অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ  ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳ ಕುರಿತು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಳಲೇ?

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ತನ್ನ ಮನ್ನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:

ಸಂ.

ಕ್ರಿಯೆ.

ಉದಾ

1

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಹತ್ತಿರ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೇಳಿ

27 ಇರಲಿ

2

ಅದನ್ನು  2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಹೇಳಿ

54

3

ಅದಕ್ಕೆ  4 ನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಹೇಳಿ

58

4

ಅದನ್ನು  2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು  ಹೇಳಿ

29

5

ಉತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಹೇಳಿ

29

ಆ ಉತ್ತರದಿಂದ  2 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ, ಅವನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿರಿಸಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆ 27!

ಇದರ ಹಿಂದಿರುವ ಗಣಿತ ಏನು?

x ಒಂದು  ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ.

ಸಂ.

ಕ್ರಿಯೆ

ಉದಾ

1

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಹತ್ತಿರ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲಿರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೇಳಿ

x ಇರಲಿ

2

ಅದನ್ನು  2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಹೇಳಿ

2x

3

ಅದಕ್ಕೆ  4 ನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಹೇಳಿ

2x+4

4

ಅದನ್ನು  2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು  ಹೇಳಿ

x+2

5

ಉತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಹೇಳಿ

x+2

ಆ ಉತ್ತರದಿಂದ  2 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ, ಅವನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿರಿಸಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆ x

ಹೀಗೆಯೇ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಸೂತ್ರದ ಕುರಿತು ಆಲೋಚಿಸಿ.(ಉದಾ 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, .....)

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಕಲ್ಪನಾ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇಂತಹ ಹಲವಾರು ಚಮತ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ 9 ರ ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶೇಷತೆ.

1.      ಸಂಖ್ಯೆ 123456789 ರ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ 45(=1+2+3+4+5+6+7+8+9)

2.      ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ246913578.ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವೂ 45(=2+4+6+9+1+3+5+7+8). ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶ ಎಂದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 9 ರ ವರೆಗೆ ಪ್ರತೀ ಆಂಕಿಯು ಇದ್ದುದಲ್ಲದೇ ಯಾವುದೇ ಆಂಕಿಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ! 123456789 ನ್ನು  4,5,7,8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸುವಿರಿ?

3.      9 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ(ಅವು: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90,99,108,117..( ಇವುಗಳಲ್ಲಿನ ಆಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ  9(1+8=9,2+7=9.. ) ಆಗಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ.

ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಿರಿ?

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಹಿಂದಿನ ವರ್ಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಕ್ರಮಿಕವಾದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಆಶ್ಚರ್ಯವೆನಿಸುವುದೇ? ಇದರ ಹಿಂದೆ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ (a+b)2 ವಿಸ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿಯಲಿದ್ದೀರಿ. ಅದರಂತೆ

(n+1)2= n2+2n+12= n2+(2n+1).

ಇಲ್ಲಿ 2n+1 ಎನ್ನುವುದು  n2 ನಲ್ಲಿನ ಕೊನೇ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ  ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮೇರು ಪ್ರಸ್ತಾರ: ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಈ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ತುತ್ತ ತುದಿಯ ಮೊದಲ ಚೌಕದೊಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದ್ದು ಇದು Row 0 ಆಗಿದೆ.ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕದ ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯು 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು. Row 1 ಸಾಲಿನ ಚೌಕದೊಳಗಿನ ಅಂಕೆಗಳು 1 ಮತ್ತು 1 ಆಗಿವೆ. ಇದು ಅದರ ಮೇಲಿರುವ ಚೌಕದಲ್ಲಿನ 1 ಮತ್ತು 0 ಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. Row 2 ಸಾಲಿನ  ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 1,2,1 ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ 0,1, 1,1 ಮತ್ತು 0,1 ರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. (0+1=1; 1+1=2; 1+0=1). Row 3 ಸಾಲಿನ  ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 1,3,3,1 ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಚೌಕದಲ್ಲಿರುವ 0,1, 1,2,2,1 ಮತ್ತು 0,1 ರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. (0+1=1; 1+2=3; 2+1=3; 0+1=1).ಹೀಗೇಯೇ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಬಹುದು. [ ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, n ಎನ್ನುವುದು ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮತ್ತು r ಎನ್ನುವುದು ಚೌಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತೀ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು nCr = ಇಂದ ತುಂಬಿಸಬಹುದು]. nCr ಕುರಿತು ಮುಂದಿನ ತರಗತಿ 10 ರ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿಕ್ಕಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ರಿ, ಪೂ. 2ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ ಪಿಂಗಳನು ತನ್ನ ಛಂದಸ್ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದು ನಮಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇರು ಪ್ರಸ್ತಾರ(ಮೇರು ಪರ್ವತದ ಮೆಟ್ಟಿಲು)  ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿತ್ತು. ಇದಕ್ಕೆ ಕ್ರಿ.ಶ. 10ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ  ಹಲಾಯುಧನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ವಿಪರ್ಯಾಸವೆಂದರೆ  ಇದನ್ನು 1900 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರೂ,  ಕ್ರಿ.ಶ. 17ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞನಾದ  ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್  ನ  ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ!

