ಬೀಜಗಣಿತ-೩

ಮಾರ್ಪು

ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ  ನಿಜಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಉದಾ 1 : 180 ಜನರು ಪ್ರತಿದಿನ 10 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ 6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  60m ಉದ್ದದ 1m ಅಗಲದ 1m ಆಳದ ಕಾಲುವೆಯನ್ನು ತೋಡುತ್ತಾರೆ. 100 ಜನರು ದಿನಕ್ಕೆ 8 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸಮಾಡಿ, 100m ಉದ್ದದ  1.5m ಅಗಲದ 1.2mಆಳದ ಕಾಲುವೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  ತೋಡುತ್ತಾರೆ?

ಉದಾ 2 : ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕವು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದಿರುವ  ಅಂತರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದು. ಭೂಮಿಯ ಸರಿಸುಮಾರು ತ್ರಿಜ್ಯ 6380 KM ಆದರೆ 80 KG ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ  1600 KM ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ತೂಗುತ್ತಾನೆ?

ಮೇಲಿನಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಮಾರ್ಪು ಎಂದರೆ ಬದಲಾವಣೆ. ನಮ್ಮ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೀಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಈಗ ಬಹಳ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಹೇಳುವುದನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಜಿ ಅಕ್ಕಿಗೆ ಹಲವು ಆಣೆಗಳಿಗೆ ಸಿಗುತ್ತಿತ್ತು. ಈಗಲೋ ಹಲವು ಹತ್ತು ರೂಗಳಾಗಿವೆ. ಬದುಕುವುದೇ ಕಷ್ಟ. ಹಾಗಾದರೆ  ಕಾಲ ಕಳೆದಂತೆ ಅಕ್ಕಿಯ ಬೆಲೆ ಏರುತ್ತಲೇ ಹೋಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ. ಅದು ಇಳಿದುದೂ ಉಂಟು. ಅಕ್ಕಿ, ಚಿನ್ನ  ಹಾಗೇ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬೆಲೆ ಕಾಲಕಳೆದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಲೇ ಹೋಗಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ ಬೆಲೆಗಳ ಏರಿಕೆಗೂ ಕಾಲಕ್ಕೂ ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಇಲ್ಲ ಎಂದಾಯಿತು. ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎತ್ತರಕ್ಕೂ ಆತನ ವಯಸ್ಸಿಗೂ ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಇದೆಯೇ? ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋದರೂ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ( 16-17ವರ್ಷ) ಹೆಚ್ಚುವುದು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ?  ಅಂದರೆ ಎತ್ತರಕ್ಕೂ ವಯಸ್ಸಿಗೂ ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಇಲ್ಲವೆಂದಾಯಿತು.

ನೇರ ಮಾರ್ಪು

ಹಾಗಾದರೆ ಸಮಯಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ  ಏರಿಕೆಯಲ್ಲಿ/ಇಳಿತದಲ್ಲಿ ನೇರ ಸಂಬಂಧ ಇರುವಂತಹದೇನಾದರೂ ಇದೆಯೇ? ಇದೆ. ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಟ್ರೈನ್ ಅಥವಾ ಬಸ್ಸು ಕ್ರಮಿಸುವ ದೂರ, ಅದರ ಜವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಸಮಯಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಂತೆ  ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ= ಜವ*ಸಮಯ. ಅಥವಾ d=st. ಸಮಯ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.  ಹಾಗೇ dt  ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.  d/t = k ಎನ್ನುವುದು  ಸ್ಥಿರಾಂಕ( ಇಲ್ಲಿ ಜವ) ಆಗಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಯನ್ನು  ಅನುಪಾತೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ('constant of proportionality' ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆಯೇ  d ಮತ್ತು  t ಗಳು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ಗಳಾಗಿವೆ. ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿಯ ದರ ನಿಗದಿಯಾಗಿರುವಾಗ ಠೇವಣಿ ಮೇಲೆ ಬ್ಯಾಂಕ್ ನೀಡುವ ಬಡ್ಡಿಯು ಅಥವಾ ಸಾಲದ ಮೇಲೆ ಬ್ಯಾಂಕ್ ವಸೂಲಿ ಮಾಡುವ ಬಡ್ದಿಯು ಠೇವಣಿ ಹಣ ಅಥವಾ ಸಾಲದ ಹಣದ ಮೇಲೆ ನೇರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ = 2pr.  ತ್ರಿಜ್ಯ ಜಾಸ್ತಿ ಆದ ಹಾಗೆ ಪರಿಧಿಯು ಜಾಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ: C/r = 2p  (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ವಾಗಿರುವುದರಿಂದ Cr.

ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= pr². ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಆದ ಹಾಗೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ.  ಆದುದರಿಂದ A/r²= p ಮತ್ತು Ar.

ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು  ಭೂಪಟದಲ್ಲಿನ ದೂರಕ್ಕೆ ಸ್ಕೇಲ್(ಉದಾ: 1 ಸೆ.ಮೀ= 10 ಕಿ.ಮೀ) ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ನಿಜವಾದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಅನುಪಾತೀಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾನವನ ತೂಕವು ಅವನ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? – ಇಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ವಿಶ್ರಾಂತ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬೀಳುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಚಲಿಸಿದ ದೂರವು ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವು 2 ಸೆಕೆಂಡ್ ಕಾಲದಲ್ಲಿ 64cm ದೂರ ಕೆಳಗೆ ಬಿದ್ದರೆ 6ಸೆಕೆಂಡ್ ಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುವುದು? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

2sec >>> 64cm

6sec  >>> (64/2)*6= 192

ಇದು  ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ.

dt² - ದತ್ತ

d/t²= k

k = 64/4= 16

ಆದುದರಿಂದ  k = 16= d/6²=d/36

d= 16*36= 576

6 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವು 576 cms ದೂರ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುವುದು.

ವಿಲೋಮ  ಮಾರ್ಪು

ಅಧಿಕ ಇಳುವರಿಯಿಂದಾಗಿ ಟೊಮ್ಯಾಟೋ ತರಕಾರಿ ಬೆಳೆದವರು ರಸ್ತೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸುರಿಯುವುದನ್ನು ನೀವು ಕೇಳಿರುವಿರಿ ಅಲ್ಲವೇ? ಅದು ಏಕೆ? ಹಾಗೆಯೇ

• ಬತ್ತ, ಗೋಧಿ ತರಕಾರಿ ...  ಇವುಗಳ ಪೂರೈಕೆ ಜಾಸ್ತಿ ಆದಾಗ ಬೆಲೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ
• ಅಂತರ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಇಂಧನದ ಪೂರೈಕೆ ಜಾಸ್ತಿಯಾಗಿ  ಆದಾಗ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಬೆಲೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

• ಹೆಚ್ಚಿನ  ಕಾರ್ಮಿಕರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಾಗ, ಯಾವುದೇ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.
• ಭೂಮಿಯಿಂದ ದೂರ ಹೋದ ಹಾಗೆ ನಮ್ಮ ತೂಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ನೇರ ಮಾರ್ಪಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ವು  ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ  ಆ ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಂಡಂತಹ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,  xಮತ್ತು y  ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ಗಳಾದಾಗ x1/y.  x  ಎನ್ನುವುದು  y ಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು xy=k (ಸ್ಥಿರಾಂಕ)

ಹೀಗೆಯೇ,  x1/y² ,  x1/y⁴ , x1/ . . . .  ಆದಾಗ xy², xy⁴, x ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಎಸೆದಾಗ, ಚೆಂಡು ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾಲ T  ಸೆಕೆಂಡ್ ಗಳು ಆದರೆ, ತಲುಪಿದ ಎತ್ತರ h ಮೀಟರ್ ಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.  ಎತ್ತರ h=25m  ಆದಾಗ,T=4.47 sec  ಇರುತ್ತದೆ.

• ಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು 'h' ನಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ
• h=50 ಆದಾಗ T ಎಷ್ಟು?
• ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆದ ಚೆಂಡು 5 ಸೆಕೆಂಡ್ ಗಳ ಕಾಲ ಇರುವುದಾದರೆ 'h' ಎಷ್ಟು?.

ಪರಿಹಾರ:

T

T= k

4.47= 5k

k = 0.894

T = 0.894 

h =50 ಆದಾಗ

T= 0.894* = 0.894*7.07 6.32

T =5 ಆದಾಗ

= T/k = 5/0.894 5.60 31.36 ಮೀ.

ಜಂಟಿ ಮಾರ್ಪು

ಅನುಪಾತವು  ಹಲವು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆಯೇ? ಸರಳ ಬಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು:

SI = PTR/100

ಮತ್ತು

CI = P(1+R/100)^T-P

ನಾವು ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು? ಸರಳ ಬಡ್ಡಿಯು  ಠೇವಣಿ(P), ಅವಧಿ(T)  ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿ(R) ಗಳಿಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯು ಆ ಮೂರು ಚರಾಂಶ(ಅವ್ಯಕ್ತ)ಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ತೂಕವು ಭೂಮಿಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ ಎನ್ನುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಕೆಲಸ,ಕೆಲಸಗಾರರು,ದಿನಗಳು ಮತ್ತು ಗಂಟೆಗಳು

ಮಾಡುವ ಕೆಲಸವು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು(M), ಕೆಲಸದ ದಿನಗಳು(D), ದಿನದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ  ಗಂಟೆ(H) ಗಳಿಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎನ್ನುವುದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಅಂದರೆ WM, WD, WH

WM*D*H ಅಥವಾ M*D*H/W = ಸ್ಥಿರಾಂಕ

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : 36 ಜನರು 140M ಉದ್ದದ ಗೋಡೆಯನ್ನು 21 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುವುದಾದರೆ,  50M ಉದ್ದದ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಗೋಡೆಯನ್ನು  18 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಲು ಎಷ್ಟು ಜನರು ಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ W₁= 140, M₁=36, D₁=21  ಮತ್ತು  W₂= 50, D₂=18, ಕೊಟ್ಟಾಗ M₂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. H ದಿನದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ  ಗಂಟೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

M*D*H/W = ಸ್ಥಿರಾಂಕ

36*21*H/140 = M₂*18*H/50

ಬಿಡಿಸಿದಾಗ M₂ = 15

ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಕೊಳಾಯಿ A, ಒಂದು ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 8 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಕೊಳಾಯಿ B, 12 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಕೊಳಾಯಿಗಳನ್ನು  ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆರೆದರೆ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು ಎಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಬೇಕಾಗುವುದು?

ಪರಿಹಾರ:

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಿದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಭಾಗ = (1/8-1/12)= (3-2)/24= 1/24.

ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು 24 ಗಂಟೆಗಳು ಬೇಕು.

ಸಮಸ್ಯೆ 5 : 180 ಜನರು ಪ್ರತಿದಿನ 10 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ 6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  60m ಉದ್ದದ 1m ಅಗಲದ 1m ಆಳದ ಕಾಲುವೆಯನ್ನು ತೋಡುತ್ತಾರೆ. 100 ಜನರು ದಿನಕ್ಕೆ 8 ಗಂಟೆ ಕೆಲಸಮಾಡಿ, 100m ಉದ್ದದ  1.5m ಅಗಲದ1.2m ಆಳದ ಕಾಲುವೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  ತೋಡುತ್ತಾರೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ W₁= 60*1*1, M₁=180, D₁=6 ಮತ್ತು H₁ =10, ಮತ್ತು W₂= 100*1.5*1.2, M₂=100, ಮತ್ತು H₂ =8,  ಕೊಟ್ಟಾಗ D₂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

M*D*H/W = ಸ್ಥಿರಾಂಕ

M₁*D₁*H₁/W₁ = M₂*D₂*H₂/W₂

180*6*10/60 = 100*D₂*8*/(100*1.5*1.2)

ಬಿಡಿಸಿದಾಗ  D₂ = 40.5

ಕಾಲುವೆ ತೋಡಲು 40.5 ದಿನಗಳು ಬೇಕು

ಸಮಸ್ಯೆ 6 : ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕವು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದಿರುವ  ಅಂತರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದು. ಭೂಮಿಯ ಸರಿಸುಮಾರು ತ್ರಿಜ್ಯ 6380 KM ಆದರೆ 80 KG ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ  1600 KM ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ತೂಗುತ್ತಾನೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ W1/d²

ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿರುವಾಗ ಆತನ ತೂಕ = 80 KG d₁ =ಭೂಮಿಯ ತ್ರಿಜ್ಯ=6380 KM

W₂ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ  1600 KM ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವಾಗಿನ ತೂಕ ಆಗಿರಲಿ.

W₁ d₁²= W₂ d₂²

80*6380²= W₂*7980²

ಬಿಡಿಸಿದಾಗ  W₂= 51.14

ಸಮಸ್ಯೆ 7 : A ಯು ಒಬ್ಬನೇ ಒಂದು ಕೆಲಸಮಾಡಲು ಅವನು  ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡುವ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 5 ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಅದೇ  B ಯು ಒಬ್ಬನೇ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ಅವನು  ಮತ್ತು A ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡುವ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 20 ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಹಾಗಾದರೆ  A  ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ?

ಪರಿಹಾರ:

A  ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ x ದಿನಗಳು ಆಗಿರಲಿ.

A ಯು ಒಬ್ಬನೇ  ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು =   x+5

B ಯು ಒಬ್ಬನೇ  ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು =   x+20

ಸೂತ್ರದಂತೆ A ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ದಿನಗಳು(=x)= (x+5)*(x+20)/{(x+5)+(x+20)}

x= x²+25x+100/2x+25

2x²+25x= x²+25x+100

x²=100

x=10

A  ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ದಿನಗಳು 10.

