ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರ

ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯ

• ಭಾರತದ ಜನ ಸಂಖ್ಯೆ 2050,2100 ರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟಾಗಲಿದೆ?
• ವಿವಿಧ ರಾಜ್ಯಗಳ ಮತ್ತು ದೇಶದಲ್ಲಿನ ಸಾಕ್ಷರತಾ ಪ್ರಮಾಣ ಎಷ್ಟಿದೆ?
• ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮಕ್ಕಳು ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ 10/15 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾಗಬಹುದು?
• ಯಾವುದೇ ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದಾದ ವೇತನದ ತಾರತಮ್ಯತೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆ.

ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ದೊರಕಿಸುವ ಗಣಿತದ ಭಾಗವೇ ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರ.

ನಮ್ಮ ದಿನನಿತ್ಯದ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಾಸರಿ ಮಳೆ, ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಕನಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಉಷ್ಣಾಂಶ, ಒಂದು ಎಕರೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುವ ಸರಾಸರಿ ಫಸಲು, ಒಬ್ಬ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರನು ಮಾಡಿದ ರನ್‍ಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಸರಾಸರಿ ಹಾಜರಿ ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವುಗಳೆಲ್ಲಾ ನಾವು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಸರಕಾರಕ್ಕೆ ಮುಂದಿನ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ಒಂದು ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕಲಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು - ಹೀಗೆ ಹಲವು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತ.

ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಗಮನಿಸಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗ ನಕ್ಷೆ. ಈಗ ಇವುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಜನರು ಕೆಲವು ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ  ‘ಈಗ ತುಂಬಾ ಸೆಖೆ’ ಎಂದು ಹೇಳುವುದನ್ನು ಕೇಳಿರಬಹುದು. ಇದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದ ಅಂಶ. ಅವರ ಅನಿಸಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮಾಹಿತಿಗಳಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಹವಾಮಾನ ಇಲಾಖೆಯು ಪ್ರತಿ ದಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಗರಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಉಷ್ಣಾಂಶಗಳ ದಾಖಲೆ ಇಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ ಭಾರತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ನಗರದ ಒಂದು ವರ್ಷದ 12 ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಹಾಗೂ ಕನಿಷ್ಟ ಉಷ್ಣಾಂಶಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.

ತಃಖ್ತೆ:

ತಿಂಗಳು ->	ಜನವರಿ	ಫೆಬ್ರವರಿ	ಮಾರ್ಚಿ	ಎಪ್ರಿಲ್	ಮೇ	ಜೂನ್	ಜುಲೈ	ಅಗೋಸ್ತು	ಸಪ್ಟೆಂ.	ಅಕ್ಟೋ.	ನವಂ.	ದಶಂಬರ
ಗರಿಷ್ಠ (0C) ನಡು ಮಧ್ಯಾಹ್ನ	15	14	20	18	35	36	40	41	35	30	25	22
ಕನಿಷ್ಟ (0C) ಬೆಳಗಿನ ಝಾವ	6	7	10	10	20	22	24	25	22	20	15	-5

ಈ ತಃಖ್ತೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ತಿಂಗಳ ಮಧ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಉಷ್ಣತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ.

ಆದರೆ ಅದನ್ನೇ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸಿದರೆ ಹೇಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವ.

ಇಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ರೇಖೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಉಷ್ಣಾಂಶವನ್ನು ಗುಲಾಬಿ ಬಣ್ಣದ ರೇಖೆಯು ಕನಿಷ್ಟ ಉಷ್ಣಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಗ್ರಾಫ್/ನಕ್ಷೆ) ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು, ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಲ್ಲವೇ?

“ಸಾವಿರ ಶಬ್ದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದನ್ನು ಒಂದು ಚಿತ್ರವು ಹೇಳುತ್ತದೆ.” ಎನ್ನುವ ಹೇಳಿಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲವೇ?

ನಾವೀಗ ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು ನೋಡುವಾ.

ನಕ್ಷೆಯ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ತಿಂಗಳ ಹೆಸರಿದೆ.  ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳಿಗೂ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ 1ಸೆ.ಮಿ. ನಷ್ಟು ಅಂತರ ಬಿಟ್ಟಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಸ್ಕೇಲ್ ಪ್ರಮಾಣ 1ಸೆ.ಮಿ. = 1 ತಿಂಗಳು. ಲಂಬರೇಖೆಯಲ್ಲಿ -10 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ 10 ರ ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ(-10,0,10,20,30,40,50). ಗುರುತುಗಳಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 1ಸೆ.ಮಿ. =10⁰C.

ಯಾವುದೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿè  50⁰C, ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಷ್ಣತೆ ದಾಖಲಾಗಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ 50⁰C ಯ ನಂತರ ಗುರುತು ಮಾಡಿಲ್ಲ. ಅದೇರೀತಿ -10⁰C, ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಉಷ್ಣತೆ ದಾಖಲಾಗಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ,-20⁰C ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗೆಗುರುತು ಮಾಡಿಲ್ಲ. ಈ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ (ಸ್ಕೇಲ್) ಒಂದೇ ಇಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಕೂಡಾ, ಅವುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ದತ್ತಾಂಶಗಳೂ ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಬರಲಿಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು 1ಸೆ.ಮಿ. ಎಂದು ಇಟ್ಟಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಭೂಪಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ 1ಸೆ.ಮಿ =1000 ಕಿ.ಮಿ.ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು.

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ತಿಂಗಳ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಉಷ್ಣತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಆದರೆ ತಃಖ್ತೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ.

ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಡ್ಡ ರೇಖೆಯನ್ನು x ಅಕ್ಷ ವೆಂತಲೂ ಲಂಬ ರೇಖೆಯನ್ನು y ಅಕ್ಷ ವೆಂತಲೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (x, y) ಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾ 1: ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯಂತೆ, ಗರಿಷ್ಠ ತಾಪಮಾನದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಅಡ್ಡಸಾಲು (x ಅಕ್ಷ ) ತಿಂಗಳುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಲಂಬಸಾಲು (y ಅಕ್ಷ) ಗರಿಷ್ಠ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಜನವರಿಯಿಂದ ಡಿಸೆಂಬರ್ ವರೆಗಿನ ತಿಂಗಳುಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ 12 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. ಆಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

ತಿಂಗಳು:   x à	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
ತಾಪಮಾನ: yà	15	14	20	18	35	36	40	41	35	30	25	22
(x, y)à	(1,15)	(2,14)	(3,20)	(4,18)	(5,35)	(6,36)	(7,40)	(8,41)	(9,35)	(10,30)	(11,25)	(12,22)

ಉಷ್ಣತೆ 45 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ನಕ್ಷೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರಲು, ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು 1 ಸೆ.ಮಿ. = 5⁰C ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾ. Y ಅಕ್ಷ ದಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ 0 ಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, 5 ರ ಗುಣಕಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿ (0,5,10,15..). (x,y) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಜೋಡಿಸಿ. ಆಗ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಕ್ಷೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಉದಾ 2: ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲಾ ಕ್ರೀಡಾಕೂಟದಲ್ಲಿ 2000,2001,2002,2003 ಮತ್ತು 2004 ನೇ ಇಸವಿಗಳಲ್ಲಿ 100 ಮಿ. ಓಟದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯದ (ಮೊದಲ 3 ಸ್ಥಾನಗಳು ಮಾತ್ರ)ಮಾಹಿತಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೀರೆಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ.100 ಮಿ. ಓಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದು ಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತಃಖ್ತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ ಹೇಳುವುದು ಸುಲಭವೇ?

ಸಂಖ್ಯೆ	ಹೆಸರು	ತರಗತಿ	ವರ್ಷ	ಸ್ಥಾನ	100 ಮಿ. ಓಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ
1	ರಾಮ	8	2000	1	15ಸೆ.
2	ಜಾನ್	9		2	16ಸೆ.
3	ಕೃಷ್ಣ	10		3	17ಸೆ.
4	ಲೂಯಿಸ್	9	2001	1	12ಸೆ.
5	ಶಾಮ್	8		2	17ಸೆ.
6	ಗೋಪಾಲ	9		3	19ಸೆ.
7	ಅಹ್ಮದ್‍	9	2002	1	13ಸೆ.
8	ಖಾನ್ ಎ.ಕೆ.	8		2	16ಸೆ.
9	ಅರುಣ	10		3	17ಸೆ.
10	ಮೋಹನ	10	2003	1	16ಸೆ.
11	ಫಿಲಿಫ್ಸ	8		2	17ಸೆ.
12	ಅಜಯ್	9		3	18ಸೆ.
13	ಪ್ರಮೋದ	9	2004	1	14ಸೆ.
14	ರೇಮಂಡ್	8		2	15ಸೆ.
15	ಗೋಪಿ	9		3	15ಸೆ.

