ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ. M ಎಂಬುದು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು.. AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ AM ಮತ್ತು MB ಗಳು ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳಒಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಮೂರೂ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು (1/6)AB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ x ಆಗಿರಲಿ. OR=OP =x AB=a ಆಗಿರಲಿ CP = CM= a/4, MR=a/2 ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 OMCಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ OM ಎಂಬುದು C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ 2 OC2 = MC2+OM2 OMCಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ 3 ಎಡಭಾಗ = (x+(a/4))2 = x2+ax/2+ (a2/16) OC = OP+PC = x+(a/4) 4 ಬಲಭಾಗ = (a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2 MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x 5 x2+ax/2+ (a2/16) =(a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2 ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ 6 3ax/2=(a2/4) 7 x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB ಪ್ರಮೇಯ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು (i) ಸಮವಾಗಿಯೂ (ii) ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು (iii) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ ದತ್ತ: ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು PBಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. ಸಾಧನೀಯ: (i) PA=PB (ii) APO= BPO (iii) AOP= BOP ಸಾಧನೆ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 OA = OB ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು 2 OAP= OBP= 900 PA ಮತ್ತು PBಗಳುA ಮತ್ತು Bಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಗಳು AO ಮತ್ತು BO ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು. 3 OPಯು AOP ಮತ್ತು BOP ಗಳಿಗೆ ಉಭಯಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು.. 4 AOP BOP ಲಂ.ಕ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 5 PA=PB ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು 6 APO= BPO ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು 7 AOP= BOP ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ XY ಮತ್ತು PCಗಳು 2 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. XPY = 90 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 CX= CP CX ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. 2 CXP = CPX =x0 CXP ಯಲ್ಲಿ 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 3 CY =CP CY ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದೆಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 4 PYC = CPY =y0 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 5 CXP + XPC + CPY + PYC = 1800 PXY ಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 6 i.e. x0+x0+y0+y0= 1800 7 2(x0+y0)= 1800 8 i.e. (x0+y0) = XPY = 900 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು Pಯಿಂದ PQ ಮತ್ತು PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. PQR = 600 ಆದರೆ, ಜ್ಯಾ QR ನ ಉದ್ದವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 PQ=PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. 2 PQR = PRQ PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. 3 PQR =600 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 4 PQR = PRQ = 600 ದತ್ತ 5 PQR ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ 2 ರಿಂದ 6 PQ=PR=QR ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು PRಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು QPR= 900 ಆದರೆ PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 OQP= 900 = ORP PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. 2 QPR=900 ದತ್ತ 3 OQ || PR 4 QOR =3600- OQP- QPR - ORP = 3600-900-900-900= 900 5 OR || QP 6 PQOR ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ OQ=OR (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು) 7 PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮಸ್ಯೆ 6: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ AT ಮತ್ತು BTಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು TP=TQ ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ವನ್ನ ಎಳೆದಿದೆ. TAB ||| TPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 AT=BT TA, TBಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 2 TAB= TBA 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 3 PT=QT TP ಮತ್ತು TQ T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 4 TPQ= TQP 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 5 ATB= 1800- ( TAB+ TBA) = 1800- 2 TAB TAB ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 1800 6 ATB= 1800- ( TPQ+ TQP) = 1800- 2 TPQ TPQ ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ= 1800 7 TAB = TPQ 5 ಮತ್ತು 6 ರ ಬಲಭಾಗ ಹೋಲಿಸಿ. 8 TAB = TPQ= TQP = TBA 7, 4, 2 ರಿಂದ 9 TAB ||| TPQ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಕೊಟ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A,B,C ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ. AP+BQ+CR =BP+CQ+AR ಅಲ್ಲದೆ AP+BQ+CR = 1/2 * ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಮತ್ತು AB=AC ಆದರೆ,BQ=QC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು 1 PA=AR A ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 2 BQ=BP B ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 3 CR=CQ C ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು 4 PA+BQ+CR =AR+BP+CQ 1+2+ 3 ರಿಂದ 5 AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC 6 AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ 7 = 2 (AP+BQ+CR) = ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ 8 AB=AC ದತ್ತ 9 AP+PB=AR+RC 10 PB=RC 1 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ 11 BQ=CQ 2,10 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ TP ಮತ್ತು TQಗಳು ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆದರೆ 1. OTಯು PQ ದ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. 2. PTQ =2 OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ: ಹಂತ ನಿರೂಪಣೆ ಕಾರಣಗಳು TPR ಮತ್ತು TQR ಗಳಲ್ಲಿ 1 TP=TQ, PTR= QTR 6.14 ಪ್ರಮೇಯ (TP, TQ ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು) 2 TR ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು 3 TPR TQR ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 4 PR=RQ and PRT =QRT 5 PRT = 900 4 ರಿಂದ 6 PTR +RPT = 900 ಲಂಬಕೋನ PRT ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು 7 OPT = 900=OPR+RPT PT ¸ ಸ್ಪರ್ಶಕ OP ತ್ರಿಜ್ಯ P = 900 8 PTR =OPR 6 ಮತ್ತು 7 9 PTQ = 2 PTR 1 ರಿಂದ 10 = 2 OPR 8 ರಿಂದ ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ ಸಂ. ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು 1 ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು -ಸಮವಾಗಿಯೂ -ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನಮತ್ತು -ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲ : ಫ್ರೀ ಗಣಿತ