ತಾಳೆ:

A ಯು ಒಬ್ಬನೇ  ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು = x+5 = 15 ದಿನಗಳು

B ಯು ಒಬ್ಬನೇ  ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು = x+25 = 30 ದಿನಗಳು

ಸೂತ್ರದಂತೆ A ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ದಿನಗಳು = 30*15/45= 10

ಸಮಸ್ಯೆ 8 : ಪಂಪ್ A ಯು ಒಂದು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ, ಪಂಪ್ B ಯು  ಅದೇ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 1 ಗಂಟೆ 40 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪಂಪ್ C ಯು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ತುಂಬಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲವು  ಅವೆರಡು ಪಂಪ್ ಗಳು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಕಾಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.  A ಮತ್ತು  B ಪಂಪ್ ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಂಪ್ C ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ 2 ಪಂಪ್ ಗಳನ್ನು ಖಾಲಿಮಾಡಲು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಚಾಲೂ ಮಾಡಿದರೆ, ತೊಟ್ಟಿ ಭರ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಭವ ಉಂಟೇ? ಹಾಗಾದರೆ ಎಷ್ಟು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭರ್ತಿಯಾಗುವುದು?

ಪರಿಹಾರ:

A ಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ಕಾಲ= 60 ನಿಮಿಷಗಳು

B ಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ಕಾಲ = 100 ನಿಮಿಷಗಳು

C ಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ  ಕಾಲ = 80 ನಿಮಿಷಗಳು

t ಯು ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲವಾಗಿರಲಿ.

ಸೂತ್ರದಂತೆ

1/t = 1/60+1/100- 2(1/80)

= 1/60+1/100-1/40= (10+6-15)/600 = 1/600

ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲ= 600 ನಿಮಿಷಗಳು= 10 ಗಂಟೆಗಳು

ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ  ನೀಡಿದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

“ನನ್ನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ತಂದೆಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು. 16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನನ್ನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ನನ್ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಈಗ ನನ್ನ ವಯಸ್ಸೆಷ್ಟು”?

ನಾವೀಗಾಗಲೇ x+1 = 5, 2a+6 =10, ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಚರಾಕ್ಷರವಿದೆ. ಇಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆನ್ನುತ್ತೇವೆ..

ಈಗ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ x+y = 5 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.ಇದರಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿವೆ. ಈಗ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಬೇರೆಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವಾ. ಆಗ (x=1,y=4), (x=2,y=3), (x=3,y=2), (x=0,y=5), (x= -2, y=7) ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆ ಇರದ ಹಲವು ಬೆಲೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಬೆಲೆಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಇದು ಏಕೆ?ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ್ನ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ, y = 5-x ಆಗುತ್ತದೆ. x  ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ y ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬೆಲೆಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನಮಗೆ x ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣಬೇಕು.

ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಬೆಲೆಗಳು ಸಿಗುವುದರಿಂದ,ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಅದೇ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣ ಬೇಕು.

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ನಿಮಗೊಂದು ಆಟದ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತಾನೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಸರಿಯುತ್ತರ ಹೇಳಿದರೆ, ಅವನ ವಯಸ್ಸಿನಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿ.ಡಿ.ಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಈ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಾ?

ಸಮಸ್ಯೆ 1 (ಪಂದ್ಯದ ಲೆಕ್ಕ): “ನನ್ನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ತಂದೆಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು. 16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನನ್ನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ನನ್ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಈಗ ನನ್ನ ವಯಸ್ಸೆಷ್ಟು”?

ಅಂದಾಜಿನಿಂದಲೇ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ಚಿಕ್ಕ ಮಗುವು ಆಗದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅತನ ವಯಸ್ಸು 9 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.

ಈಗ(ಒಟ್ಟು =55)		16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ
ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು	ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು	ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು	ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು
9	46	25	62
10	45	26	61
11	44	27	60
12	43	28	59
13	42	29	58
14	41	30	57
15	40	31	56

ಮೇಲಿನ ತ:ಖ್ತೆಯಿಂದ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ,ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು ಈಗ 13 ವರ್ಷಗಳಾದರೆ 15 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು(58) ಆತನ ವಯಸ್ಸಿನ(29) ಎರಡರಷ್ಟಾಗಲಿದೆ.ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ 13ಸಿ.ಡಿ.ಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ಆದರೆ ಜಟಿಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾದರೆ ಇದಕ್ಕೊಂದು ನಿಯಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ರಮವಿದೆಯೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸು = y ವರ್ಷಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = x ವರ್ಷಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಅವರಿಬ್ಬರ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೊತ್ತ 55 ವರ್ಷಗಳಾದ್ದರಿಂದ,

x+y =55

16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = y+16

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = x+16.

ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಂತೆ, x+16 =2*(y+16)

x+16 = 2y+ 32    (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ.)

x-2y = 32-16 =16 (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ.)

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಮಗೀಗ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆತವು:

(1) x+y =55

(2) x-2y = 16

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಚರಾಕ್ಷರ ಬೇಕು.ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೋಗಲಾಡಿಸಬೇಕು. ಹೇಗೆ?

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

x+y =55   ==è (1)

x-2y=16   ==è (2)

----------

(2) ನ್ನು (1)   ರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ     0+3y =39   ==è (3)

-----------

3y = 39

y=13

x+y =55    ==è (1)

x = 55-y ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ.)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y=13 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

x=55-13

=42

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 13 ವರ್ಷ

ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = 42 ವರ್ಷ

ತಾಳೆ:

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 13 ವರ್ಷ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = 42 ವರ್ಷ ಆದಾಗ ಅವರ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು.

16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ,ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 29 ವರ್ಷ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು =58( ಆಗ ಅವನ ವಯಸ್ಸು ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದು)

2. x ಮತ್ತು y ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ x+y = 42+13 = 55 , (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ: x-2y = 42-26 = 16

ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಬೆಲೆಯು ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆಗಿಂತ ರೂ.18 ಜಾಸ್ತಿ. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ನಿಮಗೆ 240 ರೂ ಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟು 5 ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಮತ್ತು 10 ಪೆನ್ನುಗಳನ್ನು ತರಲು ಹೇಳಿದರೆ, ಒಂದು ಕಂಪಾಸುಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಕ್ರಯ = y ಆಗಿರಲಿ

ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ = x ಆಗಿರಲಿ

(1) y = x+18       ===(1)

(2) 5y+10x = 240 ===(2)

(1)   ನ್ನ  ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ, y-x =18     ====(3)

(2)   ನ್ನ 5  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ,          y+2x= 48   ====(4)

(3)   ರಲ್ಲಿ (4) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ                  -----------

-3x =-30 -------(2)

x = -30/-3  =10 -------(3)

ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ = 10 ರೂ.

ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಕ್ರಯ = 28 ರೂ.

ಅಭ್ಯಾಸ: x ಮತ್ತು y ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಬಿಡಿಸಿ: 2x+2y =4   ಮತ್ತು   x+y =2

ಪರಿಹಾರ:

2x+2y =4   ====(1)

x+y =    2  ====(2)

(2) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

2x+2y=4     ====(3)

(1) ರಿಂದ(3) ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ 0 =0 ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯ.

x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಬಹುದು. ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಬೆಲೆಗಳಿಲ್ಲ( ಏಕಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಮೊದಲನೆಯದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿದೆ)

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಬಿಡಿಸಿ: 2x+2y =4 ಮತ್ತು  x+y = 3

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳು:                                      2x+2y =4   ====è(1)

x+y = 3  =====è(2)

(2) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

2x+2y=6  =====è(3)

(3) ರಿಂದ (1) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ, 0 =2 ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ x ಮತ್ತು y ಗಳ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳೂ ಕೊಟ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು “ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು” (simultaneous linear equations) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ..