ಈಗ ನಾವು ಓಟಗಾರರು ತೆಗೆದು ಕೊಂಡ ಸಮಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವಾ: ಅವುಗಳು: 15,16,17,12,17,19,13,16,17,16,17,18,14,15,15 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು. ಈ ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ (ಏರಿಕೆಯ) ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 19.

ಕ್ರ.ಸಂ	ಸಮಯ(ಸೆ..)	ಎಷ್ಟು ಸಾರಿ ಬಂದಿದೆ (ಆವರ್ತಗಳು)
1	12	1
2	13	1
3	14	1
4	15	3
5	16	3
6	17	4
7	18	1
8	19	1
ಒಟ್ಟು		=15  ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯು ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣ ಪಟ್ಟಿ( ungrouped frequency distribution table).

ಈ ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು:-

• ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯು ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣ ಪಟ್ಟಿ( ungrouped frequency distribution table).ಅತೀ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ: 12 ಸೆ.. ಇದು  2001 ರಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿದೆ..
• ಗರಿಷ್ಠ ಸಮಯ: 19 ಸೆ.. (ಮೊದಲ 3 ಸ್ಥಾನ ಬಂದವರಲ್ಲಿ) ಇದು 2001 ರಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿದೆ.
• 17 ಸೆ.. ಹೆಚ್ಚು ಸಾರಿ (4) ಬಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಓಡಲು 17 ಸೆ.. ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಂಪಾಗಿ ಮಾಡಿದಾಗ:

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗ ವ್ಯಾಪ್ತಿ	ಆವರ್ತಗಳು(ಆವೃತ್ತಿ)
1	12ಸೆ. -14ಸೆ.	3
2	15ಸೆ.-17ಸೆ..	10
3	18ಸೆ.-20ಸೆ.	2
ಒಟ್ಟು		=15 ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಈ ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಆವರ್ತವಿತರಣ ಪಟ್ಟಿ (Grouped frequency distribution table) ಎನ್ನುವರು..

ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳು ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದಾಗ, ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಆವರ್ತ ವಿತರಣ ಪಟ್ಟಿಯು ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸುಲಭ.

ನಾವು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ 3- ಸೆಕೆಂಡ್ ಸಮಯದ ಅಂತರವಿಟ್ಟಾಗ {(12-14),(15-17),(18-20)} ವರ್ಗಾಂತರ (15ಸೆ..-17ಸೆ..) ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಆವರ್ತ (10), ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಮಾನಿತರು 100ಮಿ. ಓಡಲು 15 ರಿಂದ 17 ಸೆ. ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದರೆ ತೀರ್ಮಾನ ಬೇರೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಪದಗಳು

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು “ಮೌಲ್ಯ” ಅಥವಾ “ಗಮನಿಸಿದ ಅಂಶ” ಅಥವಾ “ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಅಂಶ” (Scores,observations) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಸಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆಗುವುದೋ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ‘ಆವರ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ’ ಅಥವಾ ‘ಆವೃತ್ತಿ’ (Frequency)ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಸಾರಿ ನಾವು ವರ್ಗೀಕರಣ ಮಾಡುವಾಗ ಪ್ರತೀ ಗುಂಪಿಗೂ ಒಂದು ಅಂತರ ಇಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉಪ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ‘ವರ್ಗಾಂತರಗಳು’ಅಥವಾ ‘ವರ್ಗವ್ಯಾಪ್ತಿ’ (Class-intervals) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಗಳೂ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಒಂದುಸಾರಿ ಒಂದು ಅಂತರದ ವರ್ಗಾಂತರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಮೇಲೆ, ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೇ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬೇಕು. (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 2 -ಸೆಕೆಂಡ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು 3-ಸೆಕೆಂಡ್ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹಾಗಿಲ್ಲ) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಟ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು “ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ” (range of data) ಎನ್ನುವರು.

ಒಂದು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ, ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಕಲೆಹಾಕಿದ ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆ ಕೊಡುವ ಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು “ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರ” (Statistics)  ಎನ್ನುವರು..

ಒಂದು ದೇಶದ ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಬದಲಾವಣೆ, ಹವಾಮಾನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಗಣಿತದ ಈ ಭಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಿಂದ ಸರಕಾರಕ್ಕೆ ಮತ್ತಿತರ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಸ್ತಂಭಾಲೇಖಾ

ಉದಾ 1: ನೀವು ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ, ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಡುವಾಗ ಒಂದು ಶಾಲಾ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ರನ್‍ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಹ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಶತಕ ಬಾರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಚೆಂಡನ್ನು ವಿಕೆಟ್ ಸುತ್ತ ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆಗೆ ಬಾರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಆಗ ಚೆಂಡು ವಿಕೆಟ್ನ ಸುತ್ತ 6 ಪ್ರಮುಖ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗಿರುತ್ತದೆ (ಮಿಡ್ ವಿಕೆಟ್, ಕವರ್, ಲಾಂಗ್ ಆನ್, ಲಾಂಗ್ ಆಫ್, ಫೈನ್ ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಥರ್ಡ್‍ಮೆನ್) ನೀವು ನೂರು ರನ್‍ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ ರೀತಿ ಕೆಳಗಿನ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಈಗ ಚೆಂಡು ಹೊಡೆದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಗಳಿಸಿದ ರನ್‍ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.

ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ: (Bar Chart) ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಲಗಡೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು (ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ ಅಥವಾ ಕಂಬಸಾಲು ನಕ್ಷೆ) ಲಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 5 ರನ್ನುಗಳಿಗೆ 1 ಗುರುತು ಇದೆ. (0 ಯಿಂದ 30). ಚೆಂಡನ್ನು ಹೊಡೆದ ಸ್ಧಳಗಳ ಹೆಸರು ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರತೀ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ತಂಭದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. ಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರವು ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಹೊಡೆದಾಗ ಗಳಿಸಿದ ರನ್ನುಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ. ರನ್ ಹೆಚ್ಚಾದ ಹಾಗೆ ಸ್ಥಂಭದ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತೀ ಸ್ತಂಭದ ಅಗಲ ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಸ್ತಂಭಗಳ ಮಧ್ಯದ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳವೂ ಸಮನಾಗಿದೆ.

ಪೈ ನಕ್ಷೆ (Pie Chart) ಈಗ ನಾವು ಮೇಲಿನ ತಿಳಿಸಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಹೊಸ ಮಾದರಿಯ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವಾ. ಇದನ್ನು ಪೈ ನಕ್ಷೆ ಎನ್ನುವರು. (ಚಿತ್ರನೋಡಿ). ಇಲ್ಲಿ ರನ್ನು ಗಳಿಸಿದ ಪ್ರತೀ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ರನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು3600 ಕೋನದ ಶೇಕಡಾ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. ಪ್ರತೀ ವೃತ್ತ ಖಂಡವೂ ಒಂದೊಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ರನ್ನುಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ. ಶೇಕಡಾ ಪ್ರಮಾಣ ಹೆಚ್ಚಾದಷ್ಟು, ವೃತ್ತ ಖಂಡದ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪೈ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ತಂಭಾಲೇಖಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತ ಎನಿಸುವುದಿಲ್ಲವೆ?

ಏಕೆ?

ನೀಡಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಆಗದಿದ್ದರೆ ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ ಸೂಕ್ತ(ಉದಾ: ದತ್ತ ಅಂಶಗಳು ಬೇರೆ ದೇಶಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಾಗ) ನೀಡಿದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು  ಆಗುವುದಾದರೆ ಪೈ ನಕ್ಷೆಯೇ ಸೂಕ್ತ.

ಉದಾ 2: ಕೆಳಗೆ ತ:ಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ  ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಮಂಡಳಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿನ ಶೇಕಡಾ ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೇಕಡಾ ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಯನ್ನು 0 ಯ ಬದಲಾಗಿ 42 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆ? (ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿದರೆ ನಕ್ಷೆ ತುಂಬಾ ಉದ್ದವಾಗುತ್ತದೆ.)

ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ ಮತ್ತು ಪೈ ನಕ್ಷೆಯ ರಚನೆ

5.2. ಉದಾ 3: ಮಾನವನ ಹೃದಯ ಬಡಿತದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ:-

ಪ್ರಾಯ (ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ)   à	5	10	12	15	18 ರ ಮೇಲೆ
ಹೃದಯ ಬಡಿತ(ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ) à	100	92	85	80	72

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ ಹೃದಯ ಬಡಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೇಕಡಾ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಕ್ಷೆ ‘ಸ್ತಂಭಾಲೇಖ’.

