ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆ

ಲೀಲಾವತೀಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೆಲವು ಕುತೂಹಲಕಾರೀ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಯಾದಿಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಿ ಈ ಮಾಲಿಕೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ’ ಅಂದು ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ನಮ್ಮ ಪುರಾತನರು ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರಿಗಿಂತ ಗಣಿತಾಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೋ ಮುಂದಿದ್ದರು ಎಂಬುದನ್ನೂ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರು ಅನ್ನಲಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ಗಣಿತೀಯ ತತ್ವಗಳು ಅವರಿಗೆ ಬಲುಹಿಂದೆಯೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಷ್ಟೇ ನನ್ನ ಉದ್ದೇಶ. ಈ ಮಾಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಅನೇಕವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ನನ್ನ ಉದ್ದೇಶ ಈಡೇರಲು ನೆರವಾಗಬಲ್ಲ ಕೆಲವು (ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಲ್ಲ) ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನೂ  ಅವುಗಳ ಉತ್ತರಗಳನ್ನೂ ಅವಶ್ಯವಿರುವಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೆರವು ನೀಡಬಹುದಾದ ಸುಳಿವುಗಳನ್ನೂ ಕೊಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಗಣಿತಾಸಕ್ತರಿಗೆ ಇವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಾಗ ಮೂಲದಲ್ಲಿದ್ದ ಕೆಲವು ಪದಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ್ದೇನೆ. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಸ್ಕೃತ ದ್ವಿಪದಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಷ್ಠೇ ಅಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಸ್ಕೃತ ಪಂಡಿತರಗೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ಇರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ.