ಅವುಗಳು, a₁ x+ b₁ y = c₁ ಮತ್ತು     a₂ x+b₂ y ₌ c₂

ಇಲ್ಲಿ a₁, b₁, a₂, b₂, c₁ ,c₂ ಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಶಗಳು, x ಮತ್ತು y  ಗಳು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ( ಇವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನೇ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು.)

ಹೀಗಿರುವ ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಿಡಿಸಿದ್ದೇವೆ?

ಸಹ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಮಗೊಳಿಸಿ,ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಕ್ರಮ

ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಹಂತಗಳು

• ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಮಗೊಳಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ) ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
• ಪದಗಳು ಸಮ ಸಂಖ್ಯಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ವಿಜಾತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಸಜಾತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕಳೆಯಬೇಕು.
• ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
• ಸಿಕ್ಕಿದ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಗಮನಿಸಿ:

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

1. a₁ x+ b₁ y = c₁

2. a₂ x+b₂ y ₌ c₂

1.      (a₁ / a₂) = (b₁ / b₂)   (c₁ / c₂) ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲ.

2.      (a₁ / a₂) = (b₁ / b₂) = (c₁ / c₂) ಆದರೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ

3.      (a₁ / a₂)  (b₁ / b₂)  ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 5:

ಬಿಡಿಸಿ: x+y =2xy   ------à(1)

x-y = 6xy  -----à(2)

ಪರಿಹಾರ:

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ 2x = 8xy

ಅಂದರೆ  1 = 4y

y = 1/4

y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

x+ 1/4 =  2x/4 = x/2

ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ, x-x/2 = - 1/4

x = -1/2

ತಾಳೆ:

x,y ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ:

x+y =  -1/2+1/4 = -1/4

2xy =  2*(-1/2)*(1/4) = -1/4

x+y =2xy

x-y =  -1/2-1/4 = -3/4

6xy=  6*(-1/2)*(1/4) = -3/4

x-y = 6xy

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಅನುತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ 4:1( ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದವರು ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದವರ 4 ಪಟ್ಟು). ಒಂದು ವೇಳೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರಲ್ಲಿ 30 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆಹಾಜರಾಗದಿದ್ದಲ್ಲಿ, 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ ಆ ಅನುಪಾತ 5:1 ಆಗಿರುತ್ತಿತ್ತು. ( ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದವರು ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದವರ 5 ಪಟ್ಟು) ಹಾಗಾದರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹಾಜರಾದ ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು: x ಆಗಿರಲಿ.

ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು y ಆಗಿರಲಿ.

x=4y      ------à(1)

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = x+y

30 ಮಂದಿ ಕಡಿಮೆ ಹಾಜರಾದಾಗ, 20  ಮಂದಿ (x-20) ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ

1)   ಹಾಜರಾಗಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು = x+y-30

2)   ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು = (x+y-30) –(x-20)

= y-10

3)  ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಅನುತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ 5:1 ಆಗುತ್ತಿತ್ತು.

(x-20) = 5(y-10)   -----à(2)

ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಿಕ್ಕಿದವು. : 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದ  x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

4y-20 = 5(y-10)   ---

= 5y-50

4y-20 -4y+20 = 5y-50-4y+20 (ಎರಡೂ ಬದಿಯಿಂದ 4y ನ್ನು ಕಳೆದು 20 ನ್ನು  ಕೂಡಿಸಿದಾಗ)

0= y-30

30=y

x=4*30( y  ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)

=120

ತಾಳೆ:

ಉತ್ತೀರ್ಣರು: ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 120:30 (ಇದು 4:1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇದೆ)

ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = 120+30=150

30 ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = 150-30 =120 ಮತ್ತು 20 ಮಂದಿ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ

ಉತ್ತೀರ್ಣರು = 120-20 =100

ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 120-100 = 20

ಉತ್ತೀರ್ಣರು: ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 100:20 (ಇದು 5:1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇದೆ)

ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಎರಡು ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಆಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ 9.  ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ 9 ರಷ್ಟು, ಬಿಡಿ ಆಂಕಿಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ದೊರೆತ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮ ಇದ್ದರೆ ಅಂಕಿಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ:

x ಅಂಕಿಯು ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ y ಯು ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಇರಲಿ. ಆಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ (xy) ಬೆಲೆ 10x+y. ಇದರ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ (yx) ಬೆಲೆ 10y+x.

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ:

x+y = 9   (xy)

9(10x+y) =  2(10y+x)

ಅಭ್ಯಾಸ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ (x =1 and y=8). ಸಂಖ್ಯೆ 18 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1+8 = 9

9*18 =2*81

ಸಮಸ್ಯೆ 8: ನಿಮ್ಮ ತಾಯಿಯ ಜೊತೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಊರಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿರಿ, ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಟಿಕೇಟ್ ನ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ 50% ಕಡಿತ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ದಲ್ಲಿ ರಿಯಾಯಿತಿಇರುವುದಿಲ್ಲ.  ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಸೇರಿ ನಿಮ್ಮ ತಾಯಿಯ ಟಿಕೆಟ್ 2125 ರೂ ಇದ್ದು ನಿಮ್ಮಿಬ್ಬರ ಟಿಕೆಟ್ ಗೆ 3200 ರೂ ಆದರೆ, ಒಬ್ಬ ವಯಸ್ಕನ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಏಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

x ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು y ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಇರಲಿ. ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಆಗಿರುವದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ (1/2)x

x+y = 2125    ----à(1)

ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಆಗಿರುವದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ (1/2)x . ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕದಲ್ಲಿ ವಿನಾಯಿತಿ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅದು ಇಬ್ಬರಿಗೂ y ಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮಿಬ್ಬರ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ = {(1/2)x+y} + (x +y) =3200

(3/2)x+2y =3200 = 3200

3x+4y =6400   ----à(2) (ಎರಡೂ ಕಡೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು  ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x = 2100, y = 25 ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ತಾಳೆ:

2125 = 2100+25

3200 = 2100+25+1050+25

ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	( a1 x+ b1 y = c1, a2 x+b2 y = c2) ಈ ರೀತಿಯ ಏಕಕಾಲಿಕಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ಬಿಡಿಸುವುದು..
2	ಎಲ್ಲಾ ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ (Alternate method): ಆದೇಶದಿಂದ ಹೋಗಲಾಡಿಸುವುದು (Method of elimination by substitution)

ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮಿಕರಣಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದಲ್ಲೂ ಬಿಡಿಸಬಹುದು:

• ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು (y) ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ (x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
• ಮೇಲಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ  ಪಡೆದ (y) ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,(x) ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
• (x) ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,(y) ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈಗ 2.14.2   ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸುವಾ.