ಹಂತ 1. ಒಂದು ಖಾಲಿ ಹಾಳೆ ಅಥವಾ ನಕ್ಷಾಕಾಗದ(ಗ್ರಾಫ್ ಹಾಳೆ)ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ‘OX’ ಹಾಕಿ. ಹಂತ 2. O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ OX ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ OY ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. OX ರೇಖೆಯು ಮಾನವನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. OY ರೇಖೆಯು ಹೃದಯ ಬಡಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 3. ಹೃದಯ ಬಡಿತ 72 ರಿಂದ 100ರವರೆಗೆ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮಾಣ    1 ಸೆ.ಮಿ. = 10 ಬಡಿತ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ಆಗ, 100 ಬಡಿತ  =  100*1/10 = 10 ಸೆ.ಮಿ 92   ಬಡಿತ =   92*1/10 = 9.2 ಸೆ.ಮಿ 85   ಬಡಿತ = 85*1/10   = 8.5 ಸೆ.ಮಿ 80   ಬಡಿತ = 80*1/10  =  8 ಸೆ.ಮಿ 72   ಬಡಿತ = 72*1cm/10  = 7.2 ಸೆ.ಮಿ ಇವುಗಳು ಸ್ತಂಭಗಳ ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ. ಹಂತ 4. ‘OX’ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ O ದಿಂದ ಸುಮಾರು 1.5 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ è ‘5’ ನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ಇದು ವಯಸ್ಸು 5 ನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ) ಹಂತ 5. ‘5’ರ ಮೇಲೆ 10ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರ (=100 ಬಡಿತ) ಮತ್ತು 1 ಸೆ.ಮಿ. ಅಗಲದ ಒಂದು ಸ್ತಂಭದಿಂದ ರಚಿಸಿ. ಈ ಸ್ತಂಭವು 5ವರ್ಷ ಪ್ರಾಯದವನ ಹೃದಯ ಬಡಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 6. ಈ ಸ್ತಂಭದಿಂದ ಸುಮಾರು 1.5 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ ‘10’ ನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. (ಇದು ವಯಸ್ಸು 10ನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಹಂತ 7. ‘10’ರ ಮೇಲೆ 9.2ಸೆ.ಮಿ (=92 ಬಡಿತ) ಎತ್ತರದ, 1ಸೆ.ಮಿ. ಅಗಲದ ಒಂದು ಸ್ತಂಭವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಸ್ತಂಭವು 10 ವರ್ಷ ಪ್ರಾಯದವನ ಹೃದಯ ಬಡಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 8. 6 ಮತ್ತು 7 ನೇ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉಳಿದ ಪ್ರಾಯಗಳಾದ 12, 15 ಮತ್ತು ‘>18’ ಕ್ಕೂ ಮಾಡಿ.(8.5ಸೆ.ಮಿ., 8ಸೆ.ಮಿ. ಮತು 7.2ಸೆ.ಮಿ.ಸ್ತಂಭ ರಚಿಸಿ) ಪ್ರತೀ ಸ್ತಂಭದ ಅಗಲ ಒಂದೇ ಆಗಿರಲಿ (1ಸೆ.ಮಿ.).

ಉದಾ 4: 250 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ದೂರದರ್ಶನದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಚಾನೆಲ್‍ಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಇಷ್ಟ ಪಡುವವರ ವಿವರಣೆ ಪಟ್ಟಿ ಕೆಳಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ.

	ಚಾನೆಲ್‍ಗಳು	ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು
1	ನ್ಯಾಶನಲ್ ಜಿಯೊಗ್ರಾಫಿಕ್	100
2	ಡಿಸ್ಕವರಿ ಚಾನೆಲ್	50
3	ಸ್ಪೋಟ್ರ್ಸ್ ಚಾನೆಲ್	75
4	ಇತರ	25

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 250 ಇದ್ದು, ಪ್ರತೀ ಚಾನೆಲ್‍ನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೇಕಡಾ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಪೈ ನಕ್ಷೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಹಂತ 1 : ನಾಲ್ಕು ವಿಧದ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೃತ್ತ ಖಂಡದ ಗಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ವಿ.ಸೂ: ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲುಂಟಾಗುವ ಕೋನ 3600. ನಾವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 360 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ವೃತ್ತ ಖಂಡದ ಗಾತ್ರ ನೋಡಿದೆವು. ಹಂತ 2. ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತ ರಚಿಸಿ. ಹಂತ 3. ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳಾಗುವಂತೆ ಗುರುತಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾದ ವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಹಂತ 4. ಪ್ರತೀ ವೃತ್ತ ಖಂಡಕ್ಕು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟು, ಆವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳೊಳಗೆ ಅವುಗಳಿಗನುಸಾರವಾದ ಟಿ.ವಿ. ಚಾನೆಲುಗಳ ಹೆಸರು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉದಾ 5: ಒಂದು ಶಾಲೆಯ  10^ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 4 ವಿಭಾಗಗಳಿದ್ದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿದೆ.

ಅಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ತೋರಿಸಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಾವು 2 ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕಂಬಸಾಲು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.(ಒಂದು ಹುಡುಗರಿಗೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಹುಡುಗಿಯರಿಗೆ) ಎರಡರ ಬದಲು ಎಡಗಡೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ನಮೂದಿಸಿದಾಗ ಅಧ್ಯಯನ ಸುಲಭ. ಈ ರೀತಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು Joint Bar chartಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಬಲಗಡೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ‘Sub-divided bar chart’  ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿಮಧ್ಯಕ ಮಧ್ಯಾಂಕ, ಬಹುಲಕ(ರೂಢಿಬೆಲೆ)

ನೀವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ಹೀಗೆ ಹೇಳುವುದನ್ನು ಕೇಳಿರಬಹುದು:-

“ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 8 ನೇ ತರಗತಿಯ 3 ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವ ಸರಾಸರಿ ವಿಧ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 45”. ಹಾಗೆಂದರೇನು?

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಪ್ರತಿ ಕ್ಲಾಸಿನಲ್ಲಿಯೂ ಹಲವು ವಿಭಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ.(ಉದಾ. 8ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ 3 ವಿಭಾಗಗಳು: A, B ಮತ್ತು C ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಮೂರೂ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

 

Class A                                                Class B                                       Class C

ಉದಾ 1: ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ‘A’ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 47, ‘B’ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 42 ಮತ್ತು  ‘C’ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 46 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಮೂರೂ ವಿಭಾಗಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ 47+42+46 =135. F ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ (ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ,  135/3 = 45 (average) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯ ಪ್ರತೀ ಕ್ಲಾಸಿನಲ್ಲಿರುವ ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 40 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದರೆ,ಆ ವಿಭಾಗದ ಸರಾಸರಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 40

ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 47,42,46 ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳು (scores) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 3 (ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ನ್ನು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (Number of scores) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾ 2: ನಿಮ್ಮ ಪೋಷಕರು, ನೀವು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕ 68 ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ಕೇಳಿರಬಹುದು. ನಿಮಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ವಿಷಯಗಳಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆ: ಇಂಗ್ಲಿಷ್: 60, ಕನ್ನಡ:65,ಸಮಾಜ ವಿಜ್ಞಾನ: 65, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನ: 70, ಗಣಿತ: 80.ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದರೆ 340 ಬರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು 5 (ವಿಷಯ) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಆಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ: 68.ಇದು ನೀವು ಗಳಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ: ಸರಾಸರಿಯು ನಿಮ್ಮ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕವನ್ನಾಗಲೀ (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ್ದು), ಕನಿಷ್ಟ ಅಂಕವನ್ನಾಗಲೀ(ಇಂಗ್ಲಿಷ್) ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯು ಸರಿಯಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ತೊಡಕಾಗಲೂ ಬಹುದು. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಈ ಸರಾಸರಿಯು ಉಪಯುಕ್ತ. (ಉದಾ: ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ಸರಾಸರಿ ಮಳೆ, ಒಂದು ತರಗತಿಯ ಮಕ್ಕಳ ಸರಾಸರಿ ಎತ್ತರ ಇತ್ಯಾದಿ.)

ಉದಾ 3: ನಿಮ್ಮ ನೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರ ಕೆಲವು ಒಂದು ದಿನದ ಪಂದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ರನ್ನುಗಳು ಹೀಗಿವೆ:-

27,45,40,18,80,55, 47,105,46, 40,47. ಹಾಗಾದರೆ ಅವನು ಗಳಿಸಿದ ಸರಾಸರಿ ರನ್ನುಗಳೆಷ್ಟು?