• ಓ ಗಣೀತಜ್ಞನೇ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ೮, ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ೪೦೦ . ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳು. (ಉ: ೨೯, ೨೧)
• ಯಾವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಅಥವ ಮೊತ್ತದಿಂದ ೧ ಕಳೆದರೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ ದೊರಕುತ್ತದೋ ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ. ಓ ಮಿತ್ರನೇ, ಆರು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಗಣಿತಜ್ಞರೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ತಡಬಡಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಉ: ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತರಗಳಿವೆ. ಉದಾ: ೩/೨ ಮತ್ತು ೧. ೭/೨ ಮತ್ತು ೫೭/೮. ೯/೪ ಮತ್ತು ೧. ೯ ಮತ್ತು ೮. ೧೨೯ ಮತ್ತು ೬೪.  ಸುಳಿವು: ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರಗಳು: x = ನಿಮಗೆ ಇಷ್ಟವಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, a ಮತ್ತು b ಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.  ಅಥವ  ಅಥವ  ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಲೀಲಾವತೀಯಿಂದಲೇ ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ)
• ಮೋಡ ಕವಿಯತೊಡಗಿದಾಗ ಒಂದು ಹಿಂಡಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಹಂಸಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದ ೧೦ ರಷ್ಟು ಹಣಸಗಳು ಮಾನಸಸರೋವರಕ್ಕೆ ತೆರಳಿದವು. ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ೧/೮ ರಷ್ಟು ಹಂಸಗಳು ದಾಸವಾಳದ ವನಕ್ಕೆ ಹಾರಿಹೋದವು. ಉಳಿದ ಮೂರು ಪ್ರಣಯಿ ಜೋಡಿಗಳು ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಆಟವಾಡುತ್ತಿದ್ದವು. ಓ ಬಾಲೆಯೇ, ಸುಂದರವಾದ ತಾವರೆಗಳಿದ್ದ  ಆ ಕೊಳದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಹಂಸಗಳಿದ್ದವು? (ಉ: ೧೪೪. ಸುಳಿವು: ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ ಹಾಕಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು)
• ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಕೋಪೋದ್ರಿಕ್ತನಾದ ಅರ್ಜುನನು ಕರ್ಣನ್ನು ಕೊಲ್ಲಲೋಸುಗ ಕೆಲವು ಬಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದನು. ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಬಾಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಎಲ್ಲ ಬಾಣಗಳನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಿದನು. ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಬಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದ ೪ ರಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಎಲ್ಲ ಕುದುರೆಗಳನ್ನು ಕೊಂದನು. ೬ ಬಾಣಗಳಿಂದ ಅವನ ಈಟಿಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಿದನು. ರಥದ ಶಿಖರವನ್ನು, ಧ್ವಜವನ್ನು ಮತ್ತು ಕರ್ಣನ ಬಿಲ್ಲನ್ನು ತಲಾ ಒಂದೊಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಧ್ವಂಸಗೊಳಿಸಿದನು. ಕೊನೆಗೆ ಒಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಕರ್ಣನ ತಲೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಹಾಕಿದನು. ಅರ್ಜುನನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ಬಾಣಗಳೆಷ್ಟು? (ಉ: ೧೦೦. ಸುಳಿವು: ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ ಹಾಕಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು)
• ೨ ೧/೨ (ಎರಡೂವರೆ) ಪಲ ಕುಂಕುಮದ ಬೆಲೆ ೩/೭ ನಿಷ್ಕ. ಓ ನಿಷ್ಣಾತ ವ್ಯಾಪಾರಿಯೇ೯ ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಕುಂಕುಮ ಕೊಳ್ಳಬಹುದೆಂಬುದನ್ನು ಹೇಳು. (ಉ: ೫೨ ೧/೨ ಪಲ. ಅಂದು ಚಾಲ್ತಿಯಲ್ಲಿದ್ದ ಅಳತೆಯ ಏಕಮಾನಗಳಿವು. ಸುಳಿವು: ತ್ರೈರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕ )
• ೨ ವರ್ಷಕಾಲ ನೊಗ ಹೊತ್ತಿದ್ದ ಎತ್ತಿನ ಬೆಲೆ ೪ ನಿಷ್ಕ ಆಗಿದ್ದರೆ ೬ ವರ್ಷಕಾಲ ನೊಗ ಹೊತ್ತಿದ್ದ ಎತ್ತಿನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು? (ಉ: ೧ ೧/೩ ನಿಷ್ಕ. ಸುಳಿವು ವಿಲೋಮಾನುಪಾತದ ಲೆಕ್ಕ)
• ೧೦೦ ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ ೪/೩ ತಿಂಗಳಿಗೆ ೫ ೧/೫ ಬಡ್ಡಿ ಆದರೆ ೬೨ ೧/೨ ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ ೩ ೧/೫ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಬಡ್ಡಿ ಎಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ? (ಉ: ೭ ೪/೫  ನಿಷ್ಕ. ಸುಳಿವು: ಪಂಚರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ತಲಾ ೩ ಹಸ್ತ x ೮ ಹಸ್ತ ಅಳತೆಯ ಬಹುವರ್ಣೀಯ ಕಸೂತಿ ಕೆಲಸಮಾಡಿದ ಬಟ್ಟೆಯ ೮ ತುಂಡುಗಳು ೧೦೦ ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ ದೊರಕುತ್ತವೆ. ಓ ವ್ಯಾಪಾರಿಯೇ, ನೀನು ವ್ಯಾಪಾರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಣಾತನಾಗಿದ್ದರೆ ೩ ೧/೨ ಹಸ್ತ x ೧/೨ ಹಸ್ತ ಅಳತೆಯ ತುಂಡಿನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟೆಂದು ಬೇಗನೆ ಹೇಳು. (ಉ: ೧೭೫/೧೯೨ ನಿಷ್ಕ. ಸುಳಿವು: ಸಪ್ತರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ತಲಾ ೧೪  ಹಸ್ತ x ೧೬ ಅಂಗುಲ x ೧೨ ಅಂಗುಲ ಅಳತೆಯ ಮರದ ೩೦ ಹಲಗೆಗಳ ಬೆಲೆ ೧೦೦ ನಿಷ್ಕಗಳು. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಓ ಮಿತ್ರನೇ ತಲಾ ೧೦  ಹಸ್ತ x ೧೨ ಅಂಗುಲ x ೮ ಅಂಗುಲ ಅಳತೆಯ ಮರದ ೩೦ ಹಲಗೆಗಳ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು? (ಉ: ೧೬ ೨/೩ ನಿಷ್ಕ. ಸುಳಿವು: ನವರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ಹಿಂದಿನ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿದ ಮೊದಲನೇ ಗುಂಪಿನ ಹಲಗೆಗಳನ್ನು ೧ ಕ್ರೋಶ ದೂರ ಸಾಗಿಸಲು ೮  ದ್ರಮ್ಮಗಳಷಟು ಹಣಬೇಕು. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಹಲಗೆಗಳನ್ನು ೬ ಕ್ರೋಶ ದೂರ ಸಾಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಹಣ ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ? (ಉ: ೮ ದ್ರಮ್ಮ. ಸುಳಿವು: ಏಕಾದಶರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ೯೪ ನಿಷ್ಕಗಳನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತಿಂಗಳಿಗೆ ಶೇಕಡ ೫ ರ ದರದಲ್ಲಿ ೭ ತಿಂಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತಿಂಗಳಿಗೆ ಶೇಕಡ ೩ ರ ದರದಲ್ಲಿ ೧೦ ತಿಂಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತಿಂಗಳಿಗೆ ಶೇಕಡ ೪ ರ ದರದಲ್ಲಿ ೫ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಸಾಲವಾಗಿ ಕೊಡಲಾಯಿತು. ಅವಧಿಯ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಲಭಿಸಿದ ಬಡ್ಡಿಗಳೂ ಸಮವಾಗಿದ್ದವು. ಪ್ರತೀ ಭಾಗದ ಮೊಬಲಗು ಎಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ. (ಉ: ಅಸಲು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ೨೪, ೨೮ ಮತ್ತು ೪೨ ನಿಷ್ಕಗಳು. ಸುಳಿವು: ಸರಳ ಬಡ್ಡಿ)
• ಮೂರು ದಿನಸಿ ವ್ಯಾಪಾರಿಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ೫೧, ೬೮ ಮತ್ತು ೮೫ ನಿಷ್ಕಗಳ ಬಂಡವಾಳ ಹಾಕಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಆರಂಭಿಸಿದರು. ಬಲು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ತಮ್ಮ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ೩೦೦ ನಿಷ್ಕಗಳಿಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದರು. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಪಾಲು ಎಷ್ಟು? (ಉ: ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ೭೫, ೧೦೦ ಮತ್ತು ೧೨೫ ನಿಷ್ಕಗಳು. ಸುಳಿವು: ಪಾಲುಗಾರಿಕೆ)
• ೪ ತೊರೆಗಳು ಕೊಳವೊಂದಕ್ಕೆ ನೀರುಣಿಸುತ್ತಿವೆ. ಒಂದೇ ತೊರೆ ನೀರುಣಿಸುವಂತೆ ಇದ್ದಿದ್ದರೆ ಕೊಳವನ್ನು ತುಂಬಲು ೧ ನೇ ತೊರೆ ೧ ದಿನವನ್ನೂ, ೨ ನೇಯದ್ದು ೧/೨ ದಿನವನ್ನೂ, ೩ ನೇಯದ್ದು ೧/೩ ದಿನವನ್ನೂ ೪ ನೇಯದ್ದು ೧/೬ ದಿನವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು. ಎಲ್ಲ ತೊರೆಗಳೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನೀರುಣಿಸಿದರೆ ಕೊಳ ತುಂಬಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು? (ಉ: ೧/೧೨ ದಿನ)
• ಓ ಮಿತ್ರನೇ, ೧೬ ವರ್ಣದ (ಕ್ಯಾರಟ್ ನ) ಮತ್ತು ೧೦ ವರ್ಣದ (ಕ್ಯಾರಟ್ ನ) ಚಿನ್ನದ ಎರಡು ಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಕರಗಿಸಿ ಮಿಶ್ರಮಾಡಿದಾಗ ೧೨ ವರ್ಣದ (ಕ್ಯಾರಟ್ ನ) ಚಿನ್ನ ಲಭಿಸಿತು. ಮೊದಲು ಇದ್ದ ಚಿನ್ನದ ಗುಂಡುಗಳ ತಲಾ ತೂಕ ಎಷ್ಟು? (ಉ: ತೂಕಗಳು ೧:೨ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇತ್ತು)
• ಒಬ್ಬ ರಾಜನ ಸುಂದರವಾದ ಅರಮನೆಗೆ ೮ ಬಾಗಿಲುಗಳು ಇದ್ದವು. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಎಷ್ಟು ಬಾಗಲುಗಳನ್ನಾದರೂ ಯಾವ ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನಾದರೂ ತೆರೆದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತಾಜಾ ಗಾಳಿ ಬೀಸುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದಿತ್ತು. ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ? (ಉ: ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ೧, ೮, ೨೮, ೫೬, ೭೦, ೫೬, ೨೮, ೮, ೧ . ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಗ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಕಾಂಬಿನೇಶನ್ಸ್) ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ)
• ಒಬ್ಬ ಸಜ್ಜನನು ಒಂದನೇ ದಿನ ೪ ದ್ರಮ್ಮಗಳನ್ನು (ಅಂದು ಚಾಲ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ನಾಣ್ಯ) ದಾನವಾಗಿ ಒಬ್ಬನಿಗೆ ಕೊಟ್ಟನು. ಪ್ರತೀ ದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೫ ದ್ರಮ್ಮ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ದಾನ ಕೊಡುವುದನ್ನು ೧೫ ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಮುಂದುವರಿಸಿದನು. ಒಟ್ಟ ಎಷ್ಟು ಮೊಬಲಗನ್ನು ಆತ ದಾನವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟನು? (ಉ: ೫೮೫ ದ್ರಮ್ಮ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಅಂಕಗಣಿತೀಯ ಶ್ರೇಢಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ಒಬ್ಬ ಸಜ್ಜನನು ಒಂದನೇ ದಿನ ೨ ಕೌರಿಗಳನ್ನೂ (ಅಂದು ಚಾಲ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ನಾಣ್ಯ) ತದನಂತರದ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟದ್ದಕ್ಕಿಂತ ೨ ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ದಾನ ಕೊಡುವುದನ್ನು ೧ ತಿಂಗಳ ಕಾಲ ಮುಂದುವರಿಸಿದನು. ಒಟ್ಟ ಎಷ್ಟು ಮೊಬಲಗನ್ನು ಆತ ದಾನವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟನು? (ಉ: ೨೧೪೭೪೮೩೬೪೬ ಕೌರಿ.. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಶ್ರೇಢಿಯ ಲೆಕ್ಕ)
