ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ. M ಎಂಬುದು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು..
AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ AM ಮತ್ತು MB ಗಳು ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ.
‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳಒಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಮೂರೂ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು (1/6)AB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ x ಆಗಿರಲಿ.
OR=OP =x
AB=a ಆಗಿರಲಿ
CP = CM= a/4, MR=a/2
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
1 |
OMCಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ |
OM ಎಂಬುದು C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ |
2 |
OC2 = MC2+OM2 |
OMCಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ |
3 |
ಎಡಭಾಗ = (x+(a/4))2 = x2+ax/2+ (a2/16) |
OC = OP+PC = x+(a/4) |
4 |
ಬಲಭಾಗ = (a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2 |
MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x |
5 |
x2+ax/2+ (a2/16) =(a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2 |
ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ |
6 |
3ax/2=(a2/4) |
|
7 |
x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB |
|
ಪ್ರಮೇಯ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
(i) ಸಮವಾಗಿಯೂ
(ii) ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು
(iii) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ
ದತ್ತ: ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು PBಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
ಸಾಧನೀಯ:
(i) PA=PB
(ii) APO= BPO
(iii) AOP= BOP
ಸಾಧನೆ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
OA = OB |
ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು |
|
2 |
OAP= OBP= 900 |
PA ಮತ್ತು PBಗಳುA ಮತ್ತು Bಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಗಳು AO ಮತ್ತು BO ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು. |
|
3 |
OPಯು AOP ಮತ್ತು BOP ಗಳಿಗೆ ಉಭಯಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು.. |
|
|
4 |
AOP BOP |
ಲಂ.ಕ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ |
|
5 |
PA=PB |
ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು |
|
6 |
APO= BPO |
ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು |
|
7 |
AOP= BOP |
ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು |
ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ XY ಮತ್ತು PCಗಳು 2 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
XPY = 90 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
1 |
CX= CP |
CX ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. |
2 |
CXP = CPX =x0 |
CXP ಯಲ್ಲಿ 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. |
3 |
CY =CP |
CY ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದೆಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
4 |
PYC = CPY =y0 |
2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. |
5 |
CXP + XPC + CPY + PYC = 1800 |
PXY ಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು |
6 |
i.e. x0+x0+y0+y0= 1800 |
|
7 |
2(x0+y0)= 1800 |
|
8 |
i.e. (x0+y0) = XPY = 900 |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು Pಯಿಂದ PQ ಮತ್ತು PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. PQR = 600 ಆದರೆ, ಜ್ಯಾ QR ನ ಉದ್ದವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
PQ=PR |
ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. |
|
2 |
PQR = PRQ |
PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. |
|
3 |
PQR =600 |
2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. |
|
4 |
PQR = PRQ = 600 |
ದತ್ತ |
|
5 |
PQR ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ |
2 ರಿಂದ |
|
6 |
PQ=PR=QR |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು PRಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು QPR= 900 ಆದರೆ PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
OQP= 900 = ORP |
PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. |
|
2 |
QPR=900 |
ದತ್ತ |
|
3 |
OQ || PR |
|
|
4 |
QOR =3600- OQP- QPR - ORP = 3600-900-900-900= 900 |
|
|
5 |
OR || QP |
|
|
6 |
PQOR ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ |
OQ=OR (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು) |
|
7 |
PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ |
|
ಸಮಸ್ಯೆ 6: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ AT ಮತ್ತು BTಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು TP=TQ ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ವನ್ನ ಎಳೆದಿದೆ. TAB ||| TPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
AT=BT |
TA, TBಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
|
2 |
TAB= TBA |
2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. |
|
3 |
PT=QT |
TP ಮತ್ತು TQ T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
|
4 |
TPQ= TQP |
2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. |
|
5 |
ATB= 1800- ( TAB+ TBA) = 1800- 2 TAB |
TAB ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 1800 |
|
6 |
ATB= 1800- ( TPQ+ TQP) = 1800- 2 TPQ |
TPQ ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ= 1800 |
|
7 |
TAB = TPQ |
5 ಮತ್ತು 6 ರ ಬಲಭಾಗ ಹೋಲಿಸಿ. |
|
8 |
TAB = TPQ= TQP = TBA |
7, 4, 2 ರಿಂದ |
|
9 |
TAB ||| TPQ |
ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ. |
ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಕೊಟ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A,B,C ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ.
AP+BQ+CR =BP+CQ+AR ಅಲ್ಲದೆ AP+BQ+CR = 1/2 * ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಮತ್ತು AB=AC ಆದರೆ,BQ=QC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
PA=AR |
A ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
|
2 |
BQ=BP |
B ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
|
3 |
CR=CQ |
C ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು |
|
4 |
PA+BQ+CR =AR+BP+CQ |
1+2+ 3 ರಿಂದ |
|
5 |
AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC |
|
|
6 |
AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ |
|
|
7 |
= 2 (AP+BQ+CR) = ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ |
|
|
8 |
AB=AC |
ದತ್ತ |
|
9 |
AP+PB=AR+RC |
|
|
10 |
PB=RC |
1 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ |
|
11 |
BQ=CQ |
2,10 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ |
ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ TP ಮತ್ತು TQಗಳು ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆದರೆ
1. OTಯು PQ ದ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
2. PTQ =2 OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
TPR ಮತ್ತು TQR ಗಳಲ್ಲಿ |
|||
1 |
TP=TQ, PTR= QTR |
6.14 ಪ್ರಮೇಯ (TP, TQ ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು) |
|
2 |
TR ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು |
|
|
3 |
TPR TQR |
ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ |
|
4 |
PR=RQ and PRT =QRT |
|
|
5 |
PRT = 900 |
4 ರಿಂದ |
|
6 |
PTR +RPT = 900 |
ಲಂಬಕೋನ PRT ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು |
|
7 |
OPT = 900=OPR+RPT |
PT ¸ ಸ್ಪರ್ಶಕ OP ತ್ರಿಜ್ಯ P = 900 |
|
8 |
PTR =OPR |
6 ಮತ್ತು 7 |
|
9 |
PTQ = 2 PTR |
1 ರಿಂದ |
|
10 |
= 2 OPR |
8 ರಿಂದ |
ಸಂ. |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
1 |
ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು -ಸಮವಾಗಿಯೂ -ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನಮತ್ತು -ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. |
ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ
ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 11/13/2019
ವೃತ್ತಗಳು - ಭಾಗ 2