ಪಿಂಗಳನ ಮೇರುಪ್ರಸ್ತಾರದ  ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.

ವಿಶೇಷತೆಗಳು( ಇಲ್ಲಿ n (0 ಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ) ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ):

1. ಚೌಕದೊಳಗಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಯಾವಾಗಲೂ 2n(ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಗುರುತಿಸಿದೆ) (ಉದಾ:  1 = 20 1+1=2=21, 1+2+1=4= 22 1+3+3+1=8=23,,)

2. ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವಾಗಲೂ 11n(ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಿಂದ ಗುರುತಿಸಿದೆ)( ಉದಾ: 1= 110,11 = 111 ,121= 112, 1331= 113…)

3. ಕರ್ಣದ ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (1,2,3…. ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳು)

4. ಕರ್ಣದ ಚೌಕದಲ್ಲಿನ  ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಅಂಕೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ  ಅದು  ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (1= 12, 1+3=4=22, 3+6=9=32, 6+10=16= 42,…. ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳು)

(ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ)

5. ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ 2 ನೇ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಅಂಕೆಗಳು  ಅದರ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.( ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಾಲು 3 ರಲ್ಲಿ 3,3 ; ಸಾಲು 5 ರಲ್ಲಿ 5,10,10,5  ; ಸಾಲು 7 ರಲ್ಲಿ 7,21,35,35,21,7 )

 

ಮೇಲಿನ   ಮೇರುಪ್ರಸ್ತಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಾಗ:

ಮೊದಲನೆಯ 1 ನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ಹಿಂದಿನ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಅವು

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89(2= 1+1, 3=2+1, 5=2+3,8=3+5, 13=5+8, 21=8+13, 34=13+21..)

ಈ ಸರಣಿಯನ್ನುಇಟೆಲಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫಿಬೊನಾಚ್ಚಿ(12 ನೇ ಶತಮಾನ) ಸರಣಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಮಾಯಾಚೌಕ:

ಇದು 3X3 ಚೌಕವಾಗಿದ್ದು 9 ಚೌಕಗಳಿವೆ(3 ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳು: R1, R2 ಮತ್ತು  R3). (3 ಕಂಬ ಸಾಲುಗಳು C1, C2 ಮತ್ತು C3). ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳು 1 ರಿಂದ 9 ವರೆಗೆ ಇದ್ದು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆಯು ಬಿಟ್ಟುಹೋಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೂ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ,

 

ಪ್ರತೀ ಆಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ( R1, R2 ಮತ್ತು  R3) ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ15.

ಪ್ರತೀ ಕಂಬ ಸಾಲಿನ (C1, C2 ಮತ್ತು C3) ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ15.

ಕರ್ಣದ  ಸಾಲಿನ (ಕೆಂಪು ಗೆರೆಯಿಂದ ಎಳೆದಿದೆ) ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ 15.

15 ನ್ನು ಮಾಯಾಮೊತ್ತ(‘Magic sum’)  ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಅದು ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ/ಕಂಬಸಾಲಿನ/ಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಮೇಲಿನದೂ ಒಂದು  ಮಾಯಾಚೌಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು 2 ರಿಂದ 18 ರ ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು(9 ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಹೊಂದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮಾಯಾ ಮೊತ್ತ 30.

ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

 

5X5 ಮಾಯಾಚೌಕ (ಮಾಯಾಮೊತ್ತ=65)

7X7 ಮಾಯಾಚೌಕ (ಮಾಯಾಮೊತ್ತ=175)

ಮಾಯಾಮೊತ್ತ ನೀಡಿದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಮಾಯಾಚೌಕ ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?. ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಮಾಯಾಮೊತ್ತ 45 ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಯಾಚೌಕ

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕೆಲವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹುಟ್ಟಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತಾಗಿ ಕಲಿತೆವು. ಹಾಗಾದರೆ ಗಣಿತವೆಂದರೆ ಇಷ್ಟೇನಾ?

ಒಂದು ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ  ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಕುರಿತು ಆಲೋಚಿಸೋಣ

ಸಮಸ್ಯೆ : ನಿಮ್ಮ ತಂದೆ/ತಾಯಿ/ಸಂಬಂಧಿಕರು ಅವರ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗೆ ರೂ. 5000  ಸಾಲಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಆತನಿಗೆ ಭಾರವಾಗದಿರಲಿ ಎಂದು ಸಾಲ ತೀರಿಸುವ ಕ್ರಮ ಈ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ.  ದಿನವು ಆ ದಿನದ ಸಂಖ್ಯೆಗನುಗುಣವಾಗಿ  1  ರೂ  ನಂತೆ 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  ಸಾಲತೀರಿಸುವುದು(1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ  2 ನೇ ದಿನ 2 ರೂ …. 100 ನೇ ದಿನ 100 ರೂ). ಹೀಗಾದರೆ  ಆ ಸ್ನೇಹಿತನು ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಎಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು/ಕಡಿಮೆ ಹಣವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತಾನೆ?

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು 1 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ 100  ರ ವರೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಮೊತ್ತ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಲ್ಲವೇ?

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಮ:

1

+2

+3

+4

…  :

+100

====

 

====

ಬಹುಷ: 10 ರ ತನಕ ಕೂಡಿಸುವಲ್ಲಿ ತಾಳ್ಮೆ ಕಳೆದುಕೊಂಡು ಕೈ ಚೆಲ್ಲುವಿರೇ? ಬೇರೆ ರೀತಿ ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಕ್ರಮ 1:

1+2+3+4+5  . . .+100   ನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎರಡು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ ಹೇಗೆ?

1+   2+   3+4+5      …+50

100+  99+  98+ . . ..      +51

==================

101+101+101 . ..  .      +101

==================

= 50*101= 5050

 

ಕ್ರಮ 2:

1+2+3+4+5  . . .+10=55

11+12+13+  . . .+20=(10+1)+(10+2)+(10+3)+ . . .+(10+10)=155

21+22+23+  . . .+30=(20+1)+(20+2)+(20+3)+ . . .+(20+10)=255

. . . . . .

91+92+93+  . .+100=(90+1)+(90+2)+(90+3)+ . . .+(90+10)=955

Total = 55+155+255 …… +955= 100+200…+900+55*10= 100(1+2+3 …. +9)+550=4500+550=5050

 

ಕ್ರಮ 3:

1+2+3+4+5  . . .9+10

1)1 ಮತ್ತು  10 ರ ಸರಾಸರಿ =5.5

2)2 ಮತ್ತು   9 ರ ಸರಾಸರಿ=5.5

..

5) 5 ಮತ್ತು   6 ರ ಸರಾಸರಿ=5.5

(1+2+3+4+5  . . .9+10)/2=5.5*5= 55

(1+2+3+4+5  . . .9+10)= 5.5*10= 55(ಸರಾಸರಿ* ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)

ಇದೇ ತರ್ಕವನ್ನು  1+2+3+4+5  . . .+100  ರಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ

1 ಮತ್ತು  100 ರ ಸರಾಸರಿ =50.5 ಆಗಿದ್ದು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು100 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ

1+2+3+4+5  . . .+100=50.5*100= 5050

 

 

ವಿಧಾನಗಳು ಬೇರೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಉತ್ತರ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಸಮಯದ ಉಳಿತಾಯವಾಗುತ್ತದೆ.  ಸ್ನೇಹಿತ ರೂ. 5000 ಸಾಲವನ್ನು 100  ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಲವನ್ನು ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿ ತೀರಿಸುವುದೂ ಅಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಹಾಗಿ ರೂ. 50 ನ್ನು ನೀಡಿರುತ್ತಾನೆ.