• ಸಮತಟ್ಟಾದ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿದ್ದ ೩೨ ಹಸ್ತ ಎತ್ತರದ ಬಿದಿರಿನ ಕಂಬವು ಬಲವಾದ ಗಾಳಿ ಬೀಸಿದ್ದರಿಂದ ಮುರಿದು ಬಾಗಿದ ಭಾಗದ ತುದಿ ಕಂಬದ ಬುಡದಿಂದ ೧೬ ಹಸ್ತ ದೂರದಲ್ಲಿ ನೆಲವನ್ನು ಮುಟ್ಟಿತು. ಅಂದ ಮೇಲೆ  ಓ ಗಣಿತಜ್ಞನೇ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಆ ಕಂಭ ಮುರಿಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳು. (ಉ: ೧೨ ಹಸ್ತ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ)
• ೯ ಹಸ್ತ ಎತ್ತರದ ಕಂಬವೊಂದರ ಮೇಲೆ ಸಾಕಿದ ನವಿಲೊಂದು ಕುಳಿತಿತ್ತು. ಕಂಬದ ಬುಡದಲ್ಲಿದ್ದ ಪೊಟರೆಯತ್ತ ಹಾವೊಂದು ಬರುತ್ತಿತ್ತು. ಹಾವು ಕಂಬದಿಂದ ೨೭ ಹಸ್ತ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾಗ ಅದನ್ನು ನವಿಲು ನೋಡಿತು. ಹಾವು ಎಷ್ಟು ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹಾವು ಚಲಿಸುತ್ತಿತ್ತೋ ಅಷ್ಟೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನವಿಲು ಹಾರಿಬಂದು ಕಂಬದಿಂದ ತುಸುದೂರದಲ್ಲಿಯೇ ಅದನ್ನು ಹಿಡಿಯಿತು. ಆ ದೂರ ಎಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಬೇಗನೆ ಹೇಳು. (ಉ: ೧೫ ಹಸ್ತ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ)
• ಕೊಳವೊಂದರಲ್ಲಿ ಕೊಕ್ಕರೆಗಳೂ ಬಾತುಕೋಳಿಗಳೂ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿದ್ದವು. ಆ ಕೊಳದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಮೇಲ್ಮಟ್ಟದಿಂದ ೧/೨ ಹಸ್ತ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತಿದ್ದ ತಾವರೆಯೊಂದು ಗಾಳಿ ಬೀಸಿದ್ದರಿಂದ  ಕಾಂಡ ನೀರಿನ ಮೆಲ್ಮಟ್ಟದಿಂದ ಮೇಲೆದ್ದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ೨ ಹಸ್ತ ದೂರದಲ್ಲಿ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿತು. ಓ ಗಣಿತಜ್ಞನೇ ನೀರಿನ ಾಳವೆಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಬೇಗನೆ ಹೇಳು. (ಉ: ೪ ೧/೪ ಹಸ್ತ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ)
• ೧೫ ಹಸ್ತ ಮತ್ತು ೧೦ ಹಸ್ತ ಎತ್ತರವಿರುವ ಎರಡು ಕಂಬಗಳಿವೆ. ಪ್ರತೀ ಕಂಬದ ತುದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಕಂಬದ ಬುಡಕ್ಕೆ ದಾರಗಳನ್ನು ಬಿಗಿಯಾಗಿಎಳೆದು ಕಟ್ಟಿದೆ. ಎರಡು ದಾರಗಳು ಒಂದನ್ನೊಂದು ದಾಟುವ ಬಿಂದು ನೆಲದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ, (ಉ: ೬ ಹಸ್ತ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ)
• ಮೂರ್ಖನೊಬ್ಬ ೨, ೬, ೩, ೧೨ ಉದ್ದದ ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ಚತುರ್ಭುಜ ಇದೆಯೆಂದೋ ೩, ೬, ೯ ಉದ್ದದ ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ತ್ರಿಭುಜವಿದೆಯೆಂದೋ ಹೇಳಿದರೆ ಅಂತಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಅವನಿಗೆ ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸುವಿರಿ. (ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ)
• ಪಾದ ೧೪, ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಭುಜ ೯, ೧೨ ಮತ್ತು ೧೩ ಅಳತೆಯ ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ೧೨ ಆಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಷ್ಟು? (ಉ: ೧೩೮: ಸುಳಿವು: ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಆಯತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು.
• ವ್ಯಾಸ ೭ ಆಗಿರುವ ಚಕ್ರಾಕಾರದ ಬಿಲ್ಲೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಷ್ಟು? ೭ ವ್ಯಾಸವುಳ್ಳ ಗುಂಡೊಂದರ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಆವರಿಸಿರುವ ಬಲೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಷ್ಟು? ಅದರ ಗಾತ್ರ (ಘನಫಲ) ಎಷ್ಟು? ಓ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮಿತ್ರನೇ, ನೀನು ನಿಷ್ಕಲ್ಮಷ ಮನಸ್ಸಿನ ಲೀಲಾವತೀಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಉತ್ತರಿಸು. (ಉ: ೭೭/೨ ಚ ಅ. ೧೫೪ ಚ ಅ. ೧೭೯ ೨/೩ ಘ ಅ. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಣಿತ)
• ‘೦’ ಯೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ೧ ರಿಂದ ೯ ರ ವರೆಗಿನ ಅಂಕಿಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದು ಸಲಕ್ಕೆ ಆರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯಗಳನ್ನು ಬರಯಬಹುದು? (ಉ: ೬೦೪೮೦. ಸುಳಿವು: ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೆಕ್ಕ)

ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು - ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನ

(ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ ಆಧಾರಿತ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಮೂನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ)

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅಥವ ಅಪವರ್ತ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಅಥವ ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ‘ಊಹಿಸುವಿಕೆ’ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು  ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೩೧">ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೩೧ ಲೇಖನದಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ. ಅರ್ಥಾತ್, ಆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಈ ಮುಂದೆ ನೀಡಿರುವಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ).

‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾದರೆ ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?’

ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ವಿಧಾನವೇ ಬಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಲೀಲಾವತೀಯ ೧೬ ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ‘ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ’ ವಿಧಾನ. ಈ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ‘ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ’ ವಿಧಾನದ ತಿರುಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಕಲಿಯುವುದು ಸುಲಭ.

ಉದಾಹರಣೆ ೧: ‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾದರೆ ಆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?’

‘ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ೨೯ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ’ ಎಂದಾದರೆ ೨೯ ಅನ್ನು ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ‘ಉಳಿದದ್ದು’ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ‘ಉಳಿದದ್ದು’ = ೨೯ x ೫ = ೧೪೫. ‘ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳೆದರೆ ಉಳಿದದ್ದು ದೊರಕುತ್ತದೆ’ ಎಂದಾದರೆ ‘ಉಳಿದದ್ದಕ್ಕೆ’ ೧೫ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ‘ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟು’ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೧೪೫+೧೫ = ೧೬೦, ಇದು ‘ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದರಷ್ಟು’ ಆಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರಕಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೧೬೦/೫ = ೩೨.

ಉದಾಹರಣೆ ೨: ‘ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ೮ ಕಳೆದರೆ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?’

‘ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ೮ ಕಳೆದರೆ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ’ ಅಂದರೆ ೪೦ ಕ್ಕೆ ೮ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧ ದೊರಕಬೇಕಷ್ಟೆ?  ಅರ್ಥಾತ್, ೪೦+೮=೪೮ - ಇದು ಉಲ್ಲೇಖಿತ ಗುಣಲಬ್ಧ. ಈ ಗುಣಲಬ್ಧ ದೊರಕಿದ್ದು ಹೇಗೆ? ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದ್ದರಿಂದ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ೧೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗ ಬೇಕು. ಅರ್ಥಾತ್, ೪೮/೧೨=೪. ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ೪ ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನು?  ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿರುವ ಗಣಿತೀಯ ಕರ್ಮಗಳ ತದ್ವಿರುದ್ಧ ಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ?  ಇದೇ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನ.

ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ, ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.

ಕೊದುಗೆದಾರರು : ಗೋವಿಂದ  ರಾವ್  ವ  ಆಡಮನೆ