y ಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ,ಮತ್ತು m ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ,

(x*y)^m = (x^m)* (y^m)

• ಸಮಸ್ಯೆ6:ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (5x^-3 y^-2)³

ಪರಿಹಾರ:

(5x^-3 y^-2)³

= (5)³ *(x^-3)³*(y^-2)³ ( 4 ನೇ ನಿಯಮ)

= 5³* x^-9* y^-6 (3 ನೇ ನಿಯಮ)

= 5³/( x⁹* y⁶)           (ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ)

ಅಭ್ಯಾಸ : ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ

• ಸಮಸ್ಯೆ7: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (3x^-2 y)^-1

ಪರಿಹಾರ:

(3x^-2 y)^-1

= (3) ^-1*( x^-2)^-1 *(y)^-1 --à( 4 ನೇ ನಿಯಮ)

= (3) ^-1* x⁺² *y^-1 ----à  (3 ನೇ ನಿಯಮ)

= x² /3*y--à (ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ)

ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ

ಈಗ (2*5)³ ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾ:

(2/5)³ = (2/5)*(2/5)*(2/5)

= (2*2*2)/(5*5*5)

= (2)³/(5)³

ಈ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಘಾತಾಂಕಗಳ 5 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x ಮತ್ತು y ಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ, m ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ,

(x/y)^m = (x^m)/ (y^m)

ಗಮನಿಸಿ:

(-1)² = (-1)*(-1) =+1 and (-1)³ = (-1)*(-1)*(-1) = -1

• m ಒಂದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, (-a)m = (-1)m *am = am
• m ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ (-a)m = (-1)m *am = -am

ಸಾಧನೆ:

• m ಒಂದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ರೂಪ 2n  ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ (n= 1,2.3 . . .)

(-1)^m = (-1)²ⁿ = ((-1)² )ⁿ ----à3 ನೇ ನಿಯಮ

= 1ⁿ = 1

2. m ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ರೂಪ 2n+1  ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ (n= 0,1,2.3 . . .)

(-1)^m = (-1)²ⁿ⁺¹ = (-1)²ⁿ *(-1)¹ ----à 2 ನೇ ನಿಯಮ

= 1ⁿ *-1        ----à (ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಿದೆ)

=  -1

• ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (a^m/aⁿ)^p*(aⁿ/a^p)^m*(a^p/a^m)ⁿ

ಪರಿಹಾರ:

(a^m/aⁿ)^p

= (a^m)^p/(aⁿ)^p (5ನೇ ನಿಯಮ)

= a^mp/ a^np (3ನೇ ನಿಯಮ)

(a^m/aⁿ)^p*(aⁿ/a^p)^m*(a^p/a^m)ⁿ

= (a^mp/ a^np)* (a^nm/ a^pm)* (a^pn/ a^mn)

= (a^mp* a^nm* a^pn)/ (a^np*a^pm*a^mn) (ಅಂಶ, ಛೇದಗಳೆರಡೂ ಒಂದೇ)

=1

• ಸಮಸ್ಯೆ9 : ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ:(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಆವರಣದ ಒಳಗಿರುವ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ,

(a⁴b^-5/ a²b^-4)

= (a⁴/ a²) * (b^-5/ b^-4)

= (a²/ b) ( (2 ನೇ ನಿಯಮ)- (a⁴/ a²) = (a^4-2) = a², (b^-5/ b^-4) = (b^-5-(-4)) = b^-5+4= b^-1= 1/b )

ಈಗ ಕೊಟ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆ ನೋಡುವಾ

(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

= (a²/ b)^-3

= (a²/ b)^-3

= (a²)^-3/ (b)^-3 (3ನೇ ನಿಯಮ)

=a^-6/b^-3

= b³/a⁶

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

= (a^-12b⁺¹⁵/ a^-6b⁺¹²) (3ನೇ ನಿಯಮ)

=(a^-12/ a^-6)* (b¹⁵/ b¹²)   (ಪದಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ)

=(a^-12* a⁶)* (b¹⁵* b^{- 12}) (ಸೂತ್ರ x ^-m = 1/( x^m) )

=(a^-12+6)* (b^15-12)         (ಮೊದಲ ನಿಯಮ)

