ಬೀಜಗಣಿತ-1

ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಬಹಳ ಅಗತ್ಯ. 5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)  ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?    a=1, -1 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಇದುಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ a ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗೆ ಇದು ಸರಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ( ಸಮಸ್ಯೆ 6 ನ್ನು ನೋಡಿ) ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳ (ಅಪವರ್ತನಗಳ)ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿಬರೆಯುವ  ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಎನ್ನುವರು.ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ. ಸಾ. ಅ ವನ್ನು ಹೊರಗೆ ತೆಗೆದು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಉದಾ:

4x²y, 8x³ ಮತ್ತು 12xy  ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4x

4x²y+8x³+12xy = 4x (xy+2x²+3y)

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು ಉದಾ:  4x²+5y (ಏಕೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ)

x²+mx +c  ರೂಪದ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾ: x²+x(a+b)+ab - ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

x²+x(a+b)+ab

= (x²+xa)+(xb+ab) ( ಪದಗಳ ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ)

= x(x+a)+b(x+a) ( x² ಮತ್ತು xa ನ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ x, ಮತ್ತು xb ಮತ್ತು ab ನ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ b )

= (x+a)(x+b)

ಆದ್ದರಿಂದ  x+a ಮತ್ತು x+b ಗಳು x²+x(a+b)+ab ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಅರ್ಥಾತ್ x²+x(a+b)+ab ಯನ್ನು x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಉದಾ:

x²+5x+6

=x²+3x+2x+6

=x(x+3)+2(x+3)

=(x+3)*(x+2)

x+3 ಮತ್ತು x+2 ಇವುಗಳು x²+5x+6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಇವು x+a ಮತ್ತು x+b ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಈ x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಹೇಗಿವೆ?

a+b= 5 , ab=6 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ, a=3 ಮತ್ತು  b=2 ಬೆಲೆಗಳು a+b=5 ಮತ್ತು ab=6 ಎಂಬ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದಲೇ 5x ನ್ನು 3x+2x ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಿದ್ದು.

ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 5x ನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂಥ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ತಿಳಿಯುವಾ

x²+5x+6 ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು x²+mx +c  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ m = 5 and c=6.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಅಪವರ್ತಿಸಿ x²+27x+176

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು a+b=27 ab=176 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2, 88), (4, 44), (8, 22), (16, 11).

176 ರ ಋಣ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಧನಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ (16, 11)  ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a= 16 ಮತ್ತು b=11

x²+27x+176 = x²+16x+11x+ 176

=x(x+16) +11(x+16)

=(x+16) (x+11)

x²+27x+176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (x+16) ಮತ್ತು (x+11)

ತಾಳೆ:

(x+16)(x+11) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=16 , b=11

(x+16)*(x+11) = x²+ x(16+11)+ 16*11

= x²+27x+176  ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಅಪವರ್ತಿಸಿ  x²-6x-135

ಪರಿಹಾರ:

a+b= -6 , ab= -135  ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3,-45), (-3, +45), (5,-27), (-5, +27), (9,-15), (-9, +15)

ಈ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ, 9-15 = -6 , 9*-15 = -135. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= 9 , b= -15

x²-15x+9x -135

=x(x-15)+9(x-15)

=(x-15)(x+9)

x²-6x-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು:

(x-15) ಮತ್ತು (x+9)

ತಾಳೆ:

(x-15)(x+9) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=-15, b=9

(x-15)*(x+9) = x²+ x(-15+9)+ (-15*9)= x²-6x-135 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಅಪವರ್ತಿಸಿ, m²+4m-96

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ a+b= 4 ,ab= -96 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(-96) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2,-48), (-2, 48), (3,-32), (-3, +32), (4,-24), (-4, +24), (6,-16), (-6,16), (8,-12), (-8,12)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ - 8+12 = 4 , -8*12 = -96. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= -8 , b=12

m²-8m+12m -96

=m(m-8)+12(m-8)

=(m-8)(m+12)

m²+4m-96 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (m-8) ಮತ್ತು  (m+12)

ತಾಳೆ:

(m-8)(m+12) ಇದು (m+a)*(m+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದು

a=-8, b=12

(m-8)*(m+12) = m²+ m(-8+12)+ -8*12

= m²+4m-96 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಈಗ, px²+mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.ಇಲ್ಲಿ x², ದ ಸಹಗುಣಕ 1 ರ ಬದಲಾಗಿ p.

ನಾವಿಲ್ಲಿ a+b=m ಮತ್ತು ab=pc ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು : ಅಪವರ್ತಿಸಿ 24x²-65x+21

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು a+b= -65 ಮತ್ತು ab= 24*21 =504 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(24*21) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು:(2,252), (-2,-252), (3, 138 ), (-3,-138), (4,126), (-4,-126),  (6,83),

(-6,-83), (8,63), (-8,-63), (9,56), (-9,-56), (12,42), (-12,-42)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, (-9-56) = -65 , -9*(-56)  = 504=24*21 ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= -9 , b= -56

24x²-65x+21

=24x²-9x -56x+21 ( -65x ನ್ನು  -9x-56x ಎಂದು ಬರೆದಿದೆ.)

=3x(8x-3) -7(8x-3) {(24x² ಮತ್ತು , 9x. ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 3x

-56x ಮತ್ತು  21 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ -7)}

= (8x-3)(3x-7) ( 8x-3 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

24x²-65x+21 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (8x-3) ಮತ್ತು (3x-7 )

ತಾಳೆ:

(8x-3)(3x-7)

=8x(3x-7)-3(3x-7) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=24x²-56x -9x+21 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

=24x²-65x+21 – ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 6p²+11pq -10q²

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ, a+b= 11 , ab= 6*(-10) =-60 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

-60 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು: (2,-30), (-2,30),(3, -20 ),(-3,20) (4,-15), (-4,15), (5,-12),(-5,12),(6,-10),

(-6,10)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ,- 4+15 = 11 , -4*15  = -60  a=15, b=-4. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

6p²+11pq -10q²

=6p²+15pq -4pq-10q²( 11pq = 15pq-4pq)

=3p(2p+5q) -2q(2p+5q)

=(2p+5q)(3p-2q)