ಬಿಡಿಸಿ:

5y+10x =240     ----(1)

5y -5X =   90     ----(2)

5y= 5x + 90 (ಸಮೀಕರಣ 2 ರಲ್ಲಿ 5xನ್ನ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ)

5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ y = x+18

y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ 1 ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,

5y +10x =240

5(x+18)+10x=240

5x+90+10x=240

15x= 240-90

=150

ಅಂದರೆ 150 = 15x

x = 10

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 1ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,

5y+10*10 = 240

ಅಂದರೆ 5y = 240-100=140

y = 28

ಈ ಬೆಲೆಗಳು ಉದಾ.2.14.2 ರಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ದೊರೆತಿವೆ.

ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆ

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಇನ್ನೂ ಬೇರೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಹೌದು, ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ:-

• ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 2ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು: {(a+b)/2} – ಸರಾಸರಿ
• ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳು:-

ಅರ್ಥ	ಸಂಕೇತ
ಸೇರಿದೆ
ಸೇರಿಲ್ಲ
ಎಲ್ಲಾ(ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ)
ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ
ಹೀಗಾಗುವಂತೆ	:

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ N = {1,2,3,4 …} =  { n: n  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ W = {0,1,2,3,….} = {n: n =0, ಮತ್ತು  n {N}}

ಉದಾಹರಣೆ 1:

S = {2, 4, 8, 16….} = { 2 ರ ಘಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2} = {2^m ; ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾಗೂ m >1}

ಈಗ ನಾವು ಈ ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಘಾತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.      S ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಆ ಮೊತ್ತವು S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ. (ಉದಾ; 6(=2+4),10(=2+8),12(=4+8) ಇವೆಲ್ಲ S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ.)

2.      S ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಕೂಡಾ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆ?

( 2^m ಮತ್ತು 2ⁿ ಇವೆರಡು S ನಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳಾದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧ (2^m )*(2ⁿ) = 2^m+n ಇದು S ಗಣದ ಒಂದು ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ.)

3.      2 ರ ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಸಂಖ್ಯೆಯು S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆ?

(2^m ಮತ್ತು 2ⁿ ಇವು S ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, 2^mz [=(2^m )^z ಇಲ್ಲಿ z =2ⁿ ಇದೂ ಕೂಡಾ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಫಲಿತಾಂಶ:

S ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಬರುವ ಮೊತ್ತವು S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ S ಗಣದಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

1. a, b  A ಆದಾಗ, a, b  ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ   A ಆದರೆ, A ಯು ಆ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಂತೆ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

2. a, b  ಆದಾಗ ಮತ್ತು c = (a ಕ್ರಿಯೆ b) A ಆದರೆ ಆ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆ (Binary operation) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ‘ ’ ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು

a ಕ್ರಿಯೆ b ಯನ್ನು ಓದುವ ಕ್ರಮ  a ಸ್ಟಾರ್(ನಕ್ಷತ್ರ) b.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ S ಗಣವು ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕಲನವು S ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆ ಅಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳು S ಗಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಸಂ.	ಗಣ	ಕ್ರಿಯೆ: ನಕ್ಷತ್ರ ( )	ಅವಲೋಕನ	ಫಲಿತಾಂಶ	ಕಾರಣ
1	N = {1,2,3; ¸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }	ಮೊತ್ತ	,a,b  N, a+b  N	N ಗಣವು + ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.	2 ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.
2	N = {1,2,3; ¸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }	ಗುಣಲಬ್ಧ	,a,b  N, a* b  N	N ಗಣವು * ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.	2  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ.
3	A = {1,3,5 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }	ಮೊತ್ತ	,a,b  N, a+b  N	A ಯು  + ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣಹೊಂದಿಲ್ಲ.	2 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ (ಅದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ)
4	B = {1,3,5 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }	ಗುಣಲಬ್ಧ	,a,b  N, a*b  N	B ಗಣವು * ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.	2  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ..
5	Z =(0,-1,1,2,-2:  ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು)	ಸರಾಸರಿ	,a,b  Z, a b=(a+b)/2  Z	Z ಗಣವು ‘ಸರಾಸರಿ’ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.	0  1 = (0+1)/2 ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.
6	Q = (p/q, ಇಲ್ಲಿ p,q  Z, q  0)	ಭಾಗಾಕಾರ	,a,b  Q, a/b  Q	Q ಗಣವು / ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣಹೊಂದಿಲ್ಲ.	ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0 ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.  0 Q ಆದರೂ 1/0  Q)

ಆವೃತ ಗುಣಕ್ಕೂ ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ

ಯಾವುದೇ ಗಣವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸಿದರೆ. ಆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಗಣವು ಆ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣವು ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆ (algebraic structure) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (S,*) ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ (N,+),(N,*),(B,*) ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆಗಳು (A,+),(Z, ಸರಾಸರಿ), (Q,/) ಇವು ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲ..

ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m³ ನ್ನು 4 m² n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: 12m³ n⁵ / 4 m² n =  (12/4)* (m³ n⁵ /m² n)

ಹಂತ 2: 12/4 =   3,

ಹಂತ 3:

m³ n⁵/ m² n = m^3-2 n^{5-1 =} m n⁴

12m³ n⁵ /4 m² n = 3 m n⁴

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = 4 m² n*3 m n⁴ +0 =12 m²⁺¹ n¹⁺⁴ =12m³ n⁵ - ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 57x²y²z² ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1 :

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz

ಹಂತ 2:

57/19 =3

ಹಂತ 3:

x²y²z²/xyz = x^2-1y^2-1z^2-1 = xyz

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz  =3xyz

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0=   57x¹⁺¹y¹⁺¹z¹⁺¹+0=57x²y²z² - ಭಾಜ್ಯ

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

3  ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.

ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

• ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.
• ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು

ಸಮಸ 1: 402³m²n²-603²m²n -804²m³ ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-201²m²) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

402³= (2x201)³= (2)³x(201)³, 603² = (3x201)² = (3)²x(201)², 804² = (4x201)² = (4)²x(201)²

[402³m²n²-603²m²n -804²m³ n⁴]/(-201²m²)

=[(2)³*(201)³ m²n²-(3)²*(201)² m²n -(4)²*(201)²m³ n⁴]/(-201²m²)

= -[ (2)³*(201) n²-(3)²* n -(4)²*m¹ n⁴] = - (8*201* n²-9n -16mn⁴)

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (-201²m²)*[-(8*201* n²+9n +16mn⁴)]+0

= +(201²m²)*(8*201* n² -201²m²*9n -201²m²*16mn⁴) +0

= 8*201³m² n² -9*201²m²⁺²n-16*201²m²⁺¹n⁴)

= 2³* 201³m² n² - 3² *201²m⁴n-4²*201² m³ n⁴

= (2*201)³m²n²-(3*201)² m²n –(4*201)² m³ n⁴

= 402³ m²n² - 603² m²n - 804² m³ n⁴

= ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 2a⁴ b³+ 8a² b² ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(2a⁴ b³+ 8a² b²)/2ab = (2a⁴ b³/2ab) + (8a² b² / 2ab) = a³ b² +4a b

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = 2ab*(a³ b² +4a b) +0= 2a⁴ b³+ 8a² b² = ಭಾಜ್ಯ

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು

• ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
• ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).

ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು

ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x³-6x (ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಾತ ಸೂಚಿಯ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
2	ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ ‘0’ ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ x3 -6x+7  ನ್ನು (x3 +0x2-6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
3	ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( x3/x = x2). ಆದ್ದರಿಂದ x2 ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
4	ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (=x3+ x2)
5	ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x3 +0x2 ) – (x3+ x2) =  - x2
6	ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(=-6x) ಹಂತ 5ರ ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ -x2 – 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ.
7	ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ
8	ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (x+1)* (x²-x-5)+12

= x*(x²-x-5) +1*(x²-x-5)+12

= (x³-x²-5x)+ (x²-x-5)+12 = x³-x²+ x²-5x-x -5+12

= x³-0x²-6x +7

= x³-6x +7 – ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.

ಸಮಸ್ಯೆ 2: x⁵ -9x² +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ನ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

xಭಾಜ್ಯ: x⁵ +0x⁴ +0x³-9x² +12x-14.

ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.

- | x⁵ -3x⁴

- |3x⁴ +0x³

- |3x⁴ -9x³

- |9x³ -9x²

- |9x³ -27x²

- |18x²+12x

- |18x² -54x

-|66x-14

-|66x-198

184

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ,

ಭಾಜಕ =x⁵ -9x² +12x-14 = 2⁵ -9*2² +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

ಭಾಜಕ = x-3 =2-3 = -1

ಭಾಗಲಬ್ಧ = 

= 2⁴ +3*2³ +9*2²+18*2+66

= 16+24+36+66=178

ಈಗ,

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = 178*-1+184

= -178+184

= 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 3: (6p³ -19p² -8p) ಯನ್ನು (p² -4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

6p+5

p² -4p+2

( -) |6p³ -24p² +12p --à ---- (1)      {= 6p*(p² -4p+2)}

(=) |+5 p² -20p --à -----(2)     {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}

( -) | 5p² - 20p+10 --à -----(3)      {= 5*(p² -4p+2)}

(=) -10           --à  ಶೇಷ         {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ = (6p+5)* (p² -4p+2)

= 6p* p² +6p*-4p+6p*2+5* p²+5*-4p+5*2

= 6p³ -24p²+12p+5p²-20p+10

= 6p³ -19p²-8p+10

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p³ -19p²-8p+10)-10

= 6p³ -19p²-8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆ 4: a⁵ +b⁵ ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

a+b

(-)  |a⁵+ a⁴b

(=) - a⁴b+0

(-) |a⁴b-a³b²

(=) a³b²+0

(-) | a³b²+ a²b³

(=) - a²b³+0

(-) |-a²b³-ab⁴

(=) ab⁴ + b⁵

(-) |ab⁴ + b⁵

(=) 0

ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯ (Remainder & Factor Theorem):

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು/ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು

402³m²n² - 603²m²n - 804²m³ n⁴ ಈ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು m ಮತ್ತು  n ಎನ್ನುವ ಚರಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು f(m,n) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

f(m,n) = 402³m²n² - 603²m²n - 804²m³ n⁴

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x), x ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದು  ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

f(x) = anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+ ………. a2x2+ a1x+ a0 = 0

ಇಲ್ಲಿ  a₀,a₁,a₂,……… a_n-1,an ಗಳು  ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು  a_n 0

a₀,a₁,a₂,……… a_n-1 ಮತ್ತು a_n ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ  x⁰,x¹,x²……. x^n-1 ಮತ್ತು xⁿ ಗಳ ‘ಸಹಗುಣಕ (co-efficients)’ ಮತ್ತು  n ನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ  ‘ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ(Degree)’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

anxn, an-1xn-1,………. a2x2, a1x1, a0 ಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ‘ಪದಗಳು(Term)’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ..

f(x) = x⁵ - 9x² + 12x - 14 ಆಗಿರಲಿ

x = 0 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ f(0) =  0 -9*0 +12*0 -14 = -14

x = 1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ f(1) =   1-9+12-14= -10

x = -1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ f(-1) =  -36

f(a) = a⁵ - 9a² + 12a - 14

a ಯ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ  (x=a), f(x) = 0 ಆದಾಗ  ‘a’ ಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ f(x)=0 ನ ಮೂಲ(root) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ನಲ್ಲಿ   f(a)=0 ಆದಾಗ  ‘a’ ಯನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ  'ಶೂನ್ಯ(zero)' ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಭಾಗಾಕಾರದ ಕುರಿತು

ಭಾಜ್ಯ = ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ 

ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಅನ್ವಯಿಸುವುದೋ ಅದೇ ರೀತಿ ಈ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಮೇಲಿನ ಭಾಗಾಕಾರದ ಅನುಪ್ರಮೇಯ(Lemma) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

f(x)= g(x)*q(x)+ r(x) ---(1)

[ ಇಲ್ಲಿ  ಭಾಜಕ g(x) ವು ಭಾಜ್ಯ  f(x) ನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ  ಭಾಗಲಬ್ಧ q(x) ಮತ್ತು ಶೇಷ  r(x) ದೊರಕುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ: g(x) 0 ಮತ್ತು r(x) =0  ಅಥವಾ ಅದರ  ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ < g(x) ನ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ]

ಮೇಲಿನ (1) ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

f(x), q(x) ಮತ್ತು r(x) ನೀಡಿದಾಗ g(x)= {f(x)-r(x)}/q(x)

f(x), g(x) ಮತ್ತು q(x) ನೀಡಿದಾಗ r(x)=   f(x)-{ g(x) *q(x)}

ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡದೇ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ  ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

2.11 ಸಮಸ್ಯೆ 1: f(x) = x³+4x²-6x+2 ನ್ನು  g(x)= (x-3) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷ ಕಂಡು ಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

f(x)= g(x)*q(x)+ r(x) ಆದಾಗ r(x) ನ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ < g(x) ನ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದುದರಿಂದ  g(x) ನ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ 0 ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.  ಭಾಜ್ಯದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ = 3 ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ =1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ 2(=3-1) ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

r(x) = k  (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಹಾಗೆಯೇ  a, b ಮತ್ತು c ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ q(x) = ax²+bx+c ಆಗಿರಲಿ.

x³+4x²-6x+2 =(x-3)* (ax²+bx+c)+k= (ax³+bx²+cx)+(-3ax²-3bx-3c)+ k = ax³+x²(b-3a)+x(c-3b)+k-3c.

a=1;4=b-3a; -6=c-3b;2=k-3c (ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿದಾಗ)

a=1; b=4+3a; c=3b-6; k=2+3c

ಇನ್ನೂ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ a=1, b=7, c=15 ಮತ್ತು k= 47

q(x) = ax²+bx+c

q(x) = x²+7x+15 ಮತ್ತು r(x) = 47

ತಾಳೆ:

x³+4x²-6x+2 = (x-3)* (x²+7x+15)+47 ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಒಂದು  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವಂತೆ ಬದಲಿಸಲು  ಸಾಧ್ಯವೇ?

f(x)= g(x)*q(x)+ r(x)

f(x) ನ್ನು  g(x) ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದರೆ r(x) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

• ಮೊದಲು  f(x)  ನ್ನು  g(x) ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಭಾಗಿಸಿ.( ಪಾಠ 2.10 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ದೀರ್ಘ ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ   ಸಮಸ್ಯೆ 2.11.1 ಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ವಿಧಾನ).
• ಆಗ  ಶೇಷ  r(x) ದೊರಕುತ್ತದೆ.
• ಈ ಶೇಷವನ್ನು  f(x)  ನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಆಗ ದೊರಕುವ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು  g(x) ನಿಂದ ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ

ಸಮಸ್ಯೆ 2: x³+5x²+5x+8  ನಿಂದ ಎಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಅಥವಾ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅದು x²+3x-2  ರಿಂದ  ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

x³+5x²+5x+8 ನ್ನು x²+3x-2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ  ನಮಗೆ ಸಿಗುವ ಶೇಷ:x+4

x³+5x²+5x+8 ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕಾದರೆ ಶೇಷ 0 ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ  x³+5x²+5x+8 ರಿಂದ x+4 ನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು.