=a^-6*b³

= b³/a⁶

ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ, xn = x*x*x*x – n ಬಾರಿ
2	(ಆಧಾರಸಂಖ್ಯೆ) ಘಾತಾಂಕ = ಸಂಖ್ಯೆ
3	ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ, x0 =1
4	ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ, x - m = 1/( xm)
5	ಮೊದಲ ನಿಯಮ:xm *xn = x(m+n)
6	2 ನೇ ನಿಯಮ xm /xn = x(m-n)
7	3 ನೇ ನಿಯಮ (xm )n = xmn
8	4 ನೇ ನಿಯಮ (x*y)m = (xm)* (ym)
9	5 ನೇ ನಿಯಮ (x/y)m = (xm)/ (ym)

ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಲಿಕೆಗಾಗಿ

• ಸಮಸ್ಯೆ10 : 1960 = 2^a5^b7^c ಆದರೆ,  2^-a7^b5^-c ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1960  =  2*2*2*5*7*7=  2³5¹7²

a=3, b=1 , c=2

2^-a =1/8 and  5^-c =1/25

2^-a7^b5^-c

= (1/8)*7*(1/25) = 7/200

• ಸಮಸ್ಯೆ11 : ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: {(8x³)/ 125y³}^2/3

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ:

8x³=(2x)³ and 125y³=(5y)³

(8x³)/125y³

=(2x/5y)³

{(8x³)/125y³}^2/3

={(2x/5y)³}^2/3

=(2x/5y)³*^2/3

=(2x/5y)²

= 4x²/25y²

• ಸಮಸ್ಯೆ12 :3^x-1 = 9*3⁴ ಆದರೆ x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

9 = 3²

9*3⁴= 3²*3⁴=3⁶

ಈಗ

3^x-1 = 9*3⁴ =3⁶,

x-1 = 6

x=7

ತಾಳೆ:

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು(=7)ದತ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಿ (= 729

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುವ  ನಿಯಮಗಳನ್ನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಪರಿವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತನ ನಿಯಮಗಳು)

• ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯಾಸಹಗುಣಕವು ,ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ (6a*5 = (6*5)*a = 30a).
• ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಚರಾಕ್ಷರದ ಭಾಗವು ,ಆ ಏಕ ಪದಗಳ ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (6a*5b = (6*5)*a*b = 30a*b = 30ab).
• ಸಮಸ್ಯೆ1: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (1/10)*(x5y2) *10x3y

ಪರಿಹಾರ:

(1/10)*(x⁵y²) * 10x³y

=(1/10)*10 *(x⁵y²) *x³y ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= 1*(x⁵ *x³) * y²y

= (x^5+3 ) * y²⁺¹

= x⁸ y³

• ಸಮಸ 2: -3x²y, 4xy²z  ಮತ್ತು (5/4) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಮೊದಲನೇ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

-3x²y* 4xy²z

= (-3*4) (x²*x) (y*y²)z  ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= -12 x³ y³z            (ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊದಲನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ)

ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

(-3x²y* 4xy²z) * (5/4)z

= -12 x³ y³z* (5/4)z

= (-12)*(5/4) x³ y³z*z

= -15 x³ y³ z²

• ಏಕಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು(Multiplication of monomial by a binomial)

24 = 2*12 = 2*(8+4) = 2*8+2*4 = 16+8: ಇದೇರೀತಿ.

a*(b +c) = a*b + a*c = ab+ac ( ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ)

ಒಂದು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಒಂದು ದ್ವಿಪದ - ಇವೆರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು..