ರೀತಿ:

ರನ್ನುಗಳ ಮೊತ್ತ = 27+45+40+18+80+55+ 47+105+46+40+47 =550

ಪಂದ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 11

ಪಂದ್ಯವೊಂದರ ಸರಾಸರಿ ರನ್ನುಗಳು = 550/11=50

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಸರಾಸರಿ (ಮಧ್ಯಕ) (Mean) = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ/ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

x₁,x₂,x₃,x₄ ….x_n ಇವು ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ ( ‘n’ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ)

ಸರಾಸರಿ = (x₁+x₂+x₃+x₄ ….+x_n)/n

ಸರಾಸರಿ = ( )/ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸಂಕೇತ  ಇದನ್ನು ಓದುವುದು “ಸಿಗ್ಮಾ”. ಇದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಉದಾ: 5.3.3 ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ರನ್ನುಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಾಗೆ ಬರೆದಾಗ ರನ್ನುಗಳು: 18,27,40,40,45,46,47,47,55,80,105.

ಈ ರೀತಿ ಬರೆದಾಗ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆ (11 ರಲ್ಲಿ 6^ನೇ ಯದು) 46. ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಾಂಕ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಮ ಬೆಲೆ ಎನ್ನುವರು.

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಏರಿಕೆಯ (ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಯ) ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ, ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಮಧ್ಯಾಂಕ (‘median’) ವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಆಟಗಾರನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವನ ಸರಾಸರಿ ರನ್ನುಗಳು (50) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಾಂಕ (46)  ಇವೆರಡೂ ಹತ್ತಿರವಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರನ ರನ್ನುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಅವನು 2 ಸಾರಿ 40 ರನ್ನು ಮತ್ತು 47 ರನ್ನುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ) ಎನ್ನುವರು.

ಯಾವುದೇ ದತ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಹುಲಕ ಅಥವಾ ರೂಢಿಬೆಲೆ (Mode) ಎನ್ನುವರು.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪಂದ್ಯಗಳ (ಮೌಲ್ಯಗಳ) ಸಂಖ್ಯೆ 11. 11 ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಾಂಕ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಉದಾ 4: ನಿಮ್ಮ ಊರಿನಲ್ಲಿ 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾದ ತಾಪಮಾನಗಳು ಹಿಗಿವೆ:-

25⁰ C, 30⁰ C, 31⁰ C,34⁰ C,32⁰ C,31⁰ C,30⁰ C,28⁰ C,30⁰ C,31⁰ C_.

ರೀತಿ:

ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾ.

25⁰C,28⁰C,30⁰ C,30⁰ C,30⁰ C,31⁰ C,31⁰ C,31⁰ C,32⁰ C,34⁰ C.

ಈ ವಿವರಗಳನ್ನು ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾ.

ಮೌಲ್ಯಗಳು (x)	ಆವೃತ್ತಿ (f)	fx=x*f
250C	1	25
280C	1	28
300C	3	90
310C	3	93
320C	1	32
340C	1	34
ಮೊತ್ತ ( )	10	302

 

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ (ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ) ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಸರಾಸರಿ (ಮಧ್ಯಕ)= ( )/ ( )= 302/10 = 30.2⁰C

ಮಧ್ಯಮ ಬೆಲೆ = (30+31)/2 =30.5⁰C (ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ 5ಮತ್ತು 6 ನೇ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ)

30⁰C ಮತ್ತು 31⁰C ಇವೆರಡೂ 3 ಸಾರಿ ಬಂದುದರಿಂದ ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ) 30⁰C ಮತ್ತು 31⁰C

ಗಮನಿಸಿ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ (30.2⁰C),ಮಧ್ಯಾಂಕ (30.5⁰C) ಮತ್ತು ಬಹುಲಕ (30⁰C,31⁰C). ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಗಳಿರುವಾಗ, ಸರಾಸರಿ,

ಮಧ್ಯಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕ ಒಂದಕ್ಕೊಂದುಹತ್ತಿರವಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ 1: 9 ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡಾಗ 35 ಬಂತು. ಆದರೆ ನಂತರ ನೋಡಿದಾಗ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಓದುವಾಗ 81 ನ್ನು 18 ಎಂದು ಓದಿದ್ದು ಗಮನಕ್ಕೆ ಬಂತು.

ಹಾಗಾದರೆ ಸರಿಯಾದ ಸರಾಸರಿ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

9 ಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ = 35

9 ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ = 35*9 = 315

81 ನ್ನು 18 ಎಂದು ಓದಿದೆ

9 ಅಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೊತ್ತ = 315-18+81 = 378

ಸರಿಯಾದ ಸರಾಸರಿ = 378/9 = ೪೨

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರವು ಅಥವಾ ವಿಚಲನೆ

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ) (Mean, Median, Mode for grouped data)

ದತ್ತಾಂಶಗಳು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಾಂಕ, ಬಹುಲಕ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಮೌಲ್ಯಗಳು ತುಂಬಾ ಇದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ವರ್ಗಾಂತರಗಳಂತೆ ಗುಂಪುಮಾಡಿ) (5.1.1.ಉದಾ 2 ರಂತೆ)

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ರೂಢಿಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇರೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಮೂಲಕ ತಿಳಿಯುವಾ.

ಉದಾ1: ಒಂದು ಮದುವೆ ಸಮಾರಂಭಕ್ಕೆ ಬಂದ 110 ಮಂದಿಯ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ.

ರೀತಿ:

ವರ್ಗಾಂತರ(CI) ವಯಸ್ಸು	ಆವೃತ್ತಿ (f)
0-10	7
10-20	13
20-30	24
30-40	26
50-60	18
60-70	12
70-79	10

ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮೇಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲೂ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯು ಮುಂದಿನ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.(ಉದಾ: 10 ಎರಡು ಸಾರಿ ಬಂದಿದೆ: (0-10) ರಲ್ಲಿ ಒಂದು (10-20)ರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು).

ಈಗ ಒಂಧು ಪ್ರಶ್ನೆ ಏಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮಿತಿ ‘10’ ನ್ನ ಯಾವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿಡಬೇಕು? ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಆ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.

(ಅಂದರೆ 10 ನ್ನ 10-20 ರಲ್ಲಿ ಇಡದೇ 0-10ರಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.)

ಈಗ ನಾವು ಈ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ರೂಢಿಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ / ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಅದೇ ರೀತಿ ಮಧ್ಯಾಂಕವು ‘30-40’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ (55^ನೇ ಮತ್ತು 56^ನೇ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಮಧ್ಯಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಸದೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸಲು ಕೆಲವೊಂದು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:-

N = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 110

ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು(Mid point) (x) = 

f= ಆವೃತ್ತಿ.

f(x) = f*x

ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯು (Cumulative frequency)ಅಲ್ಲಿಯ ವರೆಗಿನ ವರ್ಗಾಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗಾಂತರ	ಆವೃತ್ತಿ(f)	ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ (cf)	ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು (x)	f(x)=f*x
0-10	7	7	5	35
10-20	13	20=7+13	15	195
20-30	24	44=20+24	25	600
30-40	26	70=44+26	35	910
40-50	18	88=70+18	45	810
50-60	12	100=88+12	55	660
60-70	10	110=100+10	65	650
ಒಟ್ಟು	N=110			= 3860

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ, ಸರಾಸರಿ =  =  = 35.09

ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: 110, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಾಂಕವು 55^ನೇ ಮತ್ತು 56^ನೇ ಮೌಲ್ಯದ ಮಧ್ಯ ಇದೆ. ಇದು ‘30-40’ ರ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ..(20-30 ನೇ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ 44 , 30-40 ನೇ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆ(cf) 70).

i= ವರ್ಗಾಂತದ ಗಾತ್ರ = 11(ಒಂದು ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿ 11 ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ)

L= ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿ (30)

F =ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗಿನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ

m = ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು.

ಆಗ,

ಮಧ್ಯಾಂಕ = L+ (  )*i

= 30+ ( )*11 = 30+ *11 = 30+4.65 = 34.65

ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ)      = 3*ಮಧ್ಯಾಂಕ-2ಮಧ್ಯಕ(ಸರಾಸರಿ)

= 3*34.65- 2*35.1

= 33.75

ಹರವಿನ ಅಳತೆಗಳು : ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವಿಚಲನೆ

ನಾವೀಗ ಒಂದು ತಿಂಗಳಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರಗತಿಯ ಹಾಜರಾತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.

ಮೊದಲ ವಾರ: 45, 44, 41, 10, 40, 60 : ಸರಾಸರಿ = 40

ಎರಡನೇ ವಾರ: 35, 45, 40, 45, 40, 35: ಸರಾಸರಿ = 40

ಈ ಎರಡೂ ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಹಾಜರಿ = 40.ಆದರೆ ಗಮನಿಸಿ:-

1. ಮೊದಲನೆ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಟ ಹಾಜರಾತಿ 10 ಗರಿಷ್ಠ ಹಾಜರಾತಿ 60, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ ತುಂಬಾ ಜಾಸ್ತಿ.

2. ಎರಡನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಷಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಚಿತ್ರಣ ಕೊಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ

ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬೇಕಾದರೆ ನಮಗೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಗಳು ಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಸಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ.

ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡೂ ಕೊನೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಪ್ತಿ(Range) ಎನ್ನುವರು.

ವ್ಯಾಪ್ತಿ (Range) = ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ- ಕನಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ = H-L

ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಗಣಕ (Co-efficient of Range)=  =

ನಮಗೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮಧ್ಯಾಂಶವು ದತ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮವಾದ ಭಾಗ ಮಾಡುವ ಮೌಲ್ಯ.

ಅದೇ ರೀತಿ ದತ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಾಲ್ಕು ಸಮಭಾಗ ಚತುರ್ಥಕ (Quartile). ಇಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಮಾಡುತ್ತೇವೆ:-

ಮೊದಲನೇ ಚತುರ್ಥಕ(Q₁), ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಥಕ (Q₂), ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಥಕ (Q₃). ಇವುಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯ 1/4 ನೇ, 1/2ನೇ ಮತ್ತು 3/4ನೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಥಕವು ಮಧ್ಯಾಂಕವೇ (Median) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ (ಚತುರ್ಥಕದೊಳಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಅರ್ಥ)ಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ(Quartile deviation:QD) = (Q₃-Q₁)/2

ಉದಾ.1 : ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವಾಪ್ತಿಗಣಕ, ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ ಕಂಡುಹಿಡಿ:-

16, 40, 23, 25, 29, 24, 20, 30, 32, 34, 43

ರೀತಿ:

ದತ್ತ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

16, 20, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 40, 43.

ಇಲ್ಲಿ L= 16, H =43 and N=11

ವ್ಯಾಪ್ತಿ = H-L = 43-16 = 27

ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಗಣಕ = = =0.46

ಇಲ್ಲಿ 11 ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿವೆ.

- Q₁ 3^ನೇ (11ರ1/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ= 23.

- Q₃ 8^th (11ರ 3/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ = 34.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ = (Q₃-Q₁)/2 =  = 5.5

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ (Co-efficient of QD) = (Q₃-Q₁)/ (Q₃+Q₁) =

= =0.1

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ,

N = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

i = ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ.

L = ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಲಮಿತಿ.

F =ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ.

m = ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿ.

ಆಗ,

ಮಧ್ಯಾಂಕ = L+ ( )*i = Q₂

ಇದೇ ರೀತಿ ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ,

Q₁ = L+ ( )*i

Q₃ = L+ ( )*i

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ

L = ಅನುಕ್ರಮ ಚತುರ್ಥಕಗಳಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿ.

F = ಆ ಚತುರ್ಥಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗಿನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ.

m = ಆ ಚತುರ್ಥಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು.

ಉದಾ. 2: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಣಕ, ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ. (100 ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)

ವರ್ಗಾಂತರ CI	ಆವೃತ್ತಿ f
4-8	6
9-13	10
14-18	18
19-23	20
24-28	15
29-33	15
34-38	9
39-43	7

ರೀತಿ:

ಇಲ್ಲಿ N = 100, i = 5 ಈಗ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ:

ವರ್ಗಾಂತರ CI	ಆವೃತ್ತಿ f	ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ cf
4-8	6	6
9-13	10	16
14-18	18	34
19-23	20	54
24-28	15	69
29-33	15	84
34-38	9	93
39-43	7	100

ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥಕ Q₁ನೋಡಲು 25^ನೇ (100ರ 1/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ ಬೇಕು. ಅದು ’14-18’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ.

L= 13.5, F=16, m= 18

Q₁ = L+ ( ) * i

= 14 + *5 = 14 + 2.5 = 16.5

ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಥಕ Q₃ ನೋಡಲು ನಮಗೆ 75^ನೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ (100ರ 3/4) ಬೇಕು. ಅದು ’29-33’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ.

L = 29, F = 69, m = 15

Q₃ = L+ ( )*i

=29+ *5 = 29+2 =31

ಚತುರ್ಥ ವಿಚಲನೆ QD = (Q₃-Q₁)/2

=  =7.25

ಚತುರ್ಥ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ = (Q₃-Q₁)/ (Q₃+Q₁) =  = = 0.31

ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ: (ಮಧ್ಯಕವಿಚಲನೆ) (Mean Deviation for Ungrouped data):

ಇಲ್ಲಿ ಹೆಸರೇ ಹೇಳುವಂತೆ, ನಾವು ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ (ಮಧ್ಯಕ)ಯಿಂದ ಆಗುವ ವಿಚಲನೆಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 2 ವಿಧಾನಗಳಿವೆ – ಮಧ್ಯಾಂಕವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.

ಉದಾ. 1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿ.

90, 125, 115, 100, 110.

ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ:

ದತ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

90, 100, 110, 115, 125

ಇಲ್ಲಿ N= 5, ಮಧ್ಯಾಂಕ(M) = 110 (3^ನೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ)

= 90+100+110+115+125=540

ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ( ) =  =  =108

ಮೌಲ್ಯಗಳು	I ವಿಧಾನ ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ ವಿಚಲನೆ D= X-M	II ವಿಧಾನ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ D= -M
90	-20(90-110)	-18(90-108)
100	-10(100-110)	-8(100-108)
110	0(110-110)	2(110-108)
115	5(115-110)	7(115-108)
125	15(125-110)	17(125-108)
= 540	=20+10+0+5+15= 50	=18+8+2+7+17= 52

 

ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ |D| ಯು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡ್D ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಮಧ್ಯಾಂಕದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವಿಚಲನೆ =  =  =10

ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ =  =  =10.4

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ(Mean Deviation for Grouped data):

[ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಕೂಡಾ 2 ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು - ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ, ಮಧ್ಯಕದಿಂದ]

5.4.4 ಉದಾ. 1. ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ವರ್ಗಾಂತರ	ಆವೃತ್ತಿ f
0-20	8
20-40	10
40-60	19
60-80	14
80-100	9

ರೀತಿ:

ಇಲ್ಲಿ N = 60, i= 21

ಮಧ್ಯಾಂಕ (M) = L+ ( )*i

= 40 + *21 = 40+13.3 = 53.3 (ಇಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಪಡೆದಿದೆ)

ವರ್ಗಾಂತರC.I	ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು (x)	ಆವೃತ್ತಿf	I ವಿಧಾನ ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ ವಿಚಲನೆ			II ವಿಧಾನ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ
			cf	D = x-M	f*|D|	fx	D = x-	f*|D|
0-20	10	8	8	-43.3	346.4	80	-42	336
20-40	30	10	18	-23.3	233	300	-22	220
40-60	50	19	37	-3.3	62.7	950	-2	38
60-80	70	14	51	16.7	233.8	980	18	252
80-100	90	9	60	36.7	330.3	810	38	342
		N=60			=1206.2	=3120		= 1188

ಸರಾಸರಿ ( ) =  = = 52.

ಮಧ್ಯಾಂಕ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ=  = = 20.10

ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ =  = = 19.8

ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು

ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವೆಂದು ನಾವೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲು 2 ವಿಧಾನಗಳಿವೆ: (1) ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಂ (ಆಯತಚಿತ್ರ) (Histogram)

(2) ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ(Frequency polygon)

ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಂ(ಆಯತ ಚಿತ್ರ): ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೇರ ಆಯತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಯತಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರವು ಆವೃತ್ತಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆ (ಗ್ರಾಫ್)ಬೇಕು. ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು xಅಕ್ಷದಲ್ಲು, ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು.

ಉದಾ. 1. ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಆಯತ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ ರಚಿಸಿ:

ವರ್ಗಾಂತರ	ಆವೃತ್ತಿ
0-20	8
20-40	10
40-60	19
60-80	14
80-100	9

ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ:

ವರ್ಗಾಂತರ ಮತ್ತು ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣ (ಸ್ಕೇಲ್) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ 
(ಇಲ್ಲಿ 1ವರ್ಗಾಂತರ = 1ಸೆ.ಮಿ. ಮತ್ತು 2ಆವೃತ್ತಿ =1ಸೆ.ಮಿ.)