6p²+11pq -10q² ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2p+5q ಮತ್ತು 3p-2q

ತಾಳೆ:

(2p+5q)(3p-2q)

=2p(3p-2q)+5q(3p-2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=6p²-4pq +15qp-10q² (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

= 6p²+11pq -10q² - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಅಪವರ್ತಿಸಿ,  5-(3a²-2a) (6-3a²+2a)

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ x =3a²-2a ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಆದ್ದರಿಂದ 5-x( 6-x) ವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

5-x( 6-x)

= 5 -6x + x²

= x² -6x +5 = x² -5x -x+5

= x(x-5)-1(x-5)

= (x-1)(x-5)

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a)

= (3a²-2a -1) (3a²-2a-5)

ಆದರೆ 3a²-2a -1 = 3a²-3a+a -1 = 3a(a-1)+1(a-1) = (3a+1)(a-1)

3a²-2a-5 = 3a²+3a -5a-5 = 3a(a-1)-5(a+1) = (3a-5)(a+1)

5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)

ತಾಳೆ:

• ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತೀ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿರಿ.
• a=2 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗೆ ಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ,(5 -8*-2) = 21 = (7*1*1*3)

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

• ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು? (ಅವು 80,82,84 ?  70,72,74 ?)
• ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 4 ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ. ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.(ಉದ್ದ 6, ಅಗಲ 2) ?   (ಉದ್ದ 7, ಅಗಲ 3 ? )
• ಒಬ್ಬ ಯಾತ್ರಿಕನು ತನ್ನ ಹಣದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಯಾಗದಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 2/9 ಭಾಗವನ್ನು ಕಾಶಿಯಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 1/4 ಭಾಗವನ್ನು ತೆರಿಗೆಗಳಿಗೂ, ಇನ್ನುಳಿದುದರ 6/10 ಭಾಗವನ್ನು ಗಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಖರ್ಚುಮಾಡಿದನಂತರ ಉಳಿದ 63 ನಿಷ್ಕಗಳನ್ನು(ಹಣದ ಅಳತೆ) ಮನೆಗೆ ತಂದರೆ, ಯಾತ್ರೆಗೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ಹೋದ ಹಣ ಎಷ್ಟು?(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 55)

ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಎರಡು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ‘ಸಮೀಕರಣ’ (Equations) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳ ರಾಶಿಯನ್ನು ‘ಚರಾಕ್ಷರ’ಗಳೆನ್ನುವರು.

ಉದಾ:   x+2 =5

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು (LHS) ಎಂತಲೂ ಬಲಭಾಗವನ್ನು (RHS) ಎಂತಲೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ:

6=6  ಇದು ಸರಿತಾನೆ?  ======è  (1)

ಇಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗ (LHS) ದಲ್ಲಿ 6 ಇದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲೂ 6 ಇದೆ. ಇವೆರಡೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

ಈಗ 2 ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸುವಾ.

ಎಡಭಾಗ (LHS) =6+2=8 , ಬಲಭಾಗ (RHS) = 6+2 =8

ಈಗಲೂ ಕೂಡಾ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (1) ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3 ನ್ನ ಕಳೆಯುವಾ.

ಎಡಭಾಗ = 6-3 =3 , ಬಲಭಾಗ = 6-3 =3

ಈಗಲೂ ಕೂಡಾ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳು ಸಮ.

ಈಗ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

ಎಡಭಾಗ = 6*6=36 , ಬಲಭಾಗ = 6*6 =36

ಈಗಲೂ ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ.

ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ = 6/3=2 , ಬಲಭಾಗ = 6/3=2

ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ.

ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಗಳು(ಸ್ವಯಂ ಸಿದ್ಧಗಳು) (Properties of Equality):(Axioms)

• ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕಳೆದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

LHS=RHS ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾದರೂ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ,ಫಲಿತಾಂಶವೂ LHS=RHS ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಏಕ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಲೀ, ಮೊದಲನೇ ಘಾತವಿರುವ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. (‘linear equation’)

ಉದಾ:   x+2 =5, 3*(a-5) =6, ½ x -4/5 = 3x+7.

ಆದರೆ x²-4 =0 ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ x ನ ಘಾತಾಂಕ 2)

ಉದಾಹರಣೆ1:

x-3 = 1 ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ x ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನ ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು: “xನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ- ಹೇಗೆಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ 3 ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ 1 ಆಗಬಹುದು.”

ಈಗ x-3 =1 ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ x ಗೆ ಬೇರೆಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವಾ.

1. x = 1 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 1-3 =-2

2. x = 2 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 2-3 =-1

3. x =5 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 5-3 =2

4. x =4 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಹೌದು 4-3=1.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ xನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯಬೇಕು.

ಆದರೆ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸುಲಭ ವಿಧಾನವಿದೆ.

ದತ್ತ ಹೇಳಿಕೆಯ ಎರಡೂಬದಿಗೆ  3ನ್ನೇ ಕೂಡಿಸುವಾ.

x-3+3= 1+3

x+0 = 4.

x= 4

ಇಲ್ಲಿ ನಾವೀಗ ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ(=3)ವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಕೂಡಿಸಲು 3ನ್ನೇ ಯಾಕೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ?

ನಮಗೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಬೇಡ. ಅದನ್ನು ತೆಗೆಯಲಿಕ್ಕಾಗಿ  -3 ನ್ನು ತೆಗೆಯಲು 3 ನ್ನ ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಯಿತು

ಉದಾಹರಣೆ 2: 6x+4 = 3x+10 ಆದರೆ x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ: 6x+4

ಬಲಭಾಗ: 3x+10

ಹಂತ 1:

3x ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.(ಯಾಕೆಂದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ತೆಗೆಯಬೇಕು.)

ಬಲಭಾಗ = 3x+10-3x= 10

ಎಡಭಾಗ= 6x+4-3x = 3x+4

2 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

ಹಂತ 2:

ಈಗ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ 4 ನ್ನ ತೆಗೆಯಬೇಕು.ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂಬದಿಗಳಿಂದ 4ನ್ನ ಕಳೆಯಿರಿ

ಎಡಭಾಗ= 3x+4-4=3x

ಬಲಭಾಗ = 10-4 = 6

2 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

ಹಂತ 3

ಎಡಭಾಗದ x ನ ಸಹಗುಣಕ 3ರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನ ಭಾಗಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 3x/3 =x

ಬಲಭಾಗ = 6/3 =2

4 ನೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.

x=2

ಈಗ ಮೊದಲೆರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಾವೇನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ?