• ಸಮಸ್ಯೆ 1:(-11p²q-q²) ವನ್ನು (-2pq) ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

-2pq *(-11p²q-q²)

= (-11p²q)* (-2pq) -(q²)* (-2pq) (ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು -11p²q-q² ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= (-11)*(-2)p²*p*q*q  -(1*-2)*p*q²* q

= 22p³q²+2pq³

• ಎರಡ ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ<(Multiplication of two binomials

ಈಗ ನಾವು 12 ನ್ನ 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾ 12*8 = 96

ಇದನ್ನು ನಾವು ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಾ 12 = 8+4 and 8= 6+2

12*8

= (8+4)*(6+2)

= 8*(6+2) + 4*(6+2)

= (8*6+8*2)+ (4*6 +4*2)

= 48+16+24+8 = 96

ಇದೇರೀತಿ

(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಒಂದು ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀಯೊಂದು ಪದದಿಂದಲ್ಲೂ 2ನೇ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು.ಪ್ರತೀಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ನಾವು ಇದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

• ಸಮಸ್ಯೆ1: 2x²-3x +1 ನ್ನ (x-3) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

(x-3)* (2x²-3x +1)

= x*(2x²-3x +1) -3*(2x²-3x +1) (ಮೊದಲನೆ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು 2ನೇ ತ್ರಿಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= (2x²*x-3x*x +1*x)+( -3*2x²-3*-3x -3*1) (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= (2x³-3x²+x) + (- 6 x²+9x-3)

=2x³ -3x²- 6 x²+x +9x -3 (ಸಜಾತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)=2x³ -9x²+10x -3

• ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳು(Identities and formulae):

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳೆನ್ನುವರು. ಈಗ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಾದ a,b,c ಅಥವಾ x ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ನಿತ್ಯಸಮಿಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ:

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd       ------------------->(1)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a ಯನ್ನು x , c ಯನ್ನು x, b ಯನ್ನು a ಮತ್ತು d ಯನ್ನು b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ (x+a)*(x+b)

= x*x+ xb+ax+ab

= x²+xa+xb+ab

= x²+x(a+b)+ab

• ಸಮಸ್ಯೆ1 :102*106 ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

ಪರಿಹಾರ:

102 = 100+2

106 = 100+6

102*106

= (100+2)*(100+6)          [ಸೂತ್ರ (x+a)*(x+b)]

= 100²+ 100*(2+6)+ 2*6

= 10000+800+12 = 10812

• ಸಮಸ್ಯೆ2: 97 ಮತ್ತು 95 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

ಪರಿಹಾರ:

97 =100-3

95 =100-5

(x+a)*(x+b) = x²+x(a+b)+ab ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ

x=100, a=-3 and b=-5.

97*95

= (100-3)*(100-5)

= 100²+ 100*(-3+-5)+ (-3*-5)

= 10000-800+15 = 9215

• ಸಮಸ್ಯೆ3: 103 ನ್ನ 96 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

103 = 100+3

96 = 100-4

(x+a)*(x+b) = x²+x(a+b)+ab  ಸಮೀಕರಣ

x=100, a=+3 ಮತ್ತು b=-4.

103*96

= (100+3)*(100-4)

= 100²+ 100*(3+-4)+ (3*-4)

= 10000-100-12 = 9888

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ c ಯನ್ನು a, ಮತ್ತು d ಯನ್ನುb ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ

( i.e. (a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd )

ಈಗ,

(a+b)*(a+b) = aa+ab+ba+bb

= a²+ 2ab+b²

(a+b)²= a²+ 2ab+b²

• ಸಮಸ್ಯೆ4: (10.1)² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

10.1 = 10+0.1

(10.1)²⁼ 10+0.1 [ಈಗ (a+b)²= a²+ 2ab+b² ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸಿ]

= 10²+ 2*10*0.1+ (0.1)²

= 100+2+0.01 = 102.01

• ಸಮಸ್ಯೆ5: 4x²+12xy+8y²) ವನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಏನನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:

4x² ವು a² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ (a = 2x).

ಆದರೆ 8y² ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ. 9y² ವು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ. b = 3y

=2ab = 2*2x*3y = 12xy

4x²+12xy+ 9 y² ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ (y²) ವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು.

[ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಗಳಿವೆ.]

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ನೋಡುವಾ.