 

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರಲ್ಲೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯ ಪರಿಪಾಲನೆ ಮುಖ್ಯವಾಗುವ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ(CET , CAT, GMAT, KAS, IAS,ಬ್ಯಾಂಕಿಂಗ್,ಪೋಲೀಸ್ ..) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ಭಾಜ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ.

ಭಾಜಕ

ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕಾದರೆ

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

2

ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು (0,2,4,6,8)

128 Yes

 

129 No

3

ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ  3  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

381 (3+8+1=12, ಮತ್ತು 12÷3 = 4) Yes

217 (2+1+7=10, ಮತ್ತು 10÷3 = 3 1/3No

4

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

1312 Yes (12÷4=3)

7019 No

5

ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 0  ಅಥವಾ 5 ಆಗಿರಬೇಕು

175 Yes

809 No

6

ಸಂಖ್ಯೆಯು 2  ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

114 (ಸಮಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು 1+1+4=6 ಮತ್ತು 6÷3 = 2) Yes

308 (ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ,3+0+8=11 ಮತ್ತು 11÷3 = 3 2/3No

7

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೇ ಅಂಕೆಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆದಾಗ ದೊರಕುವ ಉತ್ತರ

  • 0
  • ಅಥವಾ
  • 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

(ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ದೊರಕಿದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉತ್ತರದ ಮೇಲೂ ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಬಹುದು)

672 ( 2 ರ ದ್ವಿಗುಣ  4, 67-4=63, ಮತ್ತು 63÷7=9) Yes

63(3 ರ ದ್ವಿಗುಣ  6, 6-6=0) Yes

905 (5 ರ ದ್ವಿಗುಣ 10, 90-10=80, ಮತ್ತು 80÷7=11 3/7No

8

ಕೊನೆಯ 3 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ದೊರಕಿದ ಉತ್ತರವು 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು.

109816 (816÷8=102) Yes

 

216302 (302÷8=37 3/4No

9

ಸಂಖೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ  9  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು
(ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ದೊರಕಿದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉತ್ತರದ ಮೇಲೂ ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಬಹುದು)

1629 (1+6+2+9=18, ಮತ್ತು ಪುನ: 1+8=9) Yes

 

2013 (2+0+1+3=6) No

10

ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ  0

220 Yes

221 No

11

(ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ - ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ)

0

ಅಥವಾ

11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

1364 ((3+4) - (1+6) = 0Yes

3729 ((7+9) - (3+2) = 11Yes

 

25176 ((5+7) - (2+1+6) = 3No

12

ಸಂಖ್ಯೆಯು 3  ಮತ್ತು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು

 

648
( 3 ರಿಂದ? 6+4+8=18 ಮತ್ತು 18÷3=6 Yes
4 ರಿಂದ? 48÷4=12 Yes) Yes

524
(3 ರಿಂದ? 5+2+4=11, 11÷3= 3 2/3 No
4 ರಿಂದ - ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಿಲ್ಲ.) No

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯ

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತ ಮುತ್ತ  ಕಂಡು  ಬರುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ. 1 ತಲೆ 2 ಕಣ್ಣು, ಮೂರು ನದಿಗಳು ಸೇರುವ ತ್ರಿವೇಣಿ ಸಂಗಮ,4 ವೇದಗಳು, 5 ಕೈ ಬೆರಳುಗಳು, 7 ಸಪ್ತ ಸ್ವರಗಳು, 8 ಅಷ್ಟ ದಿಕ್ಕುಗಳು  9 ನವ ರಸಗಳು, ಎರಡು ಕೈ ಸೇರಿ  ಸೇರಿ 10 ಬೆರಳುಗಳು . . .

ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ‘ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ :- 1, 4, 5…100…1000 ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ‘N’ ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

N = {1, 2, 3…..}

ವಿ. ಸೂ. :- 0 ಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಏಕೆ?

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು (Properties of Natural Numbers)

3+2 = 5, 3+4=7

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಸಂಕಲನ  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆವೃತ್ತ ಗುಣ (Closure property)  ಹೊಂದಿದೆ.

ಈಗ , 3-2 = 1 ಇದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಆದರೆ, 3-4 = -1 ಇದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ.è.

ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆವೃತಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

3*2=6, 3*4=12

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಗುಣಾಕಾರ  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆವೃತ್ತ ಗುಣ (Closure property)  ಹೊಂದಿದೆ.

ಈಗ, 4÷2  = 2 ಇದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ

ಆದರೆ, 2÷4 = 1/2 ಇದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವು  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆವೃತಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ: 2+3 = 3+2 , 4+5 = 5+4

ಆದ್ದರಿಂದ a, b ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,  a+b = b+a.

ಈ ಲಕ್ಷಣವು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಗುಣವನ್ನು ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ(commutative property of addition) ಎನ್ನುವರು.

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ,  3-2  2-3 ಮತ್ತು  5-4  4-5

ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನವು  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಈಗ, 2*3 =3*2, 6*5 =5*6

ಆದ್ದರಿಂದ a, b ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, a*b = b*a.

ಈ ಗುಣವು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಣವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ(commutative property of multiplication)  ಎನ್ನುವರು.

ಆದ್ದರಿಂದ, 4÷2   2÷4 , 3÷2  2÷3

ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವು  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

(2+3)+6 = 2+(3+6) ,   (4+5)+8 =4+(5+8) ಆಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಈ ರೀತಿ a, b, c  ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ   (a+b)+c  = a+(b+c)

ಈ ಗುಣವು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲೂ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಹವರ್ತನ ಗುಣ (associative property of addition) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

(4-3)-2 = -1    ;   4-(3-2) = 3

(4-3)-2  4-(3-2)

ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಸಹವರ್ತನ ಗುಣ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

(2*3)*6 = 2*(3*6) ,   (4*5)*8 =4*(5*8)

ಈ ರೀತಿ a, b, c  ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ  (a*b)*c  = a*(b*c)

ಈ ಗುಣ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತನೀಯ ಗುಣ (associative property of multiplication) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

(8÷2) ÷2 = 4÷2 =2

8÷ (2÷2) = 8÷1 =8

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಉತ್ತರಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸಹವರ್ತನೀಯ ಗುಣ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

‘ಸೊನ್ನೆ’ಯು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಭಾರತೀಯರ ಅಮೋಘ ಕೊಡುಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದ್ದೀರಿ. ಅದೇ ರೀತಿ ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಅನುಸರಿಸಿದವರೂ ಭಾರತೀಯರೇ.

ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪೇ ‘ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ’ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು W ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

W = {0, 1, 2, 3, 4…..}

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಗಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಬರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗದ ಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿದರೂ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ ‘0’ ಯು ಸಂಕಲನದ ಅನನ್ಯತಾಂಶ

1 ನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೂ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ‘1’ ನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಅನನ್ಯತಾಂಶ (Identity element of multiplication) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು

ನಾವು ಪತ್ರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ ಓದುತ್ತೇವೆ - ಒಂದು ನಗರದ ಉಷ್ಣಾಂಶ   -50 ಸೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಉಷ್ಣಾಂಶವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತಲೂ 5 ಡಿಗ್ರಿ ಕಡಿಮೆ.

ಈ ರೀತಿ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

{1, 2, 3, 4 ….} ಈ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

{-4,-3, -2, -1 ….} ಇವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

0 ಯು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ. ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ.

ಗಣ Z = {…..-4, -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4….} ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ : ಈ ಗಣವು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೊಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯ ಬಲಬದಿಗೂ, ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯ ಎಡಬದಿಗೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

-2 ಕ್ಕೂ 0 ಗೂ ಇರುವ ದೂರ ಎಷ್ಟು? ಹಾಗೆಯೇ 0 ಗೂ 2 ಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೂರ ಎಷ್ಟು? 2 ಮಾನಗಳು ಅಲ್ಲವೇ?