ಮೊದಲು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3xನ್ನ ಕಳೆದು, ನಂತರ ಸ್ಧಿರಾಂಕ 4ನ್ನ ಕಳೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಇದರ ಅರ್ಥ: 3xನ್ನ ಮತ್ತು 4ರ ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ (-3x ಮತ್ತು-4) ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದ್ದು.

ಅಥವಾ 3x ನ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ.

ಅದೇರೀತಿ 4 ರ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವಾ:

ಹಂತ	ಹೇಳಿಕೆ	ವಿವರಣೆ
1	6x+4= 3x+10	ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ
2	6x+4-3x =10 i.e. 3x+4 =10	ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ 3x  ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಿದೆ..
3	3x= 10-4 i.e. 3x =16	4 ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಿದೆ.
4	x=2	ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ(ಎರಡೂ ಬದಿಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ)

 

ತಾಳೆ

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ x ನ ಬದಲಾಗಿ 2 ನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 6*2+4 = 16

ಬಲಭಾಗ= 3*2+10 =16

ಬಲಭಾಗ= ಎಡಭಾಗ.=16 ; x=2 ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಯಾವ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಎರಡೂ ಕಡೆ (ಎಡಭಾಗ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗ) ಸಮವಾಗುವುದೋ, ಆ ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ‘ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ (’‘solution’)ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನೇ ‘ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು’ ಎಂತಲೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ x =2 - ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ.ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x=1  ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ.ಏಕೆಂದರೆ 1ನ್ನು x ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ LHS = 10  ,RHS=13  ಆಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ LHS

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಿ (x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿ): 5*(2x-3) = 2*(3x-7)

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ಹೇಳಿಕೆ	ವಿವರಣೆ
1	5*(2x-3) = 2*(3x-7)	ಪರಿಹಾರ
2	10x -15 = 6x -14	ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ
3	10x -6x= -14+15	ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ.
4	4x = 1:i,e x = 1/4	6x ಮತ್ತು 15 ಇವುಗಳನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.

ತಾಳೆ

1/4 ನ್ನ x ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ.

ಎಡಭಾಗ= 5*(2*1/4 -3)  =  5*(1/2-3) = 5*(-5/2) = -25/2

ಬಲಭಾಗ= 2*(3*1/4-7)  = 2*(3/4-7) = 2*(-25/4)  = -25/2

ಎಡಭಾಗ= ಬಲಭಾಗ= -25/2,  x =1/4 ಇದು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ .

= 1/2

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗಮಾಡಿ.

(x-2)/(x+1) = 1/4

ಅಡ್ಡ ಗುಣಕಾರ ಮಾಡಿ.

4(x-2) = x+1

i.e. 4x – 8 = x+1 (ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ.)

i.e. 4x –x = 1+8  ( ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

i.e.  3x = 9

x=3

ತಾಳೆ:

xನ ಬೆಲೆ 3ನ್ನ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ. = 1/2

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 252. ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1 : ಮೊದಲ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ x ಆಗಿರಲಿ

ಹಂತ 2 : ಮುಂದಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು =  (x+2) ಮತ್ತು (x+4).

ಹಂತ 3 : x+(x+2)+(x+4) = 3x+6 = 252. (ದತ್ತ)

3x+6 = 252

3x = 252-6=246

x = 82

ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು     82(=x),

84(=x+2)

86(=x+4)

ತಾಳೆ:

82, 84, 86 ಈ ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ಮೊತ್ತ = 252

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ಹಡಗು ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಂದರಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಂದರಿಗೆ 9 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತಲಪುವುದು. ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣ ಮಾಡಲು 10 ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 1ಕಿ.ಮಿ. ಇದ್ದರೆ, ಎರಡು  ಬಂದರುಗಳಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1) ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ x ಕಿ.ಮೀ. ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ = (x+1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ = (x-1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ. ಪ್ರವಾಹದ ನೇರದಲ್ಲಿ 9 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ =9(x+1). ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ 10 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ = 10(x-1) 2) ಈ ಎರಡೂ ದೂರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ 9(x+1) = 10(x-1) 3) 9x+9 =10x-10 :9+10 =10x-9x(ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)  19=  x =19 ನ್ನು, 9(x+1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ. ಪ್ರವಾಹದ ನೇರದಲ್ಲಿ ಹಡಗು ಚಲಿಸಿದ ದೂರ =9(x+1) = 9*(19+1)=9*20 = 180 ಕಿ.ಮೀ. = 180 ಕಿ.ಮೀ.

ತಾಳೆ:

ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ= (ದೂರ/ಸಮಯ)- ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ= (180/9)-1   = (20-1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ=19 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ

ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹಡಗಿನ ವೇಗ= (ದೂರ/ಸಮಯ)+ ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ= (180/10) +1 = (18+1) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ=19 ಕಿ.ಮೀ./ಗಂ

ಈ ಮೇಲಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಿವೆ. ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯು ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕದ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ 27 ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ x ಆಗಿರಲಿ. ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯು ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆಯ 2 ರಷ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ =2x. ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 2 ಅಂಕಿಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಬೆಲೆ  =10*ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ+ ಏಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 10*2x+x. =20x+x = 21 x -------------è (1) ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ, ದಶಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ x ಬರುತ್ತದೆ, 2x ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಆಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಲೆ = 10* ದಶಕ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ + ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ. = 10*x+2x =10x+2x = 12 x    --------------è ತಿರುಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ. ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ, ಹೊಸ ತಿರುಗಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ = ಹಳೇ ಸಂಖ್ಯೆ – 27  10x+2x  = 20x+x-27   12x  = 21x-27 27 = 21x-12x(12x ಮತ್ತು 27ರ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಿಸಿದಾಗ) 27 =9x  x = 3. ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 3, ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ = 3*2 = 6 ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ = 63

 

ತಾಳೆ:

ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ = 63

ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆ = 36(36 = 63 -27.)