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ bಯನ್ನು-b, c ಯನ್ನುa ಮತ್ತು d ಯನ್ನು-b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ,

(a-b)*(a-b)

= a*a+ a(*-b) + (–b)*a +b*(-b)

= a²-ab-ab+ b²

= a²-2ab+ b²

• ಸಮಸ್ಯೆ 6 : (4.9)² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

4.9 = (5-0.1)

(4.9)² – ಇದು (a-b)² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=5 and b=0.1

4.9² = (5-0.1)

= 5²+-2*5*0.1+ (0.1)²

= 25 -1 +.01

= 24.01

• ಸಮಸ್ಯೆ 7: (x-1/x)² - ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ.\

ಪರಿಹಾರ:

ಇದು (a-b)² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಹಾಗೂ a=x  ಮತ್ತು b=1/x

(x-1/x)²= x²-2x(1/x)+ (1/x)²

= x²-2+ 1/x²

ಸಮೀಕರಣ(1) ರಲ್ಲಿ cಯನ್ನು a , d ಯನ್ನು -b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

(a+b)*(a-b) = aa+a*(-b)+ba+b*(-b)

= a²-ab+ab-b² ( -ab+ab=0)

= a²-b²

• ಸಮಸ್ಯೆ 8:ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ: 9.5*10.5

9.5 * 10.5 = (10-0.5 )*(10+0.5)

9.5* 10.5  ಎನ್ನುವುದು (a+b)(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ a=10, b=0.5.

9.5*10.5

= 10²- (0.5)²

= 100-0.25  = 99.75

• ಸಮಸ್ಯೆ 9:ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: (x+2)(x-2)( x²+4)

ಪರಿಹಾರ:

(a+b)*(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸುವ.

(x+2)(x-2) = ( x²-4)

(x+2)(x-2)( x²+4)= ( x²-4) * ( x²+4)

= ( x⁴-16) ( x² ನ ವರ್ಗ x⁴)

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ b ಯನ್ನು b+c, c ಯನ್ನು a+b ಮತ್ತು d ಯನ್ನು c ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

ಈಗ ತ್ರಿಪದದೋಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ ನೋಡುವಾ:

(a+(b+c))*((a+b)+c))

= a(a+b) + ac+ (b+c)(a+b)+ (b+c)c

= (a.a+ab)+ac+(ba+ b.b+ca+cb)+(bc+ c.c)

= a²+ab+ac+ba+ b²+ca+cb+bc+ c²

= a² + b²+ c²+ab+ba+ac+ca+ cb+bc (ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಬರೆದಾಗ)

= a² + b²+ c²+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)² = a² + b²+ c²+2ab+2bc+2ca

• ಸಮಸ್ಯೆ10: 173² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

173 ನ್ನು (100+70+3) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

173² ನ್ನು (a+b+c)² ದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

a=100,b=70 and c=3

173²= 100²+70²+3²+ 2*100*70 +2*70*3+2*3*100

= 10000+4900+9+14000+420+600

=  29929

• ಸಮಸ್ಯೆ11:ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ (x² + y²- z²)² -(x² - y²-+z²)²

ಪರಿಹಾರ:

(x² + y²- z²)² ಇದು (a+b+c)² ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a = x² , b = y² and c = - z²

= (x² + y²- z²)² = (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²)

ಇದೇ ರೀತಿ,

(x² - y²+z²)² = (x⁴ + y⁴+z⁴ - 2 x² y² - 2 y² z²+2 z² x²)

(x² + y²- z²)² -(x² - y²-+z²)²

= (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²) -(x⁴ + y⁴+z⁴ - 2 x² y² - 2 y² z²+2 z² x²)

= (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²) -x⁴ - y⁴-z⁴ +2 x² y² + 2 y² z²-2 z² x²

= 4x² y² -4 z² x²

=4x² (y² -z²)

(a+b)³ ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

(a+b)³

= (a+b)*(a+b)*(a+b)

= (a+b)*( a²+ 2ab+b²) ( (a+b)²= a²+ 2ab+b²)

= a*( a²+ 2ab+b²)+b*( a²+ 2ab+b²) (ಮೊದಲನೆ ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= a³+ 3a²b+ 3ab²+b³ (ಸಜಾತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ)

= a³+ 3ab(a+b)+b³ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ)

ವಿ. ಸೂ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರನು ಲೀಲಾವತಿಯ 27 ನೇ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ: (a-b)³= a³-3ab(a-b)-b³ - ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

• ಸಮಸ್ಯೆ 12: 51³ ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

51  = 50+1.( ಇದು (a+b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.)