ಉತ್ತರ = (x³+5x²+5x+8) – (x+4)= x³+5x²+5x+8-x-4 = x³+5x²+4x+4

ಅಧ್ಯಾಯ 2.10 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಂತೆ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯ ಬೇಕು. ಹಾಗಾದರೆ, ಶೇಷವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸುಲಭ ದಾರಿ ಇದೆಯ?

ಅಧ್ಯಾಯ 2.10 ರಲ್ಲಿ  ಬಿಡಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ಕೆಲವೊಂದು ಅಂಶಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ: 7+x³-6x ನ್ನು  x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯವನ್ನು f(x)  {‘x’  ನ ಸತ್ಪನ್ನ (Function)}ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.}

f(x) = 7+x³-6x

ಈಗ f(a) ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ‘a’ ಯ ಬೇರೆಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (1, 2,0,-1,-2) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

f(1) =  2, f(0) =7, f(-1) = 12, f(-2) = 11.

ಈಗ ನಾವೇನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? f(-1)=12 – ಇದೇ ಶೇಷ.

(x⁴-2x³+x-7) ನ್ನು    (x+2)  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾ. (ಸಮಸ್ಯೆ 2.10.3.2)

f(x) = x⁴-2x³+x-7

f(x)  ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 'x' ನ  ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ( 1, 2, 0,-1,-2) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವಾ

f(1) =  -7, f(2)  =-5,  f(0)  =-7, f(-1) =-5,  f(-2)=23  ಯು ಶೇಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಬೇರೆಬೇರೆ ಕೆಲವು ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳಿಗೆ ಶೇಷದ ತಃಖ್ತೆ ಮಾಡುವಾ.

ಭಾಜ್ಯ - f(x)	ಭಾಜಕ g(x)	ಶೇಷ r(x)	ಶೇಷ = ಸತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆf(k)
x3-6x +7	x+1	12	f(-1)
x4-2x3+x-7	x+2	23	f(-2)
x+1	x+1	0	f(-1)
x-1	x-1	0	f(1)
x+a	x+a	0	f(-a)
x-a	x-a	0	f(a)
x2+4x+4	x+2	0	f(-2)

ಈ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ನ್ನು  (x+a) ರೂಪದ ಏಕಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷವು f(-a) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ(Remainder Theorem) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದ  ಸಾಧನೆ

ಸಾಧನೆ:

ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ಯನ್ನು (x+a)  ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ f(-a) ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದೇ  ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ.

f(x)  ನ್ನು  (x+a) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ  q(x)  ಮತ್ತು   r(x)  ಗಳು  ಭಾಗಲಬ್ದ ಮತ್ತು ಶೇಷಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಭಾಜ್ಯ = ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ

f(x) = q(x)*(x+a) + r(x)

ಗಮನಿಸಿ:

ಭಾಜಕ (=(x+a)) ದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ :1.

ಶೇಷ  (= r(x)) ದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ <  ಭಾಜಕದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ.

ಅದುದರಿಂದ ಶೇಷದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ  = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಶೇಷವು  x ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರದೇ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ(= ‘r’)

f(x) = q(x)*(x+a)+r

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ   x = -a  ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ:

f(-a) = q(-a)*(-a+a)+r = q(-a)*0+r = r

ಅಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಯಿತು.

ಗಮನಿಸಿ: ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x),ನ್ನು (ax+b)  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ  = f(-b/a) [  ax+b = (x+b/a) ]

ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯ

f(-a) = 0  ಆದಾಗ  (x+a) ಯು  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಧನೆ:

f(-a) = 0  ಆಗಿರಲಿ.

ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ f(x) ನ್ನು  (x+a)   ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಶೇಷ = f(-a). ಇದು 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x+a) ಯು  f(x) ನ್ನು ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ (x+a) ಯು  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸಮಸ್ಯೆ3: (x³+2x²-x+6) ನ್ನು (x-3) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ f(x) = x³+2x²-x+6

ಭಾಜಕ = x-3

ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ ಭಾಜಕವು (x+a) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಶೇಷವು f(-a) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಭಾಜಕ (x+a) ಆದರೆ , f(-(-3) = f(3) ಶೇಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

f(x) ನಲ್ಲಿ x ನ ಬದಲಾಗಿ 3 ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

f(3) = 27+ 18-3+6 = 48 ಶೇಷ

ಸಮಸ್ಯೆ4: (4x⁴+2x³-3x²+8x+5a) ಯ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನ (x+2) ಆದರೆ, ‘a’ ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(x+2) ಎಂಬುದು f(x) ನ ಅಪವರ್ತನವಾದ್ದರಿಂದ ಶೇಷವು ಸೊನ್ನೆ.  ಅಂದರೆ ಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಶೇಷ = f(-2)

ಆದರೆ f(-2) =0 (ದತ್ತ)

f(-2) = 4*16+2*(-8)-3*4 -16+5a

= 64-16-12-16+5a = 20 +5a

f(-2) =0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  20+5a = 0 ಅಂದರೆ 5a = -20 ಅಂದರೆ a= -4

ತಾಳೆ:

a= -4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, -4 ನ್ನು  f(x) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

f(x) = 4x⁴+2x³-3x²+8x-20

f(-2)  = 4*16+2(-8)-3*4 -16 -20 = 64-16-12-16-20 = 0

x+2 ವು 4x⁴+2x³-3x²+8x-20 ನ ಅಪವರ್ತನ ಎಂದು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 5: 3x³+7x ನ ಅಪವರ್ತನವು 7+3x ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

f(x) = 3x³+7x

f(x) ನ ಅಪವರ್ತನವು 7+3x ಆಗಿದ್ದರೆ  ಅದರ ಅಪವರ್ತನ  3*(7/3+x) ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

( m 0, n 0   ಮತ್ತು y=mn  ಹಾಗೂ  y  f(x) ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದ್ದರೆ, m ಮತ್ತು n ಗಳೂ  ಕೂಡ  f(x  ನ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.)

f(-7/3) = 3(-7/3)³ +7(-7/3) =  -343/9 -49/3  0

7+3x  ನೀಡಿದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ  ಅಪವರ್ತನವಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ: 3x³+7x = x(3x²+7) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  7+3x  ಅದರ  ಅಪವರ್ತನವಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಸಮೀಕರಣ x²-2x=0 ರ ಮೂಲಗಳು 0, 1, 2 ಆಗಿವೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ:

f(x) = x²-2x ಆಗಿರಲಿ.

f(0) = 0²-2*0 = 0,

f(1) = 1²-2 = -1

f(2) = 2²-2*2 = 0

0 ಮತ್ತು 2 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಮೂಲಗಳು ಆದರೆ 1 ಅಲ್ಲ.

