অসমীয়া   বাংলা   बोड़ो   डोगरी   ગુજરાતી   ಕನ್ನಡ   كأشُر   कोंकणी   संथाली   মনিপুরি   नेपाली   ଓରିୟା   ਪੰਜਾਬੀ   संस्कृत   தமிழ்  తెలుగు   ردو

ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳು

ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ. M ಎಂಬುದು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು..

AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ AM ಮತ್ತು MB ಗಳು ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ.

‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳಒಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಮೂರೂ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು (1/6)AB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ x ಆಗಿರಲಿ.

OR=OP =x

AB=a ಆಗಿರಲಿ

CP = CM= a/4, MR=a/2

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OMCಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ

OM  ಎಂಬುದು C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ   M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ

2

OC2 = MC2+OM2

OMCಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ

3

ಎಡಭಾಗ = (x+(a/4))2 = x2+ax/2+ (a2/16)

OC = OP+PC = x+(a/4)

4

ಬಲಭಾಗ = (a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2

MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x

5

x2+ax/2+ (a2/16)

=(a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2

ಎಡಭಾಗ =  ಬಲಭಾಗ

6

3ax/2=(a2/4)

 

7

x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB

 


ಪ್ರಮೇಯ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

(i)                 ಸಮವಾಗಿಯೂ

(ii)               ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು

(iii)              ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ

 

ದತ್ತ: ‘O’  ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು PBಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

ಸಾಧನೀಯ:

(i)                 PA=PB

(ii)                APO=  BPO

(iii)               AOP=  BOP

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OA = OB

ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

OAP=  OBP= 900

PA ಮತ್ತು PBಗಳುA ಮತ್ತು

Bಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಗಳು

AO ಮತ್ತು BO ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು.

3

OPಯು AOP ಮತ್ತು  BOP ಗಳಿಗೆ

ಉಭಯಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು..

 

4

AOP  BOP

ಲಂ.ಕ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

5

PA=PB

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

6

APO=  BPO

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

7

AOP=  BOP

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

 

ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ XY ಮತ್ತು PCಗಳು 2 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

XPY = 90 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

CX= CP

CX  ಮತ್ತು  CPಗಳು C  ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

CXP = CPX =x0

CXP  ಯಲ್ಲಿ 2  ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

3

CY =CP

CY  ಮತ್ತು  CPಗಳು C  ಬಿಂದುವಿನಿಂದೆಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

PYC  = CPY =y0

2  ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

5

CXP +  XPC +  CPY + PYC = 1800

PXY ಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು

6

i.e. x0+x0+y0+y0= 1800

 

7

2(x0+y0)= 1800

 

8

i.e. (x0+y0) = XPY = 900

 


ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು

ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು Pಯಿಂದ PQ ಮತ್ತು PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ.   PQR = 600 ಆದರೆ, ಜ್ಯಾ QR ನ ಉದ್ದವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

PQ=PR

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

PQR = PRQ

PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

3

PQR =600

2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

4

PQR = PRQ = 600

ದತ್ತ

5

PQR ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

2 ರಿಂದ

6

PQ=PR=QR

 

 

ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು PRಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು  QPR= 900 ಆದರೆ PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OQP= 900 = ORP

PQ  ಮತ್ತು  PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

QPR=900

ದತ್ತ

3

OQ || PR

 

4

QOR =3600- OQP- QPR - ORP =

3600-900-900-900= 900

 

5

OR  ||  QP

 

6

PQOR  ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ

OQ=OR  (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು)

7

PQOR  ಒಂದು ವರ್ಗ

 


ಸಮಸ್ಯೆ 6: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ AT ಮತ್ತು BTಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು TP=TQ ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ವನ್ನ ಎಳೆದಿದೆ. TAB |||  TPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AT=BT

TA, TBಗಳು T  ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

2

TAB= TBA

2  ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

3

PT=QT

TP  ಮತ್ತು  TQ T  ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

TPQ= TQP

2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

5

ATB= 1800- ( TAB+ TBA)

= 1800- 2 TAB

TAB ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 1800

6

ATB= 1800- ( TPQ+ TQP)

= 1800- 2 TPQ

TPQ ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ= 1800

7

TAB = TPQ

5  ಮತ್ತು  6 ರ ಬಲಭಾಗ ಹೋಲಿಸಿ.

8

TAB = TPQ= TQP = TBA

7, 4, 2 ರಿಂದ

9

TAB |||  TPQ

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ.


ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಕೊಟ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A,B,C  ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ.

AP+BQ+CR =BP+CQ+AR ಅಲ್ಲದೆ AP+BQ+CR = 1/2 * ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಮತ್ತು AB=AC ಆದರೆ,BQ=QC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

PA=AR

A  ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

2

BQ=BP

B ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

3

CR=CQ

C ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

PA+BQ+CR =AR+BP+CQ

1+2+ 3 ರಿಂದ

5

AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC

 

6

AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ

 

7

= 2 (AP+BQ+CR) =  ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ

 

8

AB=AC

ದತ್ತ

9

AP+PB=AR+RC

 

10

PB=RC

1  ಮತ್ತು  9  ರಿಂದ

11

BQ=CQ

2,10  ಮತ್ತು  3  ರಿಂದ


ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ TP ಮತ್ತು TQಗಳು ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆದರೆ

1. OTಯು PQ ದ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2.  PTQ =2 OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

TPR   ಮತ್ತು   TQR ಗಳಲ್ಲಿ

1

TP=TQ,  PTR= QTR

6.14  ಪ್ರಮೇಯ (TP, TQ ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು)

2

TR  ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು

 

3

TPR TQR

ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

4

PR=RQ and  PRT =QRT

 

5

PRT = 900

4  ರಿಂದ

6

PTR +RPT = 900

ಲಂಬಕೋನ PRT ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು

7

OPT = 900=OPR+RPT

PT ¸ ಸ್ಪರ್ಶಕ OP  ತ್ರಿಜ್ಯ  P = 900

8

PTR  =OPR

6  ಮತ್ತು 7

9

PTQ = 2 PTR

1 ರಿಂದ

10

= 2 OPR

8  ರಿಂದ


ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

-ಸಮವಾಗಿಯೂ

-ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನಮತ್ತು

-ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.


ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ

ಕೊನೆಯ ಮಾರ್ಪಾಟು : 11/13/2019



© C–DAC.All content appearing on the vikaspedia portal is through collaborative effort of vikaspedia and its partners.We encourage you to use and share the content in a respectful and fair manner. Please leave all source links intact and adhere to applicable copyright and intellectual property guidelines and laws.
English to Hindi Transliterate