51³ = 50³+ 3*50*1(50+1)+1³ [(a+b)³ = a³+ 3ab(a+b)+b³]

= 125000+7650+1

=132651

• ಸಮಸ್ಯೆ 13: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ: (x+1/x)³

ಪರಿಹಾರ:

(x+1/x)³ ಇದು (a+b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x+1/x)³

= x³+ 3x*1/x(x+1/x)+(1/x)³

= x³+ 3(x+1/x)+(1/x³)

= x³+ 3x+3/x+1/x³

• 2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ14 : (9.9)³ – ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

9.9 = (10-0.1)

= 9.9³ ಇದು (a-b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=10 , b=0.1.

(9.9)³= 10³-3*10*0.1*(10-0.1)-(0.1)³

= 1000-3*9.9- 0.001

= 1000-29.7-.001

= 970.299

• ಸಮಸ್ಯೆ15: ವಿಸ್ತರಿಸಿ:  (x/2-y/3)³

ಪರಿಹಾರ:

(x/2-y/3)³ ಇದು (a-b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x/2-y/3)³

= (x/2)³- 3(x/2)*(y/3)(x/2-y/3)-(y/3)³

= x³/8 – (xy/2)*(x/2-y/3)-y³/27 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= x³/8 – x²y/4 +xy²/6-y³/27

• ಸಮಸ್ಯೆ 16: (a+b) (a²+b²-ab) = a³+b³ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(a+b) (a²+b²-ab)

= a(a²+b²-ab) +b(a²+b²-ab)

= a*a²+a*b²-a*ab + b*a²+b*b²-b*ab

=a³+ab²-a²b + ba²+b³-ab² (ಸಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಿದಾಗ)

=a³+b³

• 2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 17: a+b+c = 12 , a²+b²+ c² =50 ಆದರೆ ab+bc+ca ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(a+b+c)² = (a²+b²+ c²)+2ab+2bc+2ca

ಮೇಲಿನ ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

12²= 50+2(ab+bc+ca)

144-50 = 2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca = 47

• ಸಮಸ್ಯೆ 18: x³+y³+ z³ = 3xyz ಮತ್ತು x+y+z=0 ಆದರೆ,

(x+y)²/xy +(y+z)²/yz+(z+x)²/zx ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ x+y+z=0

ಆದ್ದರಿಂದ x+y = -z, y+z = -x and z+x = -y

(x+y)²/xy +(y+z)²/yz+(z+x)²/zx

= z²/xy+x²/yz+y²/zx

= z³/xyz+x³/xyz+y³/zxy (xyz ನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ)

= (x³+y³+ z³)/xyz

= 3xyz/xyz

=3

ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಸೂತ್ರ	ವಿಸ್ತರಣೆ
1	(a+b)(c+d)	ac+ad+bc+bd
2	(x+a)*(x+b)	x2+x(a+b)+ab
3	(a+b)2	a2+b2+2ab
4	(a-b)2	a2+b2-2ab
5	(a+b)(a-b)	a2-b2
6	(a+b+c)2	a2+b2+ c2+2ab+2bc+2ca
7	(a+b)3	a3+b3+3ab(a+b)
8	(a-b)3	a3-b3-3ab(a-b)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ(HCF(GCD) and LCM of Algebraic terms):

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಎಂದರೇನೆಂದು ನಮಗೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16. - ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 2 ಮತ್ತು 4  ಇವೆರಡು ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದ್ದು 4 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. 4, 8, 20, 16- ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4.

ಮ.ಸಾ.ಅ ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 30/48 ನ್ನು ನೋಡುವಾ.

30 ಮತ್ತು 48 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ 6.

30/48 =  (6*5)/(6*8) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದಾಗ

= 5/8

ಲ.ಸಾ.ಅ ಎಂದರೇನು? ಅದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ (ಅಪವರ್ತ್ಯ) ಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16 ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು  =80, 160, 320 … ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು = 80 .

ಇದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲ.ಸ.ಅ.

ಲ.ಸಾ.ಅ ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

ಈಗ  1/4, 1/8, 1/20 ನ್ನ ಕೂಡಿಸುವಾ.