ಇದು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 4 ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ. ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಆಯತದ ಅಗಲ x ಆಗಿರಲಿ. ಉದ್ದ = x+4.

ಆಯತದ ಸುತ್ತಳತೆ P = 2* ಉದ್ದ + 2* ಅಗಲ

= 2(x+4)+2x

= 2x+8+2x

P = 4x +8        --------------è (1)

ಆದರೆ ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ, ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅಗಲಕ್ಕಿಂತ 11ಸೆಂ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚಿದೆ.

P =  x+11    --------------è (2)

ಹಂತ 2 :

ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ,

2x+8+2x = x+11

4x+8 = x+11

4x-x = 11-8(x ಮತ್ತು 8ರ ಸ್ಥಾನ ಬದಲಿಸಿದೆ.)

3x = 3

x = 1.

ಆಯತದ ಅಗಲ =11ಸೆಂ.ಮೀ., ಉದ್ದ = x+4 = 5 ಸೆಂ.ಮೀ.

ತಾಳೆ:

ಆಯತದ ಸುತ್ತಳತೆ P = 2* ಉದ್ದ + 2* ಅಗಲ

= 2*5+2*1

= 10+2

= 12 ಸೆಂ.ಮೀ

= 11 ಸೆಂ.ಮೀ +1 ಸೆಂ.ಮೀ

= 11 ಸೆಂ.ಮೀ + ಅಗಲ

ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶದ ಎರಡರಷ್ಟು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ 2 ಹೆಚ್ಚಿದೆ.3ನ್ನ ಅಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 2/3 ಆದರೆ, ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ  ಅಂಶವು x ಆಗಿರಲಿ.

ಅಂಶದ ಎರಡರಷ್ಟು = ಛೇದಕ್ಕಿಂತ 2 ಹೆಚ್ಚು.

2x = ಛೇದ +2.

ಛೇದ= 2x-2

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = x/2x-2

3 ನ್ನ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ , ಹೊಸ ಛೇದ = (2x-2) +3=2x+1

3 ನ್ನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಹೊಸ ಅಂಶ = x+3

ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = (x+3)/ (2x+1)

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 2/3

ಹಂತ 2 : 2/3 = (x+3)/(2x+1)  --------------è(1)

ಅಡ್ಡ ಗುಣಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ,

2*(2x+1) =3 (x+3)               --------------è(2)

4x+2 =3x+9 (3x ಮತ್ತು 2 ನ್ನ ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

4x-3x= 9-2

x= 7

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದ = 2x-2 =14-2=12

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 7/12

ತಾಳೆ:

ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 7/12

3ನ್ನ ಅಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ = 10/15 = 2/3 - ದತ್ತ

ಸಮಸ್ಯೆ 8: ದೊಡ್ಡಭಾಗವನ್ನು ಚಿಕ್ಕಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಭಾಗಲಬ್ಧ 2 ಮತ್ತು ಶೇಷ 5 ಆಗಿರುವಂತೆ, 32 ನ್ನ ಎರಡು ಭಾಗ ಮಾಡಿ..

ಪರಿಹಾರ:

ದೊಡ್ಡಭಾಗ = ಆಗಿರಲಿ ಚಿಕ್ಕಭಾಗ = 32-x ಭಾಜ್ಯ= ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ ± ಶೇಷ.. x/(32-x) = 2+ 5(±ಶೇಷ.)ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ.(5x+2 ಸೆಂ.ಮೀ., ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ.ಮೀ., ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ.ಮೀ.ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅಭ್ಯಾಸ: ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ(x =23 ,ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ = 9)

 

ಸಮಸ್ಯೆ 9: x²-9/( x²+5) =  -5/9  ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ x²-9/( x²+5) =  -5/9

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ 9(x²-9) = -5(x²+5)

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ 9x²-81 = -5x² -25

ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ 14x² = 56

x² = 4

x =  +2 ಅಥವಾ -2

ತಾಳೆ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x=2 ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, LHS = -5/9 = RHS, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆ 10: ದುಂಬಿಗಳ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ  1/5 ರ ಭಾಗ ಕದಂಬ ವೃಕ್ಷಕ್ಕೂ, 1/3 ನೇ ಭಾಗ ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೂ ಹೊರಟವು. ಅವೆರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂರರಷ್ಟು ಕುಟಜ ವೃಕ್ಷಕ್ಕೂ ಹೋದ ಮೇಲೆ ಉಳಿದ ಒಂದೇ ಒಂದು ದುಂಬಿಯು ಕೇತಕಮಾಲತೀ ಪುಷ್ಪದ ಸುಗಂಧದಿಂದ ಆಕರ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಹಾರಾಡುತ್ತಿತ್ತು. ಹಾಗಾದರೆ ಎಲೈ ಲೀಲಾವತಿ, ದುಂಬಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಎಷ್ಟು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 56)

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ.

ಹಂತ	ಎಲ್ಲಿಗೆ	ಎಷ್ಟು
1	ಕದಂಬಕ್ಕೆ	(x/5)
2	ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೆ	(x/3)
3	ಮೇಲಿನವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ	(x/3) – (x/5) = (2x/15)
4	ಕುಟಜಕ್ಕೆ	3*(2x/15)=(2x/15)
5	ಉಳಿದದ್ದು	1

 

x- {(x/5)+(x/3)+(2x/5) =1

{15x-(3x+5x+6x)/15} =1

x=15

ತಾಳೆ:

ಕದಂಬಕ್ಕೆ 3, ಶಿಲೀಂಧ್ರಕ್ಕೆ 5, ಕುಟಜಕ್ಕೆ 6 { =3*(5-3)} ಉಳಿದದ್ದು 1

ಸಮಸ್ಯೆ 11: ಒಬ್ಬ ಯಾತ್ರಿಕನು ತನ್ನ ಹಣದ ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಯಾಗದಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 2/9 ಭಾಗವನ್ನು ಕಾಶಿಯಲ್ಲಿಯೂ, ಉಳಿದುದರ 1/4 ಭಾಗವನ್ನು ತೆರಿಗೆಗಳಿಗೂ, ಇನ್ನುಳಿದುದರ 6/10 ಭಾಗವನ್ನು ಗಯೆಯಲ್ಲಿಯೂಖರ್ಚುಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉಳಿದ 63 ನಿಷ್ಕಗಳನ್ನು(ಹಣದ ಅಳತೆ) ಮನೆಗೆ ತಂದರೆ, ಯಾತ್ರೆಗೆ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ಹೋದ ಹಣ ಎಷ್ಟು?(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 55)

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ.