ಸಮಸ್ಯೆ 7: f(x) = x²+5x+p ಮತ್ತು q(x) = x²+3x+q ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

(i) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಕಂಡು ಹಿಡಿ

(ii) (p-q)²= 2(3p-5q) ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

f(x)  ನ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ  2 ಮತ್ತು ಅದು ಅಪವರ್ತನ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪವರ್ತನದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ 1 ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

ಅಪವರ್ತನ  x-k ಆಗಿರಲಿ

f(k) = k²+5k+p = 0

x-k ಯು  q(x) ನ ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

q(k) = k²+3k+q = 0

k²+5k+p = k²+3k+q: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ

k = (1/2)(q-p)

ಆದುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ = x-k = x - (1/2)(q-p)

= x + (1/2)(p-q)

K ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು f(x) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

((q-p)/2)²+5(q-p)/2+p = 0

i.e. (p-q)²/4+5(q-p)/2+p = 0

i.e. (p-q)²+10(q-p)+4p = 0

i.e. (p-q)² = 10p-10q-4p

= 6p-10q

= 2(3p-5q)

ಸಮಸ್ಯೆ 8: f(1/3) ಮತ್ತು f(3/2)=0 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿರುವಾಗ  6x²-11x+3  ನ್ನು  ಅಪವರ್ತಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

f(x) = 6x²-11x+3

(x-1/3) ಮತ್ತು (x-3/2) ಗಳು f(x) ನ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ನೀಡಿದೆ.

(x-1/3)*(x-3/2)

= x² - (1/3)x – (3/2)x + 3/6

= x² - (11/6)x +3/6

= (6x²-11x+3)/6.

ಎರಡೂ ಬದಿಯನ್ನು  6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

f(x) = 6x²-11x+3 = 6(x-1/3)*(x-3/2)

ಸಮಸ್ಯೆ 9: x³ +2x² - 5x – 6 ನ ಅಪವರ್ತನ (x+1)  ಆಗಿದ್ದು ಉಳಿದ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಸೂಚನೆ:

f(x) = x³ + 2x²- 5x - 6

f(-1) = -1+2+5-6 =0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  f(x)  ನ ಅಪವರ್ತನ (x+1).

2.10 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಂತೆ ದೀರ್ಘಭಾಗಾಕಾರದಂತೆ

f(x) = (x+1)(x²+x-6)

ಆದರೆ (x²+x-6)

= (x²+3x-2x-6)

= x(x+3)-2(x+3)

= (x+3)(x-2)

f(x) = (x+1)(x-2)(x+3)

ಸಮಸ್ಯೆ 10: ಒಂದು ವರ್ಗಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು (x-1), (x+1) ಮತ್ತು (x-2) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2,4 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ವರ್ಗಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

f(x) = ax²+bx+c  ಆಗಿರಲಿ.

f(1)=2, f(-1)=4 ಮತ್ತು f(2)=4 ಎಂದು ನೀಡಿದೆ.

ಆದರೆ f(1) = a+b+c, f(-1) = a–b+c ಮತ್ತು f(2) = 4a+2b+c

• a+b+c = 2
• a-b+c = 4
• 4a+2b+c = 4

 

ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ

a=1, b=-1 ಮತ್ತು c=2

ಆದುದರಿಂದ ವರ್ಗಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು x²-x+2.

ಸಮಸ್ಯೆ 11: px²+qx+6 ನ್ನು (2x+1) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 1 ಮತ್ತು  2qx²+6x+p ನ್ನು (3x-1) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 2 ಉಳಿದರೆ, p ಮತ್ತು q ಕಂಡು ಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

f(x) = px²+qx+6,  g(x) = 2qx²+6x+p  ಆಗಿರಲಿ.

f(x) ನ್ನು (2x+1) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ = 1. ಆದುದರಿಂದ  f(-1/2) = 1

p/4 –q/2+6 = 1

i.e. p-2q = -20 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)    ---à(1)

g(x) ನ್ನು (3x-1) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ = 2. ಆದುದರಿಂದ  g(1/3) = 2

2q/9 + 6/3 +p = 2

i.e. 9p+2q = 0 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)      ---à(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ಬಿಡಿಸಿದಾಗ

p = -2 ಮತ್ತು q = 9

ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಭಾಗಾಕಾರ

(x-a) ಭಾಜಕವು  ಆದಾಗ

ದೀರ್ಘಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಲಿಯಬಹುದು. (2.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2 ನೋಡಿ).

x⁵ -9x² +12x-14 ನ್ನು (x -3) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯ x⁵ -9x² +12x-14 ನ್ನು  ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ  ಅದು: 1x⁵ + 0x⁴ + 0x³ - 9x² + 12x - 14.

ಇಲ್ಲಿ ಭಾಜಕದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ  -3

• ಮೊದಲು ’ಭಾಜಕ’ ದ ಕೆಳಗೆ ಭಾಜಕದ  ಋಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 3 ) ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಮುಂದಿನ ಕಂಬಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ  ಭಾಜ್ಯದ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು(1, 0, 0, -9, 12, -14) ಬರೆಯಿರಿ.
• ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದದ ಸಹಗುಣಕವನ್ನು 3 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಸರಿಹೊಂದುವ(ಮೊದಲ) ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 1 )
• 3 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಈ ಕಂಬಸಾಲಿನಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಭಾಜಕ( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 3 )  ಮತ್ತು ಈ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 1 ) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಅದೇ 2 ನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಮುಂದಿನ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ  3 ನೇ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ  3*1=3 ),
• 3 ನೇ ಕಂಬಸಾಲಿನ ಕೆಳಗಿರುವ 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಆಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು  3  ನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ( ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ  0+3=3).
• ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು  ಕೊನೇ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಬರುವ ತನಕ ಮುಂದುವರಿಸಿ.
• 3 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಕೊನೇ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ  ಶೇಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ
• 3 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಉಳಿದ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕಗಳು.

ಭಾಜಕ	ಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ ಕಂಬ ಸಾಲುಗಳು(2 ರಿಂದ)
3	1	0	0	-9	12	-14	ಮೊದಲ ಅಡ್ಡ ಸಾಲು
		3(=3*1)	9(= 3*3)	27(= 3*9)	54(= 3*18)	198(= 3*66)	2 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲು
	1	3=(0+3)	9(= 0+9)	18(=-9+27)	66(=12+54)	184(=-14+198)	3 ನೇ ಅಡ್ಡ ಸಾಲು

ಭಾಗಲಬ್ಧವು 1x⁴+3x³+9x²+18x+54  ಆಗಿದ್ದು ಶೇಷವು  184, ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದೇ ಉತ್ತರ 2.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2 ರಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ದೊರಕಿತ್ತು.

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ  ಗಣಿತ