4,8,20 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ = 40

1/4 = 10/40

1/8 = 5/40

1/20 = 2/40

1/4+1/8+1/20 = 10/40+5/40+2/40 = (10+5+2)/40 = 17/40

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೂಡಾ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮವನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾ

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.
2	ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
4	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
5	ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಸಿಗುವವರೆಗೂ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ.

ಉದಾ: 16,24,20 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

4, 6, 5

4, 6, 5 ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

16,24,20 ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = (2*2)  = 4

ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.
2	ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
4	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನ ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
5	ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವಾಗ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಲ.ಸಾ.ಅ.

ಉದಾ: 16,24,20 ಇವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

2 |  4,6,5

|  2,3,5

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ (2*2*2)*(2*3*5) = 240

ಗಮನಿಸಿ : ಯಾವುದೇ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ * ಲ.ಸಾ.ಅ = ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ..

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದಗಳಿಗೂ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 2 ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಅಥವಾ ಲ.ಸಾ.ಅ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಲ.ಸಾ.ಅ ಅಥವಾ ಮ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ನಾವುಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 16a⁴b³x³, 24b²m³n⁴y, 20a²b³nx³ ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ (16,24,20) ಮ.ಸಾ.ಅ = 4

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗ :  a⁴b³x³, b²m³n⁴y, a²b³nx³ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

4b | 16a⁴b³x³, 24b²m³n⁴y, 20a²b³nx³ (ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ 4b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 4b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

b  | 4a⁴b²x³, 6bm³n⁴y, 5a²b²nx³ (b ಯು  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

|4a⁴bx³, 6m³n⁴y, 5a²bnx³

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ದತ್ತ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 4b*b= 4b²

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಮ.ಸಾ.ಅ ಸಹಾಯಕ

ಉದಾ: 16a⁴b³x³+24b²m³n⁴y- 20a²b³nx³

16a⁴b³x³+24b²m³n⁴y- 20a²b³nx³

=4b²(4a⁴bx³+6m³n⁴y- 5a²bnx³)

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ – ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1)      ಮ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 2

ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಭಾಜಕ = x

2x | 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ (2x  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ )

x | 3xy³, 4x²y², 6x³y³, 5x²y⁴

y |3y³,   4xy²,   6x²y³, 5xy⁴

y |3y²,   4xy,    6x²y², 5xy³

3y,   4x,     6x²y,   5xy²

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ದತ್ತ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 2x*x*y*y = 2x²y²

ಮ.ಸ.ಅ ದ ಉಪಯೋಗ

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: 6x²y³+8x³y²-12x⁴y³+10x³y⁴

6x²y³+8x³y²-12x⁴y³+10x³y⁴

= 2x²y²(3y+4x-6x²y+5xy²)

ಲ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

2x | 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ (2x ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

x | 3xy³, 4x²y², 6x³y³, 5x²y⁴

y |3y³,   4xy²,   6x²y³, 5xy⁴

y |3y²,   4xy,    6x²y², 5xy³

Y |3y,     4x,    6x²y , 5xy²

x | 3,      4x     6x²,     5xy

2 | 3,      4      6x       5y

3 | 3,      2      3x       5y

| 1,     2 x 5y

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ದತ್ತ ಪದಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ =( 2x*x*y*Y)*(Y*x*2*3*2*x*5y) =2x²y²* 60x²y² = 120x⁴y⁴

ಲ. ಸ.ಅ ದ ಉಪಯೋಗ:

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ:: (1/6x²y³)+(1/8x³y²)-(1/12x⁴y³ )+(1/10x³y⁴)  

ಗಮನಿಸಿ:

(1/6x²y³)  = (20x²y/120x⁴y⁴)

(1/8x³y²)  = (15xy²/120x⁴y⁴)

(1/12x⁴y³) = (10y/120x⁴y⁴)

(1/10x³y⁴) = (12x/120x⁴y⁴)

(1/6x²y³)+(1/8x³y²)-(1/12x⁴y³ )+(1/10x³y⁴)

= (20x²y+15xy²-10y+12x)÷(120x⁴y⁴)

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