ಹಂತ	ಎಲ್ಲಿ/ಏತಕ್ಕೆ	ಎಷ್ಟು	ನಂತರ ಉಳಿದದ್ದು
1	ಪ್ರಯಾಗ	(x/2)	x-(x/2) = (x/2)
2	ಕಾಶಿ	(2/9)*(x/2)=(x/9)	(x/2)-(x/9) = (7x/18)
3	ತೆರಿಗೆ	(1/4)*(7x/18) =(7x/72)	(7x/18) - (7x/72)= (21x/72) =(7x/24)
4	ಗಯೆ	(6/10)*(7x/24)=(7x/40)	(7x/24)- (7x/40) ={(35x-21x)/120}=(7x/60)
5	ಉಳಿದದ್ದು	63

 

(7x/60) =63

x=540

ತಾಳೆ:

ನೀವೇ ಮಾಡಿ

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾ:

ಸಂ.	ಬೀಜೋಕ್ತಿ	ಅಪವರ್ತನಗಳು
1	(p-q)2- 3(p-q)	(p-q){(p-q)-3}
2	2x(a-4b)+3y(a-4b)	(a-4b)(2x+3y)
3	m2(pq+r)+mn(pq+r)+ n2(pq+r)	(pq+r) (m2+mn+ n2)

 

ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ  px²+mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು / ಸೂತ್ರಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು (Factorisation using identities/formulae):

ಪಾಠ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಸಮೀಕರಣ	ವಿಸ್ತರಣೆ	ಅಪವರ್ತನಗಳು
1	(a+b)2	a2+b2+2ab	(a+b) ಮತ್ತು (a+b)
2	(a-b)2	a2+b2-2ab	(a-b) ಮತ್ತು (a-b)
3	(a+b)(a-b)	a2-b2	(a+b) ಮತ್ತು (a-b)
4	(x+a)*(x+b)	x2+x(a+b)+ab	(x+a) ಮತ್ತು (x+b)

 

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ 9p²+12pq +4q²

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು 9p² +4q²+12pq. ಎಂದು ಬರೆಯುವಾ. ಇದು a²+b²+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a²= 9p² , b²=  4q² , 2ab=12pq

9p² = 3p*3p =(3p)²

4q² = 2q*2q= (2q)²

12pq = 2*3p*2q

a=3p and b=2q

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು a²+b²+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3p+2q) ಮತ್ತು (3p+2q)

ತಾಳೆ:

(3p+2q)(3p+2q)

=3p(3p+2q)+2q(3p+2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=9p²+6pq +6qp+4q² (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= 9p²+12pq +4q² - ಇದು ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ 36x²-60x +25 ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 36x² +25-60x. E°è a²= 36x², b²=  25=5² ಮತ್ತು -2ab=-60x

(6x)² +(5)² -2*6x*5

ಇದು a²+b²-2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=6x ,b=5.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a-b) ,(a-b).

= (6x-5) ಮತ್ತು (6x-5).

ತಾಳೆ:

(6x-5) (6x-5)

=6x(6x-5)-5(6x-5) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=36x²-30x -30x+25 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= 36x²-60x +25  - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: (x+2)²+18(x+2) +81.

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವಾ: (x+2)² +81+18(x+2).

ಇದು a²+b²+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a²= (x+2)² , b²= 81=9²

2ab=18(x+2)

a=(x+2),b=9    2ab = 2(x+2)*9 =18(x+2)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: a²+b²+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು:  (x+2+9) (x+2+9)

=(x+11) ಮತ್ತು (x+11)

ತಾಳೆ:

(x+11) ನ್ನ (x+11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: p⁴/16- q²/64

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a²-b² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a²= p⁴/16= (p²/4)² , b²= q²/64 = (q/8)²

a=p²/4 ,b=q/8.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a²-b² ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) ಮತ್ತು (a-b).

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p²/4+q/8) ಮತ್ತು (p²/4-q/8).

ತಾಳೆ:

(p²/4+q/8)(p²/4-q/8)

=p²/4(p²/4-q/8)+q/8(p²/4-q/8) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=(p²/4)²-p²q/32 +qp²/32 –(q/8)² (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= p⁴/16- q²/64  - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 8(x+1/x)²-18(x-1/x)²

ಪರಿಹಾರ:

8 ಮತ್ತು 18 ಇವೆರಡೂ ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ

ಆದರೆ 8 =2*4 , 18 =2*9.

4=2² 9=3³

8(x+1/x)²-18(x-1/x)² = 2{4(x+1/x)²-9(x-1/x)²}.

ಈಗ 4(x+1/x)²-9(x-1/x)² ಇದು a²-b² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a²= 4(x+1/x)² =(2(x+1/x))²

b²=(3(x-1/x))²

ಈಗ a=2(x+1/x) , b=3(x-1/x)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a²-b² ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) , (a-b)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2(x+1/x) + 3(x-1/x)) ಮತ್ತು (2(x+1/x) - 3(x-1/x))

ಇಲ್ಲಿ 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2 , (2(x+1/x) + 3(x-1/x))

(2(x+1/x) - 3(x-1/x))

ಅಭ್ಯಾಸ: ತಾಳೆ ನೋಡಿ: 2(2(x+1/x) + 3(x-1/x))(2(x+1/x) - 3(x-1/x))= 8(x+1/x)²-18(x-1/x)²

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x,y ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ

x² -y² =400

x-y= 8  ( x= y+8)   ------(1)

x² -y² = (x+y)*(x –y)  {a²-b² =(a+b)*(a-b)}

= 8(x+y)           ( x-y =8)

400 = 8(x+y)          ( x² -y² =400)

(x+y) = 50             ( 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

y+8+y =50            (  (1) ರಂತೆ)

2y = 42                (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ)

y =21

x=  29                  (  (1) ರಂತೆ)

ಅಭ್ಯಾಸ:

29-21 =8

29²-21² = ??

ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

 

(x+a)*(x+b) = x²+x(a+b)+ab  - ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳು: (x+a)*(x+b)*(x+c) ಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

(x+a)*(x+b)*(x+c)

= {(x+a)*(x+b)}*(x+c)

= {x²+x(a+b)+ab}*(x+c)

= x²(x+c)+x(a+b)*(x+c) + ab(x+c)    ({x²+x(a+b)+ab} ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.)

= x³+ x²c + x(a+b)*x+x(a+b)*c + abx+abc  ( x(a+b) ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.))

= x³+ x²c + x²(a+b)+x(a+b)*c + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= x³+ x²(c+a+b)+xac+xbc + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿ,ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x³+ x²(a+b+c)+x(ac+bc+ ab)+abc ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x³+ (a+b+c) x²+(ab+bc+ca)x+abc ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b=a , c=a ಹಾಕುವಾ.

ಆಗ, (x+a)(x+a)(x+a) = x³+ (a+a+a) x²+(a*a+a*a+a*a)x+a*a*a

= x³+ 3ax²+3a²x+ a³

= x³+ 3ax(x+a)+ a³

ಈಗ x ನ್ನa ಯಿಂದಲೂ, a ಯನ್ನು b ಯಿಂದಲೂ (a+b)³ = a³+ 3ab(a+b)+ b³

‘b’ ಇರುವಲ್ಲಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ,

(a-b)³ = a³+ 3a*-b(a-b)+ (-b)³

= a³-3ab(a-b)-b³

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 1.05*0.97*.98 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

1.05 = 1+.05, 0.97 = 1-0.03 , 0.98 = 1-0.02.

x=1 and a=.05, b=-0.03 ಮತ್ತು c= -0.02

ದತ್ತಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

(x+a)(x+b)(x+c) = x³+ (a+b+c) x²+(ab+bc+ca)x+abc

1.05*0.97*.98

= 1³+ (0.05-0.03-0.02) 1² +((0.05*-0.03) (–0.03* -0.02)(-0.02*0.05))1+ 0.05*-0.03*-0.02

= 1+ 0 1²+(-0.0015+0.0006-0.0010)1+ 0.000030

= 1- 0.0019+0.00003 =0.998130

ತಾಳೆ:

ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ: 1.05*0.97*0.98 = 0.998130.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ.(5x+2 ಸೆಂ.ಮೀ., ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ.ಮೀ., ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ.ಮೀ.ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ. ದತ್ತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ =(5x+2)(5x-1)(5x+3) ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=5x , a=2, b=-1 , c=3 ಸೂತ್ರ: (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc = (5x)3+ (2-1+3) (5x)2+(-2-3+6)(5x)+ 2*-1*3,  = 125x3+ 100x2+5x-6

ತಾಳೆ:

xಗೆ ಒಂದು ಬೆಲೆ (=2) ಕೊಡುವಾ

ಆಗ,

1.      5x+2=5*2+2=12

2.      5x-1 =5*2-1=9

3.      5x+3 =5*2+3= 13

125x³+ 100x²+5x- 6 = 125*8+100*4+5*2-6

= 1000+400+10-6=1404

(5x+2)(5x-1)(5x+3)

=12*9*13 = 1404

ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ* ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

=12*9*13

= 1404 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.

ಇದರಿಂದ (x+a)(x+b)(x+c)= x³+ (a+b+c) x²+(ab+bc+ca)x+abc ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು,ಹಾಗೂ

1. (a+b+c) x² x² ನ ಸಹಗುಣಕ (a+b+c)

2. (ab+bc+ca)x ರಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca) ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: (3x-1)(3x-1)(3x+4) ರಲ್ಲಿ x² ಮತ್ತು x ನ ಸಹಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಗುಣಲಬ್ಧವು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=3x , a=-1, b=-1 , c=4

ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸೂತ್ರ:: (x+a)(x+b)(x+c)= x³+ (a+b+c) x²+(ab+bc+ca)x+abc

= (3x)³+(a+b+c)(3x)² + (ab+bc+ca)(3x)+abc (x=3x ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)

1.(a+b+c)(3x)² ನಲ್ಲಿ x² ನ ಸಹಗುಣಕ: (a+b+c)*9. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

(a+b+c)*9

= (-1-1+4)*9

= 18

2.  (ab+bc+ca)(3x) ನಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca)*3. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

(ab+bc+ca)*3

= (1-4-4)*3

= -21

ತಾಳೆ:

(3x-1)(3x-1)(3x+4) ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಿ.

ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರ:

(a+b)³ = a³+ 3ab(a+b)+ b³

(a+b)³ -3ab(a+b) = a³+ b³(ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

i,e a³+ b³

=(a+b)³ -3ab(a+b)

= (a+b){ (a+b)² -3ab}

= (a+b) { a² +b² +2ab -3ab}((a+b)² ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= (a+b) (a² +b² -ab)

‘b’ ಗೆ ಬದಲಾಗಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

a³+ (-b)³ = (a+-b) (a² +(-b)² -a*(-b))

= (a-b) (a² +b² +ab)

ಆದರೆ, a³+ (-b)³= a³-b³

a³-b³= (a-b) (a² +b² +ab)

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 0.027 p³+0.008 q³

ಪರಿಹಾರ:

0.3*0.3*0.3=0.027 , 0.2*0.2*0.2=0.008

a³+b³=(a+b) (a²+b²-ab)  ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ

a=0.3p , b= 0.2q

0.027 p³+0.008 q³

= (0.3p+0.2q) ((0.3p)² +(0.2q)² -0.3p*0.2q)

= (0.3p+0.2q) (0.09p² +0.04q² -0.06pq)

ತಾಳೆ:

(p ಮತ್ತು q ಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

p=1 , q=1, ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ, (0.3p+0.2q) (0.09p² +0.04q² -0.06pq)

= 0.5*(0.09+0.04-0.06) = 0.5*0.07 = 0.035

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 0.027 p³+0.008 q³

=0.027+0.008 =0.035

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 125 -1/ a³b³

ಪರಿಹಾರ:

125 = 5³ , 1/ a³b³=(1/ ab)³

a³-b³ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ a=5 , b= 1/ab

a³-b³=(a-b) (a² +b² +ab) ಉಪಯೋಗಿಸಿ,a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

125 -1/ a³b³

= (5 -1/ab) (5² +(1/ab)² +5*1/ab)

= (5 -1/ab) (25 +1/a² b² +5/ab)

ತಾಳೆ:

(a ಮತ್ತು bಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

a=1 ,b=2, ಆಗಿರಲಿ.

(5 -1/ab) (25 +1/a² b² +5/ab)

=(5-1/2)(25+1/4+5/2) =124.875(ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 125 -1/ a³b³

= 125-1/8= 124.875 (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಸೂತ್ರ	ವಿಸ್ತರಣೆ	ಅಪವರ್ತನಗಳು
1	(a+b)2	a2+b2+2ab	(a+b) ಮತ್ತು (a+b)
2	(a-b)2	a2+b2-2ab	(a-b ಮತ್ತು (a-b)
3	(a+b)(a-b)	a2-b2	(a+b) ಮತ್ತು (a-b)
4	(x+a)*(x+b)	x2+x(a+b)+ab	(x+a) ಮತ್ತು (x+b)
5	(x+a)(x+b)(x+c)	x3+ (a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc	(x+a),(x+b) ಮತ್ತು (x+c)
6	(a+b)3	a3+b3+3ab(a+b)	(a+b),(a+b) ಮತ್ತು (a+b)
7	(a-b)3	a3-b3-3ab(a-b)	(a-b),(a-b) ಮತ್ತು (a-b)
8	a3+b3	(a+b) (a2 +b2 -ab)	(a+b) ಮತ್ತು (a2 +b2 -ab)
9	a3-b3	(a-b) (a2 +b2 +ab)	(a-b) ಮತ್ತು (a2 +b2 +ab)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ & ಲ.ಸಾ.ಅ

ಯಾವುದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

ಸಮಸ್ಯೆ 1: (p+3)³, 2p³+54+18p(p+3), (p²+6p+9) ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಿರಿ.

1. (p+3)³ – ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3),(p+3) ಮತ್ತು (p+3)

2. ಈಗ 2ನೇ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.

2p³+54+18p(p+3)

= 2(p³+27)+18p(p+3)

= 2*(p+3)( p²+9-3p)+18p(p+3),  [(p³+27) ಇದು a³+b³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, a³+b³ =(a+b) (a² +b² -ab)]

=(p+3)*((2*(p²+9-3p))+18p)

= (p+3) *2*( p²+9-3p+9p)

=2(p+3)( p²+9+6p) [  (p²+9+6p ಇದು ( a²+ b²+2ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, ( a²+ b²+2ab)= (a+b)² ]

= 2(p+3)(p+3)²

2p³+54+18p(p+3) ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2, (p+3),(p+3),(p+3)

3. (p²+6p+9) =(p+3)² -- (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದೆ.)

(p²+6p+9) ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3)²

ಹಂತ 2: ಈಗ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ನೋಡಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ( p+3)ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ( p+3)ನಿಂದಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3),  2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3),            2(p+3)(p+3),          (p+3)

(p+3),                     2(p+3)                            1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)= (p+3)²

ಮತ್ತು

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3),  2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3),            2(p+3)(p+3),          (p+3)

(p+3) | (p+3),                     2(p+3)                            1

1,                          2,                                    1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿಯಿತು.

ಲ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3)³

ತಾಳೆ:

p=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)² = (2+3)² =25

ಲ.ಸಾ.ಅ = 2(p+3)³= 2(2+3)³= 2*125=250

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು: (p+3)³ , 2p3+54+18p(p+3), (p²+6p+9)

(2+3)³, (2*2³+54+18*2(2+3)), (2²+6*2+9)

= {125, 250,25}

ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =25 , ಲ.ಸಾ.ಅ =250 ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2: 10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²),  20(x³- y³), 5(-3x +3y) ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

1.      ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 10(x²-y²) ಇದರಲ್ಲಿ (x²-y²) ವು (a²-b²) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು:  (a+b) (a-b):

10(x²-y²)=10(x+y)(x-y)

2.      ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 15(x²-2xy+y²)

ಇದರಲ್ಲಿ (x²-2xy+y²) ವು (a²-2ab+b²)  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a-b) ಮತ್ತು (a-b)

15(x²-2xy+y²)= 15(x-y) (x-y)

3. ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 20, (x³-y³): 20, (x-y), (x² +y² +xy)

4. ನಾಲ್ಕನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)

ಹಂತ 2: ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5 ಮತ್ತು (x-y) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವೆರಡರಿಂದ ಜೊತೆಯಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.

5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2(x+y),             3(x-y),             4(x² +y² +xy),        -3

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ.

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y)

ಈಗ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪುನ:    5(x-y) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

5(x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2|  2(x+y),             3(x-y),             4(x² +y² +xy),        -3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ಇರುವರೆಗೂ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.)

3|   (x+y),              3(x-y),             2(x² +y² +xy),       -3

(x+y),                (x-y),             2(x² +y² +xy)         -1

ಲ.ಸಾ.ಅ =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x² +y² +xy)

= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x² +y² +xy)     ( (x-y)(x² +y² +xy) ವು (a-b)( (a² +b² +ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು a=x and b= y)

= 60*(x²-y²)* (x³-y³)

ತಾಳೆ:

x=3 , y=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5

ಲ.ಸಾ.ಅ = 60*(x²- y²)* (x³-y³)

= 60*(9-4)*)(27-8)

=60*5*19=5700

ಈಗ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು:

10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²) 20(x³- y³),5(-3x +3y)

10(3²-2²), 15(3²-2*3*2+2²), 20(3³- 2³),5(-3*3 +3*2)

= {50, 15, 380, -15}

ಈ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =5

ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಾ.

5 | 50,15,380,-15

2 | 10,3,76,-3

3 | 5,3,38,-3

|  5,1,38,-1

ಲ.ಸಾ.ಅ = 5*2*3*5*38=5700 ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಯಾವ a ಮತ್ತು b  ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x+a), q(x) = (x²+7x+12) (x²+7x+b)

(x+1)(x+3) ಅವುಗಳ  ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

(x²+3x+2) = (x+1)(x+2)

(x²+7x+12) = (x+4)(x+3)

p(x) = (x+1)(x+2)(x²+2x+a)

q(x) = (x+4)(x+3) (x²+7x+b)

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) p(x), ನ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x²+2x+a) ರ ಅಪವರ್ತನ  (x+3) ಇರಲೇ ಬೇಕು

I.e.  x=-3 ಎಂದು  ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ  (x²+2x+a) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-3)²+2(-3)+a =0

I.e. 9-6+a =0

a =-3

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ q(x), ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x²+7x+b) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+1)

I.e. x=-1 ಎಂದು  ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x²+7x+b) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-1)²+7(-1)+b =0

I.e. 1-7+b =0

b =6

ತಾಳೆ:

a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು p(x) ಮತ್ತು q(x) ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x-3) = (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) {  (x²+2x-3) = (x+3)(x-1)}

q(x) =(x²+7x+12) (x²+7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1) (x+6) {  (x²+7x+6)= (x+1)(x+6)}

p(x) ಮತ್ತು q(x) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ p(x) ) ) ಮತ್ತು q(x) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (x+1) (x+3) ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m³ ನ್ನು 4 m² n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: 12m³ n⁵ / 4 m² n =  (12/4)* (m³ n⁵ /m² n)

ಹಂತ 2: 12/4 =   3,

ಹಂತ 3:

m³ n⁵/ m² n = m^3-2 n^{5-1 =} m n⁴

12m³ n⁵ /4 m² n = 3 m n⁴

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = 4 m² n*3 m n⁴ +0 =12 m²⁺¹ n¹⁺⁴ =12m³ n⁵ - ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 57x²y²z² ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1 :

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz

ಹಂತ 2:

57/19 =3

ಹಂತ 3:

x²y²z²/xyz = x^2-1y^2-1z^2-1 = xyz

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz  =3xyz

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0=   57x¹⁺¹y¹⁺¹z¹⁺¹+0=57x²y²z² - ಭಾಜ್ಯ

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

3  ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.

ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.

2.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Monomial):

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 402³m²n²-603²m²n -804²m³ ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-201²m²) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

402³= (2x201)³= (2)³x(201)³, 603² = (3x201)² = (3)²x(201)², 804² = (4x201)² = (4)²x(201)²

[402³m²n²-603²m²n -804²m³ n⁴]/(-201²m²)

=[(2)³*(201)³ m²n²-(3)²*(201)² m²n -(4)²*(201)²m³ n⁴]/(-201²m²)

= -[ (2)³*(201) n²-(3)²* n -(4)²*m¹ n⁴] = - (8*201* n²-9n -16mn⁴)

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (-201²m²)*[-(8*201* n²+9n +16mn⁴)]+0

= +(201²m²)*(8*201* n² -201²m²*9n -201²m²*16mn⁴) +0

= 8*201³m² n² -9*201²m²⁺²n-16*201²m²⁺¹n⁴)

= 2³* 201³m² n² - 3² *201²m⁴n-4²*201² m³ n⁴

= (2*201)³m²n²-(3*201)² m²n –(4*201)² m³ n⁴

= 402³ m²n² - 603² m²n - 804² m³ n⁴

= ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 2a⁴ b³+ 8a² b² ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(2a⁴ b³+ 8a² b²)/2ab = (2a⁴ b³/2ab) + (8a² b² / 2ab) = a³ b² +4a b

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = 2ab*(a³ b² +4a b) +0= 2a⁴ b³+ 8a² b² = ಭಾಜ್ಯ

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು

1.      ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

2.      ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).

ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು

1:ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x³-6x (ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಾತ ಸೂಚಿಯ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
2	ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ ‘0’ ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ x3 -6x+7  ನ್ನು (x3 +0x2-6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
3	ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( x3/x = x2). ಆದ್ದರಿಂದ x2 ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
4	ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (=x3+ x2)
5	ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x3 +0x2 ) – (x3+ x2) =  - x2
6	ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(=-6x) ಹಂತ 5ರ ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ -x2 – 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ.
7	ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ
8	ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (x+1)* (x²-x-5)+12

= x*(x²-x-5) +1*(x²-x-5)+12

= (x³-x²-5x)+ (x²-x-5)+12 = x³-x²+ x²-5x-x -5+12

= x³-0x²-6x +7

= x³-6x +7 – ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2: x⁵ -9x² +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ನ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

xಭಾಜ್ಯ: x⁵ +0x⁴ +0x³-9x² +12x-14.

ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.

- | x⁵ -3x⁴

- |3x⁴ +0x³

- |3x⁴ -9x³

- |9x³ -9x²

- |9x³ -27x²

- |18x²+12x

- |18x² -54x

-|66x-14

-|66x-198

184

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ,

ಭಾಜಕ =x⁵ -9x² +12x-14 = 2⁵ -9*2² +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

ಭಾಜಕ = x-3 =2-3 = -1

ಭಾಗಲಬ್ಧ = 

= 2⁴ +3*2³ +9*2²+18*2+66

= 16+24+36+66=178

ಈಗ,

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = 178*-1+184

= -178+184

= 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 3: (6p³ -19p² -8p) ಯನ್ನು (p² -4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

6p+5

p² -4p+2

( -) |6p³ -24p² +12p --à ---- (1)      {= 6p*(p² -4p+2)}

(=) |+5 p² -20p --à -----(2)     {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}

( -) | 5p² - 20p+10 --à -----(3)      {= 5*(p² -4p+2)}

(=) -10           --à  ಶೇಷ         {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ = (6p+5)* (p² -4p+2)

= 6p* p² +6p*-4p+6p*2+5* p²+5*-4p+5*2

= 6p³ -24p²+12p+5p²-20p+10

= 6p³ -19p²-8p+10

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p³ -19p²-8p+10)-10

= 6p³ -19p²-8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 4: a⁵ +b⁵ ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

a+b

(-)  |a⁵+ a⁴b

(=) - a⁴b+0

(-) |a⁴b-a³b²

(=) a³b²+0

(-) | a³b²+ a²b³

(=) - a²b³+0

(-) |-a²b³-ab⁴

(=) ab⁴ + b⁵

(-) |ab⁴ + b⁵

(=) 0

ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