ಆಯತ ಚಿತ್ರ:

ಹಂತ1: ಒಂದು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ 0 ಗುರುತಿಸಿ, x ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 2: 0ಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ  ಒಂದು ಗುರುತಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಅಗಲ 1ಸೆ.ಮಿ. ಇರಲಿ.  (ಆಗ ವರ್ಗಾಂತರದ ಸ್ಕೇಲ್: 1ವರ್ಗಾಂತರ = 1ಸೆ.ಮಿ.) ಹಂತ 3: ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.  (ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಯುವಂತೆ) ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ: 1ಸೆ.ಮಿ. = 2f. ಆದ್ದರಿಂದ,  8f =4ಸೆ.ಮಿ., 10f =5ಸೆ.ಮಿ., 19f = 9.5ಸೆ.ಮಿ.,  14f = 7ಸೆ.ಮಿ., 9f =4.5ಸೆ.ಮಿ..(ಆದ್ದರಿಂದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಪ್ರಮಾಣ: 2f = 1ಸೆ.ಮಿ.) ವರ್ಗಾಂತರ ಆವೃತ್ತಿ X(ಪಾದ) Y(ಎತ್ತರ) 0-20 8 0 ರಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ. 4ಸೆ.ಮಿ. 20-40 10 1 ರಿಂದ 2 ಸೆ.ಮಿ. 5ಸೆ.ಮಿ. 40-60 19 2 ರಿಂದ 3 ಸೆ.ಮಿ. 9.5ಸೆ.ಮಿ. 60-80 14 3 ರಿಂದ 4 ಸೆ.ಮಿ. 7ಸೆ.ಮಿ. 80-100 9 4 ರಿಂದ 5 ಸೆ.ಮಿ. 4.5ಸೆ.ಮಿ.                     ಹಂತ 4: ಮೊದಲ ವರ್ಗಾಂತರ (0-20)ಸೂಚಿಸುವ4ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರದ ಆಯತ ರಚಿಸಿ. ಹಂತ 5: ಮೇಲಿನ ಆಯತಕ್ಕೆ ತಾಗಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ವರ್ಗಾಂತರ ಆವೃತ್ತಗನುಗುಣವಾದ 5ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರದ ಆಯತ ರಚಿಸಿ. ಈಗ ಈಎರಡೂ ಆಯತಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಇರುವುದು. ಇದೇರೀತಿ ಉಳಿದ ವರ್ಗಾಂತರಗಳಿಗೂ ಆಯತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

 

ಗಮನಿಸಿ:-

• ವರ್ಗಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೂ, ಆವೃತ್ತಿಗಳು y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೂ ಇವೆ.
• ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಸ್ಕೇಲ್ (ಪ್ರಮಾಣ) ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.
• ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯತಗಳ ಅಗಲ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.
• ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯತಗಳ ಬಾಹುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.
• ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರವು ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಇವೆ.
• ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಖಾಲಿ ಇದ್ದರೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಓರೆಕೋರೆ ಕಂಸಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.)

ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ (1^ನೇ ವಿಧಾನ) (Frequency Polygon- Method I):

ಆಯತ ಚಿತ್ರದ ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಗಳ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ರೇಖೆಯೇ ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ(frequency polygon).

ಹಂತ 1: ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಆಯತ ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿರಿ. ಹಂತ 2: x- ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಈಗ ಇರುವ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. (ಇಲ್ಲಿ f = 0 ಆದ್ದರಿಂದ, (-20- 0) ಮತ್ತು (100 -120) ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಎತ್ತರ = 0cm) ಹಂತ 3: ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ಮತ್ತು 5.5ಸೆ.ಮಿ. ಮತ್ತುyಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ 0, 4, 5, 9.5, 7, 4.5 ಮತ್ತು 0).   ವರ್ಗಾಂತರ f X ಪಾದದ ಮಧ್ಯ y (x, y) (-20) -0 0 -0.5 0 (-0.5 , 0) 0-20 8 0.5 4 (0.5, 4) 20-40 10 1.5 5 (1.5, 5) 40-60 19 2 .5 9.5 (2.5, 9.5) 60-80 14 3.5 7 (3.5, 7) 80-100 9 4.5 4.5 (4.5, 4.5) 100-120 0 5.5 0 (5.5, 0)   ಹಂತ 4: ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಗಳ ತುದಿಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದೊರೆತದ್ದೇ ಆವರ್ತಾಂಕಬಹುಭುಜ.

 

ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ

ಹಂತ 1: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಎರಡೂ ಕಡೆ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (-20- 0) ಮತ್ತು(100 – 120). ಹಂತ 2: x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. (ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ) (1C.I. = 1cm). ಈ ಬಿಂದುಗಳು -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ಮತ್ತು 5.5 ಹಂತ 3: ದತ್ತ ಸ್ಕೇಲ್‌ಗನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಗನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(2f=1cm). ಈ ಬಿಂದುಗಳು y-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ : 0, 4, 5, 9.5, 7, 4.5 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿವೆ.   ವರ್ಗಾಂತರ f X (ಪಾದದ ಮಧ್ಯ) y (x, y) -20 -0 0 -0.5 0 (0, 0) 0-20 8 0.5 4 (.5, 4) 20-40 10 1.5 5 (1.5, 5) 40-60 19 2 .5 9.5 (2.5, 9.5) 60-80 14 3.5 7 (3.5, 7) 80-100 9 4.5 4.5 (4.5, 4.5) 100-120 0 5.5 0 (5.5, 0)   ಹಂತ 4: ಈ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಜೋಡಿಸಿ.

ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ ವಕ್ರ ರೇಖೆ

ಇಂತಹ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ (ವರ್ಗೀಕೃತ  ಅಥವಾ ಅವರ್ಗೀಕೃತ) ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗನುಗುಣವಾಗಿ  ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಒಂದು ನಯವಾದ ವಕ್ರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.ದತ್ತಾಂಶ ಅಥವಾ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು x ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಲು  5.4.5.1 ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಉದಾ. 2. ಅಗೀವ್ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿರಿ.

C.I	f
0-20	8
20-40	10
40-60	19
60-80	14
80-100	9

ಕ್ರಮ:

1. ಮೊದಲು 0 ಆವೃತ್ತಿ ಇರುವ ಹಾಗೆ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವರ್ಗಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ( ಇಲ್ಲಿ ಅದು -20 ದಿಂದ  0 ಆಗಿದೆ) 2. ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದಂತೆ  (-20 ದಿಂದ 0) ದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ವರ್ಗಾಂತರದ  ತ:ಖ್ತೆ ಯನ್ನು ರಚಿಸಿ.   ವರ್ಗಾಂತರ f cf (x,y) ಬಿಂದು -20-0 0 0 (0,0) 0-20 8 8 (20,8) 20-40 10 18 (40,18) 40-60 19 37 (60,37) 60-80 14 51 (80,51) 80-100 9 60 (100,60   3. ಸೂಕ್ತ ಸ್ಕೇಲ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು  x ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ. (ಇಲ್ಲಿ 1 ಸೆ.ಮೀ =10   ವರ್ಗಾಂತರ ) 4. ಸೂಕ್ತ ಸ್ಕೇಲ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ. (ಇಲ್ಲಿ 1 ಸೆ.ಮೀ =10cf) 5. ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯೇ ಆಗೀವ್.

ಗಮನಿಸಿ:-ಆಗೀವ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು(ಉದಾಹರಣೆಗೆ 30 ರ ವರೆಗಿನ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ 13.(ಕೆಂಪು ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ)

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ

ಪೀಠಿಕೆ:

ನೀವು ವಾರ್ತಾಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರರ ಆಟದ ತುಲನೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಓದಿರಬಹುದು. ಅವರು ಏನನ್ನು ತುಲನೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ? ಒಬ್ಬನು ಇನ್ನೊಬ್ಬನಿಗಿಂತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾನೆ ಅಥವಾ ಒಬ್ಬನು ಇನ್ನೊಬ್ಬನಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಕಲಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಡುತ್ತಾನೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಕಲಾತ್ಮಕತೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟಗುಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ಅವರು ಗಳಿಸಿದ ರನ್ನುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವರ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಈ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ ನೋಡೋಣ

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ (Standard deviation):

ನೀವು ವಿಚಲನೆ ಶಬ್ದಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ತಿಳಿದಿರಬಹುದು. (ನಿಯಮದಿಂದ ವಿಚಲನೆ, ಕೆಲಸದಿಂದ ವಿಚಲನೆ, ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ವಿಚಲನೆ... ಇತ್ಯಾದಿ) ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಮಾನದಂಡಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

‘ಮಾನ’ವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ‘ಸರಾಸರಿ’ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾ.1: ಒಬ್ಬ ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರನು 6 ಇನ್ನಿಂಗ್ಸ್ ನಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ರನ್ ಗಳು: 48,50,54,46,48,54

ವಿಧಾನ:

ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಸಂಕೇತಗಳು:

X = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಗಣ. (48,50,54,46,48,54)

N = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (=6)

= ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ (AM) = ( )/N

d = ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ = X -

ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ = (48+50+54+46+48+54)/6 = 50

ಹಂತ 2: d (= X-AM) ಮತ್ತು d² ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಃಖ್ತೆ:

ಸಂ.	ರನ್ನುಗಳು (X)	ವಿಚಲನೆ (d) = X-	(ವಿಚಲನೆ)2 = d2
1	48	-2	4
2	50	0	0
3	54	4	16
4	46	-4	16
5	48	-2	4
6	54	4	16
	=300	=0	= 56

ಹಂತ 3: ಪ್ರಸರಣ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ = / N

ಹಂತ 4: ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ: (SD) =  = 

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ   (ರೋ) ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ = =  =  = = 3.05.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯು(Standard deviation) ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲ ಆಗಿರುವುದು.

ವಿವರಣೆ: ಈ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸುಮಾರಾಗಿ ಆಟಗಾರನು ಗಳಿಸಿದ ರನ್ನುಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (=50) ಯಿಂದ 3.05 ( 3) ರಷ್ಟು ವಿಚಲನೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆ.

ಅಂದರೆ ಅರ್ಥ ಮುಂದಿನ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರನು ಸಾಧಾರಣ 47-53 {(50-3)-(50+3)} ರನ್ನುಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಬಹುದು.

ಗಮನಿಸಿ: ಅಕಸ್ಮಾತ್ ಆಟಗಾರನ ರನ್ನುಗಳು 48,100,50,10,2,80 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವನ ರನ್ನುಗಳು 50ರ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಇರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಮುಂದಿನ ಪಂದ್ಯಗಳಲ್ಲಿಅವನು

ಗಳಿಸಬಹುದಾದ ರನ್ನುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮ:-

ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು:X = {x_1, x₂ , x_3……….. x_n} ಆಗಿರಲಿ.

N = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

= ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಾಸರಿ (AM) = (x₁+x₂ + x₃+…… x_n)/N=  / N

ಹಂತ 1: ಪ್ರತೀ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಕ್ಕು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ. (d=X-) ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ d² ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಹಂತ 2: ಪ್ರಸರಣ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ = ( )/ N

ಹಂತ 3: ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ (SD) ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿ.

SD = = 

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ: ಸರಾಸರಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗದೇ ಇರುವಾಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಯಿತು. ಆದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗದೇ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, d²ವನ್ನುಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇರೆಯೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.      ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ (A) ಎಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ.

2.      ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ D(= X-A) ಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.      ವಿಚಲನೆಗಳ ಮೊತ್ತ  ಕಂಡುಹಿಡಿ.

4.      ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕದ ವಿಚಲನೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ (d²) ವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೈಜ ಸರಾಸರಿ = ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ + ( )/N

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ =  [( d²)/N - (( d)/N)²]

ಈಗ ನಾವು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ.

ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ 54 (A = 54.) ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾ. N = 6.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಃಖ್ತೆ

ಸಂಖ್ಯೆ	ರನ್ನುಗಳು (X)	ವಿಚಲನೆ (D) d= X-A	(ವಿಚಲನೆ)2 = d2
1	48	-6	36
2	50	-4	16
3	54	0	0
4	46	-8	64
5	48	-6	36
6	54	0	0
		= -24	= 152

 

ನೈಜ ಸರಾಸರಿ = ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ + ( )/N= 54 + (-24/6) = 54-4 = 50

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ =  [( d²)/N - (( d)/N)²]

=   [152/6 –(24/6)²] =  (25.33-16) =  (9.33) =3.05

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲೂ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಒಂದೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು ದತ್ತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಹಲವು ಸಾರಿ ಬಂದಿದ್ದರೆ ಈ ಕ್ರಮ ತುಂಬಾ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ

ಒಂದು ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳು (X) ---à	X1	X2	X3	……	Xn
ಆವೃತ್ತಿ (f) ------à	f1	f2	f3	……..	fn

N = ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ = f₁ + f₂ + f₃ +…….. f_n= 

ಹಂತ 1: ಪ್ರತೀ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಕ್ಕೂ  f*x ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 2: ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿ  = ( )/N

ಹಂತ 3: ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಕ್ಕೂ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ d = (X-)

ಹಂತ 4: ಪ್ರಸರಣೆಯ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ = ( (f*d²))/N

ಹಂತ 5: ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ( ) =  [( (f*d²))/N]

ಉದಾ. 2: ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಂಕಗಳು (X)    ---à	10	20	30	40	50	60
ಆವೃತ್ತಿ(ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು) (f)--à	8	12	20	10	7	3

 

ವಿಧಾನ:

N (ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ)  = = 8+12+20+10+7+3=60

ಮೌಲ್ಯಗಳು (X)	ಆವೃತ್ತಿ (f)	fX	ಮೌಲ್ಯಗಳು = d=(X-)	d2	f*d2
10	8	80	-20.83	433.89	3471.11
20	12	240	-10.83	117.29	1407.47
30	20	600	-.83	0.69	13.78
40	10	400	9.17	84.09	840.89
50	7	350	19.17	367.49	2572.42
60	3	180	29.17	850.89	2552.67
	N= =60	= 1850			(f*d2)=10858.33

ಸರಾಸರಿ == ( )/N= 1850/60 =30.83

ಪ್ರಸರಣ ವಿಚಲನೆ = ( f*d²)/N = 10858.33/60= 180.97

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ: ( ) =  [ (f*d²)/N] = (180.97) =13.45

ತೀರ್ಮಾನ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ = 30.83. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ 13.45ರಷ್ಟು ವಿಚಲನೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ  ಸರಾಸರಿ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದಲೇ d, d² ಮತ್ತು f*d² ಗಳು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಲೆಕ್ಕ ಕಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಬೇಕು.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ (Alternate Method)

ಹಂತ 1:  ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿಯೆಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ (A)

ಹಂತ 2: ಪ್ರತೀ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಈ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ (d) ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಹಂತ 3: ಪ್ರತೀ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ  f*d, d² ,f*d² ಕಂಡು ಹಿಡಿ.

ಹಂತ 4: ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಸರಾಸರಿ == A +  /N, N =

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ: ( )= [ (f*d²)/N - ( (f*d)/N)² ]

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 30 ನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾ. ಆಗ,

ಮೌಲ್ಯಗಳು (X)	ಆವೃತ್ತಿ (f)	ವಿಚಲನೆ (d) =X-A	f*d	d2	f*d2
10	8	-20	-160	400	3200
20	12	-10	-120	100	1200
30	20	0	0	0	0
40	10	10	100	100	1000
50	7	20	140	400	2800
60	3	30	90	900	2700
	N= =60		=50		(f*d2)=10900

 

ಸರಾಸರಿ = A+ ( )/ (N) = 30+50/60 = 30+0.83= 30.83

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ( ) =  [ (f*d²)/N - ( (f*d)/N)²]

=  [(10900/60) – (50/60)²]

=  (181.67 - 0.69) = (180.97) =13.45

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ = 30.83. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ 13 ಅಂಕಗಳಷ್ಟು ವಿಚಲನೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆ.

ಎರಡೂ ವಿಧಾನದಲ್ಲೂ ಒಂದೇ  ಉತ್ತರ ಬಂದಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೊಡುವುದರಿಂದ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮ

ಹಂತ 1: ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 2: ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕು  f*x ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 3: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ == (  )/N, N = .

ಹಂತ 4: ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕೂ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ  ()ವಿಚಲನೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ (d=X-)

ಹಂತ 5: ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕೂ d² ಮತ್ತು f*d² ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 6: ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.:  ( ) =  [ (f*d²)/N]

ಉದಾ. 3: ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆ:-

 

ಅಂಕಗಳು	ಆವೃತ್ತಿ (f)	ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು (x)	f*x	d=(X-)	d2	f*d2
25-30	5	28	140	-9.2	84.64	423.2
30-35	10	33	330	-4.2	17.64	176.4
35-40	25	38	950	0.8	0.64	16
40-45	8	43	344	5.8	33.64	269.12
45-50	2	48	96	10.8	116.64	233.28
	N = = 50		=1860			(f*d2)=1118

 

ವಿಧಾನ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ==  /N = 1860/50 = 37.2

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ: ( ) =  [ (f*d²)/N] =  (1118/50) =  (22.36) =4.728

ತೀರ್ಮಾನ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ =37.2. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಂಕಗಳು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ 5 ವಿಚಲನೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ (ಹಂತ - ವಿಚಲನಾಕ್ರಮ) [Alternate Method (Step – Deviation Method)]:

ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಾರಣ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ (A).

ಹಂತ 2: ಊಹಿಸಿಕೊಂಡ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ‘ಹಂತ-ವಿಚಲನೆ’ (=d) ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

d=(X-A)/i: ‘i’ ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ.

ಹಂತ 3: d², f*d ಮತ್ತು f*d² ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 4: ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ: == A + [ /N]*i

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ: ( ) =  [ (f*d²)/N - ( (f*d)/N)²]*i

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಾ.

ಅಲ್ಲಿ 43 ನ್ನ ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿ (A) ಎಂದು ಊಹಿಸುವಾ.

i = ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ = 5.

ಹಂತ 1 ರಿಂದ 3 ರ ರೀತ್ಯಾ:

ಅಂಕಗಳು	ಆವೃತ್ತಿ (f)	ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು(x)	d=(X-A)/i	f*d	d2	f*d2
25-30	5	28	-3	-15	9	45
30-35	10	33	-2	-20	4	40
35-40	25	38	-1	-25	1	25
40-45	8	43	0	0	0	0
45-50	2	48	1	2	1	2
	N = = 50			= - 58		(f*d2)=112

 

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ == A+ [ /N]*i = 43 + [(-58/50)*5] = 43 + (-1.16)*5 = 43-5.8 = 37.2

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ:

( ) =  [ (f*d²)/N - ( (f*d)/N)²]*i

=  [(112/50)- {-58/50} ²]*5

=  [2.24 - {-1.16} ²]*5

=  [2.24 – 1.3456]*5

=  [0.8944]*5

=.9457*5

=4.728

ತೀರ್ಮಾನ: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ = 37.2. ಅವರು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಸರಾಸರಿಯಿಂದ 5 ಅಂಕಗಳಷ್ಟು ವಿಚಲಿತವಾಗುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ತಂಡಗಳ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವಾಗ ಅವರ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ

ಈ ‘ಸ್ಥಿರತೆ’ಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು?

ಈ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು “ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ” (Co efficient of variation) ವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಹರವಿನ ಒಂದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ *100/ ಸರಾಸರಿ.

 

ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕವು ಮೂಲಮಾನಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತವಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೇಕಡಾ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಶೇಕಡಾ ಪ್ರಮಾಣ ಕಡಿಮೆಯಾದಷ್ಟು ಸ್ಥಿರತೆ ಹೆಚ್ಚು. ಸರಾಸರಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ,

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ,

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = (4.728*100)/37.2  =12.68

ಉದಾ. 4: A ಮತ್ತು B  ಎಂಬ ಇಬ್ಬರು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಆಟಗಾರರು 6 ಇನಿಂಗ್ಸ್‍ಗಳಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಿದ ರನ್ನುಗಳು ಹೀಗಿದೆ:-

 

A ಆಟಗಾರ	48	50	54	46	48	54
B ಆಟಗಾರ	46	44	43	46	45	46

 

ಈ ಮೇಲಿನ ಇಬ್ಬರಲ್ಲಿ ಯಾರು ಉತ್ತಮ ಸ್ಕೋರರ್? ಯಾರು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರತೆ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ?

ವಿಧಾನ:

ಈ ಇಬ್ಬರ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಉದಾ. (5.1) ರಲ್ಲಿ ಈ A ಆಟಗಾರರ ರನ್ನುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಾಸರಿ = 50

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ = 3.05

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ *100/ ಸರಾಸರಿ = 3.05*100/50 = 6.1%

ಈಗ B ಆಟಗಾರನ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ಸರಾಸರಿ = 270/6 = 45

ಸಂ.	ರನ್ನುಗಳು (X)	ವಿಚಲನೆ (D) d= X-	d2
1	46	1	1
2	44	-1	1
3	43	-2	4
4	46	1	1
5	45	0	0
6	46	1	1
	=270	=0	=8

 

 

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ,

=  ( /N)=  (8/6) = (1.33) = 1.15

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ *100/ ಸರಾಸರಿ = 1.15*100/45 =2.55%

ಫಲಿತಾಂಶ:

1. Aಯ ಸರಾಸರಿಯು B ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (50>45) ಆದ್ದರಿಂದ A ಯು B ಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಸ್ಕೋರರ್.

2. B ಯ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ  A ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ  (1.15<6.1) ಆದ್ದರಿಂದ B ಯು  ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರ ಆಟಗಾರ.

ಉದಾ. 5: ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 10ನೇ ತರಗತಿಯ A ಮತ್ತು B ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆ:-

ಅಂಕಗಳು	A ವಿಭಾಗದವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	B ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಸಂಖ್ಯೆ
25-30	5	5
30-35	10	12
35-40	25	20
40-45	8	8
45-50	2	5

 

 

ಯಾವ ವಿಭಾಗದ ಸಾಧನೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ? ಯಾವ ವಿಭಾಗದ ಸಾಧನೆ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರ? ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸಲು, ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ ಬೇಕು.

ರ ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ A ವಿಭಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ =37.2

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ=4.728

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ *100/ಸರಾಸರಿ = 4.728*100/37.2 =12.7%

ಈಗ B ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ‘ಹಂತ-ವಿಚಲನ’ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ಹಂತ 1: ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿ: A =38 ಆಗಿರಲಿ. (A=28,33,43,48 ಯಾವುದೂ ಆಗಬಹುದು)

ಹಂತ 2: ಅಂದಾಜಿನ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಹಂತ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು (d) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

d=(X-A)/i: ‘i’  ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ = 5.

ಹಂತ 3: ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕೂ d², f*d, f*d² ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 4: ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ =  = A+ [ /N]*i

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ = ( ) =  [ (fd²)/N- { (fd)/N} ²]*i:

ಅಂಕಗಳು	ಆವೃತ್ತಿ (f)	ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು(x)	d=(X-A)/i	fd	d2	fd2
25-30	5	28	-2	-10	4	20
30-35	12	33	-1	-12	1	12
35-40	20	38	0	0	0	0
40-45	8	43	1	8	1	8
45-50	5	48	2	10	4	20
	N = = 50			= - 4		(fd2)=60

 

ಅಂಕಗಣಿತ ಸರಾಸರಿ =  = A+ [( )/N]*i

= 38 +[(-4/50)*5]

= 38+ -0.08*5 = 43-0.4  = 37.6

ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ( ) =  [ (f*d²)/N - ( (f*d)/N)²]*i

=  [(60/50)- {-4/50} ²]*5

=  [1.2 - {-0.08} ²]*5

=  [1.2 – 0.0064]*5

=  [1.1936]*5

=1.0925*5 =5.4625

ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ *100/ ಸರಾಸರಿ = 5.4625*100/37.6  = 14.52%

ತೀರ್ಮಾನ:

1. B ವಿಭಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕವು A ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ (37.6>37.2), ಆದ್ದರಿಂದ B ಯ ಸಾಧನೆ A ಗಿಂತ ಉತ್ತಮ.

2. B ಯ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕವು A ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ (14.52>12.7), ಆದ್ದರಿಂದ B ಯ ಸಾಧನೆಯು A ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರ.

ಉದಾ. 6: ಒಂದು ಕೈಗಾರಿಕಾ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಗಳೆಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಡುವ ಸರಾಸರಿ ವಾರದ ವೇತನ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ಹೀಗಿದೆ:-

ಕಾರ್ಖಾನೆ	ಸರಾಸರಿ ವೇತನ (ರೂ.ಗಳಲ್ಲಿ)	ವೇತನ ಮಾನಕವಿಚಲನೆ (ರೂ.)
A	34.5	6.21
B	28.5	4.56

 

ಯಾವ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ವೇತನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತಾರತಮ್ಯವಿದೆ?

ವಿಧಾನ:

ಈಗ ನಾವು ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.

A ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ *100/ಸರಾಸರಿ = 6.21*100/34.5 = 18%

B ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕ = ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ *100/ಸರಾಸರಿ = 4.56*100/28.5 = 16%

A ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ಮಾರ್ಪಿನ ಗುಣಾಂಕವು B ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ದರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (18>16). ಆದ್ದರಿಂದ A ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ವೇತನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತಾರತಮ್ಯವಿದೆ.

(A ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ನೌಕರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವೇತನವನ್ನು ಕೊಟ್ಟರೂ ಸಹ, ಅವರ ವೇತನಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತಾರತಮ್ಯವಿದೆ. )

ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

X = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಗಣ

= ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ (AM)

d = ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ.

f = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆವೃತ್ತಿ.

i = ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ.

x= ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು.

ಸಂ.	ಸಂದರ್ಭ	ಆಯ್ಕೆ	N=	AM=	ವಿಚಲನೆ(d)	ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ ( )
1	ಬಿಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು		ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	=( )/N	X-
		A =ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ	ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ	= A+ ( )/N	X-A
2	ಆವರ್ತ ಇರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು			= /N	X-
		A =ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ		= A +  /N	X-A
3	ಆವರ್ತ ಇರುವ ವರ್ಗಾಂತರ			=  /N	X-
		A =ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ		= A+ [ /N]*i	d=(X-A)/i

ಸೂಚನೆ:ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರ ನೆನಪಿಡಿ:-

ವರ್ಗೀಕರಣ ಮಾಡದೇ ಇರುವ/ಆವರ್ತ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, f=1, i=1 ಆದೇಶಿಸಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸೂತ್ರ ಪಡೆಯಿರಿ

ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದಾಗ,  =0

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