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ  ಯ ಧನ(+)ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಧನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯು ಧನಚಿಹ್ನೆ ಹೊಂದಿದ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.  ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ x  ನ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯನ್ನು |x| ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

+5 ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ +5 ಅಥವಾ 5

-5  ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ +5 ಅಥವಾ 5

ಆದ್ದರಿಂದ ಧನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ = ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ

1) ಎರಡು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ:

(+1) + (+4 )

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ (+1) + (+4) = +5

ಎರಡು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೂಡಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ,ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ + ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

2) ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ:

(-1) + (-4)

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ (-1) + (-4) = -5

ಆ ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ನಿರಪೇಕ್ಷ (absolute)ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ  - ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

- {|-1| + |+4|} =  - (1+4) = -5

 

3) ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನ :

3.1)   (+5) + (-3 )

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ (+5) + (-3) = +2

ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -ಇವುಗಳ ಸಂಕಲನ ಮಾಡುವಾಗ,ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

3.2)   (-4) + (+2 )

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ (-4) + (+2) = -2

ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -ಇವುಗಳ ಸಂಕಲನ ಮಾಡುವಾಗ,ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಣೆ:

3.1)  (+5) + (-3 ). ಇವುಗಳ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ 5 ಮತ್ತು 3. ಇವೆರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2(=5-3). ಹೆಚ್ಚು ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ ಹೊಂದಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ +5 ಇದರ ಚಿಹ್ನೆ +

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಧನ ಚಿಹ್ನೆ ಕೊಡಬೇಕು.

(+5) + (-3 ) = +5 ರ ಚಿಹ್ನೆ[ (+5)ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ – (-3)ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ]= +[ 5 – 3]= +2     :    +[|+5| - |-3|] =  + [ 5-3] = 2

3.2)  (-4) + (+2 ). ಇವುಗಳ ನಿರಪೇಕ್ಷಬೆಲೆ 4 ಮತ್ತು 2. ಇವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2(=4-2). ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ ಹೊಂದಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ: -4 ಇದರ ಚಿಹ್ನೆ (-)

ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆ ಕೊಡಬೇಕು.

(-4) + (+2 ) = -4 ರ ಚಿಹ್ನೆ [ (-4) ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ – (+2) ರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆ]  = - [ 4 – 2] = - 2   :   -[|-4| - |+2|] =  - [4-2] = -2

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

  1. ಎರಡು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
  2. ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
  3. ಎರಡು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿಯಿದ್ದರೆ, ಮೊತ್ತವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  4. ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಯು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ ಮೊತ್ತವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಕಲನ

ಹೇಳಿಕೆ

ನಿರೂಪಣೆ

ಸುಲಭೀಕರಣ

ಫಲಿತಾಂಶ

-5 ರಿಂದ 3 ನ್ನ ಕಳೆ

-5  -  3   

-5 + (-3)

- 8

5 ರಿಂದ   3 ನ್ನ ಕಳೆ

5   -  3  

5 + (-3)

2

-5 ರಿಂದ  -3 ನ್ನ ಕಳೆ

-5  –  (-3)

-5 + (+3)

-2

5 ರಿಂದ  -3 ನ್ನ ಕಳೆ

5   –  (-3)

5 + (+3)

8

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

  1. ಕಳೆಯಲಿಕ್ಕಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ.
  2. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕಲನದ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ಗುಣಿಸುವುದು ಪದೇ ಪದೇ ಕೂಡಿಸುವುದೇ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದಾಗ ಗುಣಲಬ್ಧ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ;

ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

ಕ್ರಿಯೆ

ಗುಣ್ಯ

ಗುಣಕ

ಗುಣ ಲಬ್ಧ

ಪರಿಣಾಮ

ಗುಣ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋದಾಗ

3

2

6

ಗುಣಲಬ್ಧ 2ಕಡಿಮೆಆಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ .          

 

2

2

4

1

2

2

0

2

0

-1

2

-2

-2

2

-4

-3

2

-6

 

ಗುಣಲಬ್ಧ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

 

ಕ್ರಿಯೆ

ಗುಣ್ಯ

ಗುಣಕ

ಗುಣ ಲಬ್ಧ

ಪರಿಣಾಮ

ಗುಣಕವನ್ನು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋದಾಗ

2

3

6

ಗುಣಲಬ್ಧ 2ಕಡಿಮೆಆಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ .

 

2

2

4

2

1

2

2

0

0

2

-1

-2

2

-2

-4

2

-3

-6

 

ಗುಣಲಬ್ಧ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

ಕ್ರಿಯೆ

ಗುಣ್ಯ

ಗುಣಕ

ಗುಣ ಲಬ್ಧ

ಪರಿಣಾಮ

 

 

 

 

ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ

ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 10/15/2019



© C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate